230Глава 10 Теоретическое описание

ииндуктивность

Чтобы вычислить взаимную индуктивность между двумя проводниками, Вы можете задать ненулевой полный ток в одном из них, оставить концы второго проводника разомкнутыми (т.е. задать нулевой полный ток) и измерить напряжение, развиваемое на концах второго проводника под действием тока, протекающего в первом.

Замечание. Поскольку в плоском случае напряжение прикладывается и измеряется на единицу осевой длины, вычисленный импеданс также будет вычисляться на один метр длины в осевом направлении.

Электростатика

Электростатические задачи описываются уравнением Пуассона относительно скалярного электрического потенциала U (E = −gradU, E - вектор напряженности электрического поля). Для плоскопараллельных задач уравнение имеет вид:

и для осесимметричных задач:

где компоненты тензора электрической проницаемости εx, εy или εz, εr а также плотность распределенного заряда ρ - постоянные величины в пределах блоков модели.

Источники поля

ELCUT обеспечивает возможность задать электрический заряд в блоках, на рёбрах и в отдельных вершинах модели. Заряд, заданный в конкретной точке плоскости xy, описывает заряженную струну, проходящую через эту точку

Электростатика 231

перпендикулярно к плоскости модели, и задается своей линейной плотностью. В осесимметричном случае заряд в вершине описывает заряженную окружность вокруг оси симметрии или точку на оси симметрии. Чтобы охватить оба этих случая, точечный источник поля, заданный в вершине, всегда характеризуется полным зарядом. Для заряженной окружности полный заряд связан с линейной плотностью соотношением q = 2πr ρ. Линейная плотность заряда на ребре модели соответствует заряженной поверхности в трехмерном мире. Такое ребро описывается поверхностной плотностью заряда и задается при помощи граничного условия Неймана для ребра. Плотность заряда, ассоциированного с блоком, соответствует объемному заряду.

Граничные условия

На внутренних и внешних границах области допустимы следующие виды граничных условий:

Условие Дирихле: электрический, задает наперёд известное значение электрического потенциала U0 в вершине или на ребре модели (например, на обкладках конденсатора). Этот вид граничного условия также может применяться на внешней границе области, совпадающей с плоскостью электрической антисимметрии задачи (противоположные по знаку источники в симметричной геометрии). Величина U0 на ребре модели может быть задана в виде линейной функции координат. Параметры задающей линейной функции могут меняться от ребра к ребру, но должны быть согласованы так, чтобы функция U0 была непрерывна в точках соприкосновения границ.

Замечание. Для того, чтобы задача была сформулирована корректно, необходимо задание условия Дирихле хотя бы в одной точке расчетной области, а если область представляет собой набор физически не связанных подобластей - хотя бы в одной точке каждой такой подобласти.

Условие Неймана определяется следующими соотношениями:

где Dn - нормальная компонента электрического смещения, индексы "+" и "−" означают "слева от границы" и "справа от границы" соответственно, σ - поверхностная плотность заряда. Если σ принимает нулевое значение, граничное условие называется однородным, что означает отсутствие

232 Глава 10 Теоретическое описание

нормальной компоненты напряженности электрического поля. Этот вид граничного условия часто используется на внешней границе области, являющейся следом плоскости симметрии задачи. Однородное условие Неймана является естественным, оно устанавливается по умолчанию на всех рёбрах внешней границы, где явно не указано иное граничное условие.

При задании неоднородного условия Неймана на внешней границе, являющейся следом плоскости симметрии, истинную величину плотности заряда следует разделить пополам.

Граничное условие равного потенциала используется для описания изолированных проводников, помещенных в электрическое поле, которые имеют постоянный, но заранее неизвестный потенциал.

Замечание. Ребро, на котором задано условие равного потенциала, не должно соприкасаться с рёбрами или вершинами, на которых задано условие Дирихле. В этом случае ребро с постоянным потенциалом следует описать при помощи условия Дирихле с подходящим значением потенциала.

Вычисляемые физические величины

При анализе результатов расчета электрического поля ELCUT позволяет оперировать со следующими локальными и интегральными физическими величинами.

Локальные величины:

•Скалярный электрический потенциал U;

•Вектор напряженности электрического поля E = −grad U

а также его главные компоненты G1 и G2.

•Вектор электрического смещения D = εE, где ε - тензор диэлектрической проницаемости.

