|
|
|
Магнитное поле переменных токов |
221 |
Ψ = |
∫ |
Ads |
в плоскопараллельном случае; |
|
|
S |
|
||
|
|
|
|
|
Ψ = |
2π∫rAds |
в осесимметричном случае; |
|
|
|
S |
|
||
|
|
|
|
|
интегрирование в данной формуле ведется по поперечному сечению обмотки, а S обозначает площадь этого поперечного сечения.
Для плоских задач все интегральные величины рассматриваются на единицу длины в осевом направлении.
Область интегрирования задается в плоскости модели в виде контура (при необходимости замкнутого), состоящего из отрезков и дуг окружностей.
Магнитноеполепеременныхтоков
Анализ магнитного поля переменных токов состоит в расчете электрического и магнитного поля, возбужденного приложенными переменными (синусоидально изменяющимися во времени) токами или внешним переменным полем.
Изменение поля во времени предполагается синусоидальным. Все компоненты поля и электрические токи изменяются как
z = z0 cos(ωt + φz),
где z0 амплитудное (максимальное) значение z, φz — фазовый угол, и ω — угловая частота.
222 Глава 10 Теоретическое описание
Представление гармонически изменяющейся величины при помощи комплексного числа существенно облегчает анализ. Действительная и мнимая части комплексного числа
z = z0 ei(ωt + φz),
сдвинуты по фазе на 90 градусов по отношению друг к другу, так что их линейная комбинация может представлять произвольный фазовый угол.
В зависимости от фазового сдвига между двумя осциллирующими компонентами вектора, вектор может вращаться по часовой стрелке или в противоположном направлении, либо колебаться вдоль некоторого направления. В общем случае конец вектора описывает эллипс. Главные полуоси эллипса соответствуют максимальным значениям векторной величины. Отношение длин меньшей и большей полуосей определяет коэффициент поляризации вектора. Последний предполагается положительным при вращении вектора против часовой стрелки и отрицательным в противоположном случае. Нулевой коэффициент соответствует линейной поляризации вектора.
Полный ток в проводнике может рассматриваться как сумма стороннего тока, вызванного приложенным извне напряжением, и вихревого тока, индуцированного переменным магнитным полем
j = jстор.+jвихр.
Если задача расчета нестационарного магнитного поля решается совместно с присоединенной электрической цепью, то уравнение ветви электрической цепи, содержащей массивный проводник в магнитном поле выглядит следующим образом:
I = UR − gΩ∫∂∂At dS ,
где U - разность потенциалов на концах массивного проводника, R - омическое сопротивление постоянному току
Задача формулируется как дифференциальное уравнение в частных производных относительно комплексной амплитуды векторного магнитного потенциала A (B = rot A, B - вектор магнитной индукции). Вектор магнитной индукции предполагается лежащим в плоскости модели (xy или zr), в то время как вектор плотности электрического тока j и векторный магнитный потенциал A ортогональны к нему. Только компоненты jz и Az в плоской постановке и jθ и
Магнитное поле переменных токов |
223 |
Aθ в осесимметричном случае отличны от нуля. Будем обозначать их просто j и A. Уравнение для плоской задачи запишется как
|
∂ |
|
1 |
|
∂A |
+ |
|
∂ |
|
1 |
|
|
∂A - iωgA = -jстор, |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
μy |
|
|
|
|
|
∂y |
μx |
∂y |
|
||||||||
|
∂x |
|
∂x |
|
|
|
|||||||||||||||
и для осесимметричного случая |
|
||||||||||||||||||||
|
∂ |
1 |
|
|
∂(rA ) |
+ |
|
∂ |
|
1 ∂A |
- iωgA = -jстор, |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
∂r |
|
|
∂z |
|
|||||||||||
|
∂r rμz |
|
|
|
|
|
|
|
|
μr ∂z |
|
||||||||||
где электропроводность g и компоненты тензора магнитной проницаемости μx и μy (μz и μr) постоянны в переделах каждого блока модели. Сторонняя составляющая тока jстор. предполагается постоянной в пределах каждого блока модели в плоской задаче и обратно пропорциональной радиусу (~1/r) в осесимметричном случае.
