2. Методы расчёта цепей синусоидального тока
2.1 Элементы R, L, C [+] Синусоидальный ток: i = Im·sin(ωt + ψ), ω = 2πf, T = 1/f.
Элемент |
Связь u и i |
Сопротивление |
Фазовый сдвиг |
R |
u = iR |
R |
φ = 0 |
L |
u = L·di/dt |
XL = ωL, Z = jωL |
ток отстаёт от u на 90° |
C |
i = C·du/dt |
XC = 1/ωC, Z = −j/ωC |
ток опережает u на 90° |
Схемы замещения реальных элементов: катушка = последовательно R и L (R — потери в проводе); конденсатор = C с параллельной утечкой G (или последовательное r); резистор = R с паразитными L и C.
2.2 Значения величин [+]
Мгновенное i(t).
Среднее за период равно 0, поэтому берут среднее за полупериод: Iср = 2Im/π ≈ 0,637 Im.
Действующее (равно тепловому действию постоянного тока): I = √((1/T)∫i²dt) = Im/√2 ≈ 0,707 Im.
2.3 Метод комплексных амплитуд (символический) [+] Синусоиду заменяют комплексным числом: i = Im sin(ωt+ψ) ↔ İm = Im·e^{jψ} (на комплексной плоскости вращающийся вектор). Дифференцирование заменяется умножением на jω, интегрирование — делением на jω. Дифференциальные уравнения превращаются в алгебраические.
Законы Кирхгофа в комплексной форме: Σ İ = 0, Σ Ė = Σ Z·İ.
Комплексное сопротивление Z = R + jX = z·e^{jφ}, z = √(R²+X²), φ = arctg(X/R). Для RLC последовательно: X = ωL − 1/ωC.
Комплексная проводимость Y = 1/Z = G − jB.
Все методы постоянного тока (преобразования, наложение, МКТ, МУП) работают в комплексной форме.
Пример: последовательная RL İ = U̇/(R + jωL), I = U/√(R²+(ωL)²), φ = arctg(ωL/R). Векторная диаграмма: İ по оси, U̇R ‖ İ, U̇L опережает İ на 90°, U̇ = U̇R + U̇L.
последовательная RL + векторная диаграмма
2.4 Мощности [+]
Активная P = UI·cosφ = I²R, Вт.
Реактивная Q = UI·sinφ = I²X, вар (индуктивная «+», ёмкостная «−»).
Полная S = UI = √(P²+Q²), В·А.
Комплексная S̃ = U̇·İ* = P + jQ.
Коэффициент мощности cosφ = P/S. Низкий cosφ ведёт к росту токов и потерь в сети, поэтому его повышают конденсаторами.
треугольник мощностей
Треугольник мощностей — это геометрическое представление соотношения между тремя видами электрической мощности в цепях переменного тока: активной, реактивной и полной. Он представляет собой прямоугольный треугольник, который строится на основе треугольника напряжений путем умножения всех его сторон на действующее значение тока \(I\).
Активная мощность (\(P\)): Мощность, которая совершает полезную работу (преобразуется в тепловую, механическую или световую энергию). Измеряется в ваттах (Вт / W) и откладывается по горизонтальной оси (прилежащий катет), так как совпадает по фазе с током. Formula: \(P = U \cdot I \cdot \cos\varphi\).
Реактивная мощность (\(Q\)): Мощность, которая расходуется на создание магнитных (в катушках индуктивности) или электрических (в конденсаторах) полей. Она непрерывно колеблется между источником и нагрузкой, не совершая полезной работы. Измеряется в вольт-амперах реактивных (вар / var) и откладывается по вертикальной оси (противолежащий катет). Для индуктивной нагрузки вектор направлен вверх, для емкостной — вниз. Formula: \(Q = U \cdot I \cdot \sin\varphi\).
Полная мощность (\(S\)): Геометрическая сумма активной и реактивной мощностей, определяющая общую нагрузку на электрическую сеть. Измеряется в вольт-амперах (В·А / VA) и является гипотенузой треугольника. Formula: \(S = \sqrt{P^2 + Q^2} = U \cdot I\).
Коэффициент мощности (\(\cos\varphi\)): Отношение активной мощности к полной (\(\cos\varphi = P / S\)), показывающее эффективность использования электроэнергии.
Баланс мощностей: ΣP источников = ΣP приёмников, ΣQ источников = ΣQ приёмников.