Игла Бюффона
Принадлежности: лист миллиметровой бумаги и тонкий стержень – проволочная спица, иголка, спичка, карандаш, авторучка и т.д.
Для опытного определения приближенного значения числа π Бюффоном был предложен эксперимент, в котором на горизонтальную плоскость, разграфленную на квадратные клетки вертикальными и горизонтальными прямыми, отстоящими друг от друга на расстоянии 2а (см. рисунок 10.2.1), наудачу, т. е. случайным образом, бросается игла длиной 2l (l > 0).
Обозначим через mi число прямых, которые пересекает и которых касается игла при i-ом бросании. В приведенном на рисунке 10.2.1 примере mi = 14: семь горизонтальных и семь вертикальных линий.
|
|
Рис. 10.2.1. Схема эксперимента по определению числа π |
Авторы провели опыты с миллиметровой бумагой и шариковой авторучкой длиной 2l = 13.7 см, подсчитывая числа пересечений сантиметровых делений (2а = 1.00 см). Результаты одного из опытов приведены в таблице 10.2.1.
Таблица 10.2.1 (29.04.2003)
Данные для определения числа π
Масштабно-координатная бумага 2а = 1.00 см
Шариковая ручка длиной 2l = 13.7 см
Номер бросания i |
Число пересечений mi, безразмерно |
Число π, безразмерно |
<π> - πi |
(<π> - πi)2 |
1 2 3 4 5 |
19 16 17 19 20 |
2.88 3.42 3.22 2.88 2.74 |
- 0.13 0.41 0.21 - 0.13 - 0.27 |
0.017 0.168 0.044 0.017 0.073 |
Среднее |
- |
3.03 |
- |
- |
Число π находится по формуле [10, 11]:
|
|
|
(10.2.1) |
|
|
.Обоснование этой формулы дается в конце описания данной лабораторной работы.
Обработка данных таблицы 10.2.1 по Стьюденту (формулы (5.2.1) и (8.3.1)) дает
|
|
|
π = 3.05 ± 0.35 ≈ 3.0 ± 0.4 |
(p = 0.95). |
(10.2.2) |
|
|
|
Для наглядности нанесем на числовую ось точками каждый из приведенных в таблице 10.2.1 результатов πi (рисунок 10.2.2, а). Среднее значение <π> отметим сплошной вертикальной чертой, а доверительный интервал (<π> - π, <π> + π) покажем круглыми скобками. «Истинное» значение числа π = 3.1415… изобразим вертикальной пунктирной линией. Обратим внимание, что, в соответствие с определением доверительного интервала как интервала, в который при p = 0.95 попадает 95 % всех результатов (строго говоря, при очень длинной серии испытаний), вне скобок на рисунке 10.2.2, а располагается всего одна экспериментальная точка.
|
|
|
Рис. 10.2.2. Результаты измерений числа π:
а – экспериментальные точки, среднее и истинное значения, доверительный интервал по данным таблицы 2.2.1;
б – гистограмма данных таблицы 10.2.2. По вертикали отложено количество экспериментальных точек, попавших в интервал. Максимальная ордината отвечает 18 попаданиям, а минимальная отличная от нуля ордината – одному попаданию
Из числовой записи экспериментальных результатов (10.2.2) и диаграммы рисунка 10.2.2, а видно, что в нашем случае «истинное» значение числа π попадает в найденный в опытах доверительный интервал. В отчетах, статьях и других научных сообщениях этот вывод принято формулировать примерно такими словами: «В пределах погрешности эксперимента приведенный результат согласуется с табличными данными (данными других авторов, результатами теоретических расчетов и т.д.)».
Как обсуждалось в разделе 8, метод Стьюдента применим лишь для случайных величин, распределения которых близки к распределению Гаусса (8.2.3). Поэтому, вообще говоря, прежде чем использовать формулы Стьюдента (5.2.1) и (8.3.1) для обработки результатов эксперимента, следует убедиться, что даваемые этим экспериментом результаты удовлетворяют такому условию. Сделать это можно, проведя достаточное количество измерений и сравнив их гистограмму с гауссовой кривой. Чтобы показать, что результаты измерений числа π с помощью бросаний иглы удовлетворяют названному требованию, авторы выполнили 100 измерений, включая пять приведенных выше. Распределение результатов на числовой оси дается в таблице 10.2.2.
Таблица 10.2.2 (1.05.2003)