Часть 1. Осенний семестр
1. Основные законы цепей. Методы расчёта цепей постоянного тока
1.1 Определения и топология [+] Электрическая цепь — совокупность устройств и объектов, образующих путь для электрического тока. Схема — графическое изображение цепи условными обозначениями. Топология:
ветвь — участок с одним и тем же током (число ветвей В);
узел — точка соединения трёх и более ветвей (число узлов У);
контур — замкнутый путь по ветвям;
независимый контур — контур, содержащий хотя бы одну новую ветвь. Их число равно В − (У − 1).
Элементы:
активные: источник ЭДС (идеальный: u = e, не зависит от тока) и источник тока (идеальный: i = J, не зависит от напряжения);
пассивные: R, L, C.
условные обозначения идеального источника ЭДС, источника тока, R, L, C)
1.2 Законы [+]
Ома: I = U/R. Для ветви с ЭДС: I = (φa − φb + E)/R.
1-й закон Кирхгофа: алгебраическая сумма токов в узле равна нулю, Σ I = 0. Число независимых уравнений: У − 1.
2-й закон Кирхгофа: алгебраическая сумма ЭДС в контуре равна алгебраической сумме падений напряжения, Σ E = Σ I·R. Число независимых уравнений: В − (У − 1).
1.3 Основные задачи теории цепей [+]
Анализ: по известной схеме и параметрам найти токи и напряжения.
Синтез: по заданным свойствам найти схему и параметры.
1.4 Баланс мощностей [Л] Мощность, отдаваемая источниками, равна мощности, потребляемой приёмниками: Pист = Σ E·I = Pпр = Σ I²·R Слагаемое источника берётся со знаком «+», если ЭДС и ток в ветви совпадают по направлению, и с «−», если нет. Это критерий правильности расчёта.
1.5 Классификация цепей [+]
по роду тока: постоянного, переменного (синусоидального, несинусоидального);
по свойствам элементов: линейные и нелинейные;
по параметрам: с сосредоточенными и распределёнными;
по структуре: неразветвлённые и разветвлённые, простые и сложные.
1.6 Метод эквивалентных преобразований [Л] Последовательное соединение:
резисторы: rэ = Σ rk;
индуктивности: Lэ = Σ Lk;
конденсаторы: 1/Cэ = Σ 1/Ck;
источники ЭДС: Eэ = Σ Ek, со знаком «+» при совпадении направлений.
Параллельное соединение:
резисторы: 1/rэ = Σ 1/rk (то есть gэ = Σ gk);
индуктивности: 1/Lэ = Σ 1/Lk;
конденсаторы: Cэ = Σ Ck;
источники тока: Jэ = Σ Jk.
Реальный источник: источник ЭДС E с последовательным r эквивалентен источнику тока J = E/r с параллельным g = 1/r.
Правило растекания тока (два параллельных резистора): I₁ = I·R₂/(R₁ + R₂), I₂ = I·R₁/(R₁ + R₂) Делитель напряжения: Uвых = Uвх·R₂/(R₁ + R₂).
Звезда ↔ треугольник:
преобразование звезда–треугольник
Δ → Y: R₁ = R₁₂R₃₁/(R₁₂+R₂₃+R₃₁); R₂ = R₂₃R₁₂/(…); R₃ = R₃₁R₂₃/(…).
Y → Δ: R₁₂ = R₁ + R₂ + R₁R₂/R₃; R₂₃ = R₂ + R₃ + R₂R₃/R₁; R₃₁ = R₃ + R₁ + R₃R₁/R₂.
Порядок: сворачивать цепь от элементов, наиболее удалённых от источника, до одного эквивалентного Rэ. Затем найти общий ток и «разворачивать» обратно.
1.7 Принцип суперпозиции и метод наложения [Л] Принцип суперпозиции: реакция линейной цепи на сумму воздействий равна сумме реакций на каждое воздействие в отдельности: f(x₁+x₂+…) = f(x₁)+f(x₂)+… Он применим только к линейным цепям (мощность им не считается!).