Замечание. ELCUT позволяет использовать нелинейные материалы с магнитной проницаемостью, зависящей от интенсивности магнитного поля (магнитомягкие ферромагнетики). В этом приближении используется специально модифицированная кривая намагничивания ферромагнитного материала. Автоматический пересчет кривой намагничивания B(H) выполняется с таким расчетом, чтобы сохранялась средняя энергия магнитного поля за период. . Редактор кривой намагничивания ("Работа с кривыми" в Глава 5) для данного типа задач показывает одновременно исходную и пересчитанную кривые.
Описанная формулировка не учитывает член ∂D
∂t в формуле закона Ампера, т.е. пренебрегает плотностью тока смещения. Обычно плотность тока смещения не оказывает заметного влияния до мегагерцовых диапазонов частот.
Замечание. Постоянные магниты не могут быть учтены в задачах данного типа. Здесь предполагается, что все величины, описывающие поле в любой его точке, изменяются во времени синусоидально. Постоянные магниты привнесли бы в систему постоянный во времени магнитный поток.
Источники поля
Источники поля могут быть заданы в блоках, на рёбрах или в отдельных вершинах модели. Источники поля могут включать объемную, поверхностную
224 Глава 10 Теоретическое описание
или линейную плотность тока, а также напряжение, приложенное к проводникам.
Точечный источник в плоскости xy означает линейный ток в осевом направлении. В осесимметричном случае точечный источник соответствует тонкому кольцевому проводнику, перпендикулярному плоскости модели. Плотность тока, заданная на ребре модели, соответствует поверхностному току в трехмерном мире. Она определяется заданием граничного условия Неймана на ребре модели.
Пространственно распределенный ток можно задать несколькими способами. В массивном проводнике Вы можете определить либо полный ток, либо напряжение, приложенное к проводнику. В плоской задаче падение напряжения задается на единицу глубины модели, в осесимметричном случае имеется в виду напряжение на один виток проводника. Ненулевое напряжение, приложенное к проводнику, в осесимметричной задаче означает, что проводник имеет радиальный разрез, к противоположным сторонам которого приложено напряжение. На практике эту возможность удобно применять для описания известного напряжения, приложенного к кольцевой обмотке с массивными проводниками. В этом случае реальное напряжение на зажимах обмотки следует разделить на число её витков. Нулевое приложенное напряжение означает, что концы проводника соединены накоротко.
Различные блоки модели, в которых задано одно и то же значение полного тока или приложенного напряжения, могут рассматриваться как соединенные последовательно. В этом случае в каждом проводнике протекает один и тот же полный ток, а напряжение, если оно задано, трактуется как приложенное к зажимам всей группы последовательно соединенных проводников.
Замечание. Смысл нулевого полного тока и нулевого приложенного напряжения весьма различен. Нулевое напряжение означает, что концы проводника замкнуты накоротко, а нулевой ток описывает разомкнутый проводник.
Источник поля может быть задан также и в непроводящей среде. Это полезно для описания тока в обмотке, намотанной тонким проводом, в которой вихревыми токами можно пренебречь. В таких блоках Вы можете задать как суммарный ток, так и плотность тока, смотря по тому, что окажется удобнее. Плотность тока в катушке может быть получена из уравнения
Магнитное поле переменных токов |
225 |
j = nSI ,
где n - число витков, I - полный ток, и S - площадь поперечного сечения катушки.
Замечание. Чтобы правильно описать катушку, намотанную тонким проводом, плотность стороннего тока jстор. в непроводящих областях предполагается равномерной как в плоской, так и в осесимметричной задачах. Ее поведение различается в массивных проводниках, где плотность тока в осесимметричной задаче считается распределенной как 1/r в осесимметричном случае.
