Задачи теории упругости

Интегральные величины:

•Поток тепла через заданную поверхность

Φ= ∫F nds ,

где n - единичный вектор нормали к поверхности. Поверхность интегрирования задается контуром в плоскости модели, состоящим из отрезков и дуг окружностей.

Задачитеорииупругости

Комплекс ELCUT может решать задачи теории упругости в постановках плоских напряжений, плоских деформаций и осесимметричного напряженного состояния с изотропными или ортотропными свойствами материалов. Задача плоских напряжений подходит для анализа структур, тонких по глубине, которые нагружены в плоскости модели. Напряжение в направлении, нормальном к плоскости модели, предполагается отсутствующим. Задача плоских деформаций предполагает отсутствие деформаций вне плоскости модели. Эта задача подходит для моделирования объектов с весьма большой толщиной в направлении, нормальном к плоскости модели.

Перемещения, напряжения, деформации

Во всех постановках поле перемещений однозначно определяется двумя компонентами вектора перемещений δ в каждой точке:

252Глава 10 Теоретическое описание

Вобеих плоских постановках рассматривается только по три компоненты деформаций и напряжений. Деформация связана с перемещением соотношением:

Соответствующее ей напряжение выражается как

σx {σ} = σy .

τxy

В осесимметричном случае радиальное перемещение приводит к деформации εθ, в направлении, перпендикулярном плоскости модели, поэтому выражение для полной деформации имеет вид:

Соответствующие компоненты напряжений:

σzσ {σ} = σr .θτrz

Уравнения статического равновесия для плоских задач имеют следующий вид:

а для осесимметричных задач:

где ƒx, ƒy и ƒz, ƒr - компоненты вектора плотности объемной силы.

Соотношение между напряжениями и деформациями при упругом поведении материалов выражается зависимостью:

{σ} = [D]({ε}− {ε0 }),

где [D] - матрица упругости, и {ε0} - начальная термическая деформация, вызванная перепадом температур. Вид матрицы зависит от применяемой постановки.

Матрица упругости для плоского напряженного состояния (изотропный материал):

Замечание: В плоских задачах задаются сосредоточенные нагрузки на единицу толщины моделируемого объекта, тогда как в осесимметричной постановке задается непосредственно сила, независимо от того, приложена она в точке (если вершина, в которой задана сила, находится на оси вращения) или распределена по окружности (вершина не лежит на оси).

Любая поверхностная сила, действующая по нормали к стороне в каждой ее точке, может быть описана как "давление". При этом на сторонах, составляющих внешнюю границу области, положительным считается давление, направленное извне вовнутрь области, а на внутренних сторонах - вправо при движении от начала к концу стороны. (В момент создания сторона получает естественную ориентацию, определяемую порядком указания вершин, являющихся ее концами. Для дуг положительным всегда считается направление против часовой стрелки).

Условия закрепления

Жесткое закрепление по любой из координат, или по обеим сразу, может быть задано в любой вершине или вдоль любой стороны области. Фиксированное перемещение вдоль линий закрепления описывается линейной функцией координат.

Условие пружинного подвеса описывает вершину, подвергающуюся действию силы, пропорциональной разнице между фактическим и начальным перемещением этой вершины. Оно характеризуется жесткостью пружины и начальным перемещением ее закрепленного конца.

Замечание. Для того чтобы задача была сформулирована корректно, необходимо задать жесткое или пружинное закрепление таким образом, чтобы исключить любое перемещение модели и ее частей, не изменяющее энергии состояния. В плоских задачах такое закрепление должно ограничивать сдвиг всей модели по осям x и y, а также поворот; в осесимметричных задачах достаточно ограничить сдвиг параллельно оси z.

σ = σ1 +σ2 +σ3 . 3

• Коэффициент запаса прочности по Хиллу для ортотропных материалов:

где σ1, σ2 и τ12 - вычисляемые напряжения в материале и,

X1 = X1T если σ1>0; X1 = X1C если σ1<0;

X2 = X2T если σ2>0; X2 = X2С если σ2<0;

S12 = S12+ если τ12>0; S12 = S12- если τ12<0,

где X1T, X2T, X1C, X2C, S12+ и S12- - предельно допустимые напряжения растяжения, сжатия и сдвига.

Интегральные величины:

• Полная сила, действующая на заданный объем

F = С∫ (σn)ds ,

где σ - тензор напряжений.

Интеграл вычисляется по границе указанного объема, и n означает единичный вектор внешней нормали.

•Полный вращающий момент относительно начала координат, действующий на заданный объем

T = 12 С∫ (r ×(σn))ds ,

где r – радиус-вектор точки интегрирования.