Метод наложения: ток в любой ветви равен алгебраической сумме частичных токов от каждого источника отдельно.
Порядок:
Выбрать произвольно направления реальных токов.
Составить частичные схемы с одним источником. Идеальный источник ЭДС заменяется перемычкой (КЗ), идеальный источник тока — разрывом ветви.
Направления частичных токов задаются оставшимся источником.
Найти частичные токи эквивалентными преобразованиями и растеканием тока.
Реальный ток равен сумме частичных. Знак «+», если направление совпадает с выбранным реальным, иначе «−».
исходная схема с двумя ЭДС + две частичные схемы
Для схемы лекции: Rэ1 = R₁ + R₂R₃/(R₂+R₃), I₁′ = E₁/Rэ1, I₂′ = I₁′R₃/(R₂+R₃), I₃′ = I₁′ − I₂′. Аналогично для E₂. Затем I₁ = I₁′ + I₁″, I₂ = I₂′ + I₂″, I₃ = −I₃′ + I₃″. Метод удобен при небольшом числе источников (обычно не более трёх).
1.8 Метод контурных токов (МКТ) [Л] Сущность: вводят промежуточные переменные — контурные токи (условные токи, одинаковые на всех участках контура). Остаётся только система по 2-му закону Кирхгофа (исключаются У − 1 уравнений по 1-му закону).
Число контурных токов: Nкт = В − (У − 1).
Источник тока: контурный ток через него известен и равен J. Число уравнений Nмкт = Nкт − NJ.
Известные контурные токи выбираются так, чтобы проходить только через один источник тока.
Правило составления (для 2 контуров): I11·R11 + I22·R12 = E11 I11·R21 + I22·R22 = E22
где R11, R22 — собственные (полные) сопротивления контуров (сумма всех R контура); R12 = R21 — взаимное сопротивление (общие ветви), со знаком «−», если контурные токи в них встречны; E11, E22 — контурные ЭДС (алгебраическая сумма ЭДС контура, «+» если ЭДС совпадает с направлением контурного тока).
пример схемы с двумя контурными токами I11 и I22
Порядок: 1) определить Nкт; 2) выбрать контуры; 3) составить систему; 4) решить; 5) реальные токи найти как алгебраическую сумму контурных токов в ветви.
1.9 Метод узловых напряжений (потенциалов) [Л] Сущность: неизвестные — потенциалы узлов относительно базисного узла (φ = 0). Остаётся система по 1-му закону Кирхгофа.
Число узловых напряжений Nун = У − 1.
Ветвь только с идеальным источником ЭДС: напряжение между её узлами известно. Тогда Nмун = Nун − NЕ только.
Правило: U10·G11 − U20·G12 − U30·G13 = Jу1 −U10·G21 + U20·G22 − U30·G23 = Jу2 −U10·G31 − U20·G32 + U30·G33 = Jу3
G11, G22, G33 — собственные проводимости (сумма проводимостей ветвей, подключённых к узлу), Gij — взаимные (между узлами, берутся с «−»), Jуk — алгебраическая сумма токов источников в узле («+», если втекает в узел). Токи ветвей находят по обобщённому закону Ома, например I₃ = (U10 − U30)·G₃.\
пример схемы с узлами и базисным узлом
1.10 Метод эквивалентного генератора (Тевенина–Нортона) [+] Любую линейную активную цепь относительно двух зажимов можно заменить эквивалентным источником ЭДС Eэ с внутренним сопротивлением Rэ: I = Eэ/(Rэ + R), где Eэ = Uхх (напряжение холостого хода на зажимах), Rэ = входное сопротивление пассивной цепи (источники ЭДС закорочены, источники тока разомкнуты) или Rэ = Uхх/Iкз.
эквивалентный генератор
Порядок: 1) разомкнуть ветвь с искомым током; 2) найти Uхх; 3) найти Rэ; 4) вычислить ток.