Граничные условия
На внешних и внутренних границах расчетной области могут быть заданы следующие граничные условия.
Условие Дирихле задает известное значение векторного магнитного потенциала A0 в вершинах или на рёбрах модели. Это условие определяет нормальную компоненту вектора магнитной индукции. Зачастую это условие используется для задания отсутствия нормальной составляющей индукции, например, на оси симметрии или на удаленных границах области. ELCUT также поддерживает условие Дирихле в функции координат по следующим формулам
A0 |
= a + bx + cy |
|
- для плоской задачи; |
|
rA0 |
= a + bzr + |
cr |
2 |
- для осесимметричной задачи. |
|
|
|||
2 |
|
|||
|
|
|
|
|
Параметры a, b и c постоянны для каждого ребра, но могут изменяться от одного ребра к другому. Этот подход позволяет моделировать внешнее однородное поле путем задания ненулевой нормальной компоненты магнитной индукции на любом прямолинейном отрезке границы.
Пусть α - угол наклона ребра по отношению к горизонтальной оси (x в плоской или z в осесимметричной задаче). Тогда в обоих типах задач нормальная компонента индукции записывается как
Bx = c sin α + b cos α
Предполагается правое направление вектора положительной нормали.
226 Глава 10 Теоретическое описание
Подбором значений константы a на разных сторонах все условия Дирихле должны быть согласованы так, чтобы функция A0 была непрерывна в точках соприкосновения границ.
Условие Неймана имеет следующий вид |
|
Ht = σ |
- на внешних границах, |
H+t – H−t = σ |
- на внутренних границах, |
где Ht - тангенциальная компонента напряженности магнитного поля, индексы "+" и "−" обозначают величины слева и справа от границы, а σ - линейная плотность поверхностного тока. Если значение σ равно нулю, граничное условие называется однородным. Этот вид граничного условия часто используется на внешней границе области, которая является плоскостью магнитной антисимметрии задачи (противоположные по знаку источники в симметричной геометрии). Однородное условие Неймана является естественным граничным условием, т.е. оно предполагается заданным по умолчанию на всех участках внешней границы, где явно не указаны иные виды граничных условий.
Замечание. Нулевое граничное условие Дирихле предполагается по умолчанию на оси вращения в осесимметричных задачах.
Если на плоскости симметрии задачи необходимо задать поверхностный ток, и эта плоскость является внешней границей расчетной области, то действительное значение плотности тока следует разделить пополам.
Граничное условие нулевого потока используется для описания сверхпроводящего материала, в который не проникает магнитное поле. Векторный магнитный потенциал на поверхности таких сверхпроводников имеет постоянное (неизвестное заранее) значение (rA = const в осесимметричном случае), так что внутренность сверхпроводника исключается из рассмотрения.
Замечание. Если поверхность сверхпроводника имеет общие точки с какимлибо ребром (или узлом), где задано условие Дирихле, вся поверхность будет считаться описанной условием Дирихле, с заданным значением магнитного потенциала.
Магнитное поле переменных токов |
227 |
Вычисляемые физические величины
При анализе результатов расчета магнитного поля переменных токов, ELCUT позволяет оперировать со следующими локальными и интегральными физическими величинами.
