8.4. Обработка результатов косвенных измерений

Рассмотрим случай, когда интересующая нас величина z является функцией k непосредственно измеряемых величин x₁, x₂,…, x_k:

z = z(x1, x2, …, xk).	(8.4.1)

Обозначим через x₁ⁱ, x₂ⁱ,…, x_nⁱ набор значений, принимаемых первичными переменными при их i-м измерении. Пусть всего проведено n измерений и, соответственно, получено n таких наборов, то есть i пробегает значения от 1 до n: i = (1, n). При обработке этих результатов можно поступить двояким образом.

Способ 1

Вычисляем n значений zⁱ функции z, подставляя в выражение (8.4.1) конкретные наборы значений аргументов x₁ⁱ, x₂ⁱ,…, x_kⁱ:

zi = z(x1i, x2i,…, xki),	i = (1, n).	(8.4.2)

После этого совокупность вычисленных значений zⁱ обрабатываем как серию прямых измерений с помощью формул (5.2.1) и (8.3.1):

• находим среднее арифметическое из этих n значений zⁱ функции z

  	(8.4.3)

• оцениваем ошибку косвенных измерений по формуле Стьюдента (8.3.1)

	(8.4.4)

Способ 2

По n значениям каждой из напрямую измеренных переменных x₁, x₂,…, x_k:с помощью методики Стьюдента по формулам (5.2.1) и (8.3.1), (7.3.2), (7.4.2), (7.5.1) находим:

• средние значения аргументов <x₁>, <x₂>, …, <x_k>;

• ошибки x₁, x₂, …, x_k. При этом для всех переменных принимаем одно и то же значение надежности p = 0.95

Конечный результат находится подстановкой найденных средних <x₁>, <x₂>, …, <x_k> от непосредственно измеренных величин в формулу для функции z

z = z(<x1>, <x2>, …, <xk>).	(8.4.5)

Полуширину доверительного интервала z для результата косвенных измерений оцениваем по формуле

	(8.4.6)

где - частные производные функции z, вычисляемые при значениях переменных x₁ = <x₁>, x₂ = <x₂>, …, x_k = <x_k>. Каждая частная производная может быть найдена как обыкновенная производная функции z(x₁, x₂, …) по соответствующему аргументу, если оставшиеся аргументы рассматривать как постоянные параметры ([5], с. 107).

Результирующая погрешность z имеет ту же надежность p = 0.95.

Сравнивая слагаемые в подкоренном выражении (8.4.6), можно понять, погрешности каких из непосредственно измеряемых величин вносят наибольший вклад в окончательную ошибку z. Указанный анализ выражения (8.4.6) для результирующей ошибки z полезен для того, чтобы при подготовке и проведении эксперимента направить основные усилия на повышение точности в определении тех параметров, которые вносят основной вклад в ошибку z и, напротив, увидеть, на измерения каких величин можно не затрачивать большого труда.

В качестве примера применения второго способа рассмотрим обработку косвенных измерений величины z по измерениям двух величин - x и y: z = z(x, y). Среднее значение <z> находим по средним <x> и <y>

<z> = z(<x>, <y>),	(8.4.7)

а для вычисления погрешности z воспользуемся правилом (8.4.6)

	(8.4.8)

где x и y – погрешности в определении величин x и y.

Пусть, например, в нашей задаче об определении расстояния шагами (параграф 8.1) требовалось определить не число шагов X от дома до работы, а расстояние L в метрах. Тогда необходимо было бы еще измерить среднюю длину шага l на некоторой мерной длине, например, на стометровке. Пусть в результате этих дополнительных измерений оказалось, что длина шага l равна

l = (0.99 ± 0.02) м	(p = 0.95).	(8.4.9)

Тогда среднее расстояние от дома до работы <L> = <x>∙<l> равнялось бы

<L> = <x> ∙ <l> = 6.4∙103∙0.99 6.3∙103 м.	(8.4.10)

Для того, чтобы оценить погрешность опыта, учтем, что в нашем случае формула (8.4.8) приводит к следующему выражению:

	(8.4.11)

которое удобно записать, разделив обе части на <L>² = <x>²∙<l>²:

	(8.4.12)

Отсюда можно найти погрешность

	(8.4.13)

Разрешая это уравнение относительно L, находим L 2∙10² м. Таким образом, окончательный результат должен быть записан так:

L = (6.3 ± 0.2)∙103 м	(p = 0.95).	(8.4.14)

Более подробные сведения по статистической обработке данных можно найти в книгах [1] и [6]. В них показано, в частности, что, если ошибки измерений малы по сравнению с измеряемой величиной, то оба приведенных выше способа обработки результатов косвенных измерений дают одинаковые данные. Однако с точки зрения удобства расчетов второй способ представляется менее трудоемким.