7. Переходные процессы [л]
7.1 Причины и законы коммутации Переходный процесс — переход цепи из одного установившегося режима в другой. Возникает при коммутации (включение, отключение, изменение параметров, КЗ, обрыв) в цепях с накопителями энергии: Wм = Li²/2, Wэ = Cu²/2. Энергия не может измениться скачком (иначе мощность p = dW/dt → ∞), поэтому:
1-й закон коммутации: ток в индуктивности не меняется скачком, iL(0₋) = iL(0₊).
2-й закон коммутации: напряжение на ёмкости не меняется скачком, uC(0₋) = uC(0₊).
Следствия: ветвь с L в момент включения эквивалентна разрыву; ветвь с разряженным C эквивалентна КЗ. Скачком могут меняться напряжения на индуктивностях и токи через ёмкости. В чисто резистивных цепях переходных процессов нет. Теоретически процесс длится бесконечно, практически считают конец при t = 5τ.
Идеальный ключ: R = 0 (замкнут), R = ∞ (разомкнут). Стрелка на обозначении ключа показывает положение после коммутации.
7.2 Классический метод (порядок расчёта) Решение = принуждённая (установившаяся) + свободная составляющие: i = iпр + iсв.
Граничные условия:
ННУ — независимые начальные условия: iL(0₋), uC(0₋) из режима до коммутации;
ЗНУ — зависимые начальные условия: остальные токи и напряжения при t = 0₊ из схемы после коммутации с учётом законов коммутации;
КУ — конечные условия: установившийся режим при t → ∞ (для постоянного источника L — КЗ, C — разрыв).
Составить дифференциальное уравнение по законам Кирхгофа для цепи после коммутации. Решение = общее решение однородного (свободная часть) + частное решение неоднородного (принуждённая).
Характеристическое уравнение получают подстановкой Ae^{pt} в однородное уравнение. Быстрый способ: метод входного сопротивления — записать Z(p) относительно любого разрыва (jω → p, R → R, L → pL, C → 1/pC, источники ЭДС закорочены, источники тока разомкнуты) и приравнять к нулю.
Постоянные интегрирования из начальных условий.
Записать законы изменения токов и напряжений.
7.3 Вид свободной составляющей (для цепи RLC) Характеристическое уравнение: LCp² + RCp + 1 = 0, p₁,₂ = −δ ± √(δ² − ω₀²), δ = R/2L.
Режим |
Корни |
Условие |
iсв |
Апериодический |
вещественные, разные |
R > 2√(L/C) |
A₁e^{p₁t} + A₂e^{p₂t} |
Критический |
вещественные, равные |
R = 2√(L/C) |
(A₁ + A₂t)e^{pt} |
Колебательный |
комплексно-сопряжённые p = −δ ± jω_св |
R < 2√(L/C) |
Ae^{−δt}·sin(ω_св t + ψ) |
|
|
|
|
График критического режима
Колебательный режим (график)
7.4 Пример из лекции: заряд RC-цепи от постоянной E Дано R, C, uC(0₋) = U₀, e = E.
ННУ: uC(0₋) = uC(0₊) = U₀.
ЗНУ: uR(0) = E − U₀, i(0) = (E − U₀)/R.
КУ: i(∞) = 0, uR(∞) = 0, uC(∞) = E.
Уравнение: RC·duC/dt + uC = E. Характеристическое: p + 1/τ = 0, τ = RC, p = −1/τ.
Решение: uC = E + (U₀ − E)e^{−t/τ}, i = ((E − U₀)/R)e^{−t/RC}, uR = (E − U₀)e^{−t/RC}.
Длительность процесса T = 5τ.
Связи элементов: uR = iR; uL = L·di/dt, iL = (1/L)∫u dt + I₀; iC = C·duC/dt, uC = (1/C)∫i dt + U₀.
7.5 Операторный метод (метод Лапласа) Прямое преобразование: F(p) = ∫₀^∞ f(t)e^{−pt}dt. Обратное: f(t) = (1/2πj)∫F(p)e^{pt}dp. Оригинал → изображение:
f(t) |
F(p) |
1 (постоянная A) |
A/p |
e^{αt} |
1/(p − α) |
sin ωt |
ω/(p² + ω²) |
df/dt |
pF(p) − f(0) |
∫f dt |
F(p)/p |
Операторные схемы замещения (Z(p) вместо Z(jω)):
операторные схемы L и C при нулевых и ненулевых начальных условиях
Начальные условия учитываются в самих схемах замещения (нет подбора постоянных интегрирования). Порядок: 1) найти ННУ; 2) составить операторную схему; 3) рассчитать любым методом, получить I(p) = F₁(p)/F₂(p); 4) обратная задача — по изображению найти оригинал.
Теорема разложения (простые корни pk уравнения F₂(p) = 0): i(t) = Σ F₁(pₖ)/F₂′(pₖ) · e^{pₖt}. При корне p = 0 добавляется постоянное слагаемое (принуждённая составляющая). Прямая задача — по оригиналу найти изображение (таблицы). Метод удобен для порядка выше второго.