Локальные величины:
•Комплексная амплитуда векторного магнитного потенциала A (функция потока rA в осесимметричном случае);
•Комплексная амплитуда напряжения U, приложенного к проводнику;
•Комплексная амплитуда плотности полного тока jполн. = jстор. + jвихр., плотности стороннего тока jстор. и плотности вихревого тока jвихр. = −iωgA;
•Комплексный вектор магнитной индукции B = rot A
Bx = ∂∂Ay ,
Bz = 1r ∂(∂rAr ),
B |
= − |
∂A |
для плоской задачи; |
||
|
|
||||
y |
|
|
∂x |
|
|
|
|
|
|
||
B = − |
∂A |
|
для осесимметричной задачи; |
||
|
|||||
r |
|
|
∂z |
|
|
|
|
|
|
||
•Комплексный вектор напряженности магнитного поля H = μ-1B, где μ - тензор магнитной проницаемости;
• |
Среднее |
и |
максимальное |
значение |
удельной |
мощности |
тепловыделения |
• |
Q = g-1 j2; |
|
|
|
|
|
|
Среднее |
и |
максимальное |
значение |
плотности |
энергии |
магнитного поля |
w = B H / 2;
•Среднее значение вектора Пойнтинга (плотность потока энергии) S = E × H;
•Среднее значение вектора плотности силы Лоренца F = j × B;
•Магнитная проницаемость μ (наибольшая компонента в анизотропной среде);
•Электрическая проводимость g.
Интегральные величины:
•Комплексная амплитуда тока через заданную поверхность
I = ∫ jds
и её сторонняя Iстор. и вихревая Iвихр. компоненты.
•Среднее и максимальное значение мощности тепловыделения в объеме. А также размах колебаний.
228 Глава 10 Теоретическое описание
P = ∫1g j 2dV .
•Среднее и максимальное значение энергии магнитного поля
W = 12 ∫(H B)dV .
•Среднее и максимальное значение потока электромагнитной мощности (потока вектора Пойнтинга) через заданную поверхность
S= ∫(S n)ds .
•Среднее значение пондеромоторной (полной магнитной) силы, действующей на тела, заключенные в заданном объеме
F= 12 ∫(H(n B) + B(n H) − n(H B))ds ,
где интегрирование ведется по поверхности, ограничивающей объем, а n означает вектор единичной внешней нормали к поверхности.
•Среднее и максимальное значение вращающего момента пондеромоторной силы, действующей на тела, заключенные в заданном объеме
T = 12 ∫((r × H)(n B) + (r × B)(n H) −(r × n)(H B))ds ,
где r - радиус-вектор точки интегрирования.
•Среднее значение и амплитуда колебательной части силы Лоренца, действующей на проводники с током, заключенные в заданном объеме
F = ∫j ×B dV .
Магнитное поле переменных токов |
229 |
•Среднее и максимальное значение вращающего момента силы Лоренца, действующей на проводники с током, заключенные в заданном объеме
T = ∫r ×(j ×B)dV ,
где r - радиус-вектор точки интегрирования.
Вектор вращающего момента параллелен оси z в плоской постановке и тождественно равен нулю в осесимметричном случае. Момент вычисляется относительно начала координат. Момент относительно любой другой точки может быть получен добавлением слагаемого F × r0, где F - это полное значение силы и r0 - радиус-вектор точки.
Замечание. Магнитное поле порождает силы, действующие на проводники с током и ферромагнитные тела. Сила, действующая на проводники известна под названием силы Лоренца, в то время как сила, вычисленная путем интегрирования тензора Максвелла, включает в себя обе компоненты (полная магнитная сила).
Область интегрирования определяется как разомкнутый или замкнутый контур в плоскости модели, состоящий из отрезков и дуг окружностей.
Вычисление импеданса
Импедансом в теории переменных токов называется комплексный коэффициент пропорциональности между комплексными значениями тока и напряжения, V = Z I. Его действительная часть представляет собой активное сопротивление проводника, вычисленное с учетом эффекта вытеснения тока (поверхностный эффект). Мнимая часть импеданса есть индуктивность, умноженная на угловую частоту ω.
Z = R + iωL.
Поскольку значения напряжения и тока Вы можете легко получить в окне анализа результатов расчета, импеданс вычисляется путем деления напряжения на ток по правилам комплексной арифметики. Пусть V и I - амплитудные значения напряжения и тока, и φV и φI фазы этих величин. Тогда активное сопротивление вычисляется как
R = VI cos(φV − φI ),