Интегральные величины:

•Суммарный электрический заряд, заключенный в заданном объеме q = ∫D nds ,

где интегрирование ведется по поверхности окружающей заданный объем, а n - единичный вектор нормали к поверхности.

•Суммарная электрическая сила, действующая на тела, заключенные в заданном объеме

F= 12 ∫(E(n D)+ D(n E)−n(E D))ds .

•Суммарный момент электрических сил, действующих на тела, заключенные

взаданном объеме

T= 12 ∫((r ×E)(n D)+(r ×D)(n E)−(r ×n)(E D))ds ,

где r - радиус-вектор точки интегрирования.

Вектор момента направлен параллельно оси z в плоско-параллельном случае, а в осесимметричном случае момент тождественно равен нулю. Момент рассматривается относительно начала координат. Момент относительно произвольной точки может быть получен прибавлением слагаемого F × r0, где F - это полная сила, а r0 - радиус-вектор точки.

• Энергия электрического поля

W= 12 ∫(E D)dV .

Вплоско-параллельной постановке интегральные характеристики вычисляются на единицу длины расчетной области в направлении оси z.

Область интегрирования задается в плоскости модели замкнутым или разомкнутым контуром, состоящим из отрезков и дуг окружностей.

Для плоскопараллельных задач уравнение имеет вид:

и для осесимметричного случая:

где компоненты тензора удельного электрического сопротивления ρx, ρy или ρz, ρr - постоянные величины в пределах блоков модели.

Вектор плотности тока j определяется уравнением j = −ρ−1 grad U, где ρ−1 – величина, обратная тензору удельного электрического сопротивления.

Источники поля

В задачах протекания тока под источниками поля понимаются сторонние токи, заданные на границах проводника. В рамках комплекса ELCUT источники поля могут быть заданы вдоль рёбер и в отдельных вершинах модели. Плотность тока, заданная в точке плоскости xy, соответствует токоподводу в виде тонкого проводника, перпендикулярного плоскости модели. Он описывается своей линейной плотностью тока. В осесимметричном случае источник, заданный в вершине, описывает токоподвод в виде тонкого кольца с осью, совпадающей с осью симметрии задачи или точечный токовый ввод, если точка лежит на оси вращения. В этих двух случаях источник описывается величиной подводимого тока. Для кольцевого токоподвода полное значение тока связано с его линейной плотностью соотношением I = 2πr σ. Задание поверхностной плотности тока на рёбрах в плоскости модели эквивалентно неоднородному граничному условию Неймана и осуществляется с его помощью.

Граничные условия

В задачах электрического поля постоянных токов на внешних и внутренних рёбрах модели могут быть заданы следующие виды граничных условий.

Условие Дирихле задает известное значение электрического потенциала U0 на рёбрах или в вершинах модели. Значение U0 на ребре может быть задано в виде линейной функции от координат. Параметры задающей линейной функции

236 Глава 10 Теоретическое описание

могут варьироваться от ребра к ребру, но должны быть подобраны так, чтобы избежать разрывов функции U0 в точках соприкосновения границ.

Замечание. Для того чтобы задача была сформулирована корректно, необходимо задание условия Дирихле хотя бы в одной точке расчетной области, а если область представляет собой набор физически не связанных подобластей - хотя бы в одной точке каждой такой подобласти.

Условие Неймана имеет вид:

где jn - нормальная компонента вектора плотности тока, индексы "+" и "−" означают "слева от границы" и "справа от границы" соответственно, j в правой части выражений - плотность стороннего тока. Если j = 0, граничное условие называется однородным. Однородное условие Неймана на внешней границе означает отсутствие нормальной составляющей напряженности и часто применяется для описания плоскости симметрии. Однородное условие Неймана является естественным, оно устанавливается по умолчанию на всех тех рёбрах, составляющих внешнюю границу, где явно не указано иное граничное условие.

При задании неоднородного условия Неймана на внешней границе, являющейся следом плоскости симметрии, истинную величину плотности тока следует разделить пополам.

Граничное условие равного потенциала задает поверхность изолированного проводника, обладающего существенно большей проводимостью, чем окружающие его тела. Это условие отличается от условия Дирихле тем, что значение потенциала на описываемой поверхности не известно заранее.

Замечание. Не допускается соприкосновение поверхностей, носящих граничное условие Дирихле и условие равного потенциала. В этом случае последнее условие следует описать с помощью условия Дирихле.