Практикум по высшей математике_часть 2

Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Донецкий национальный университет

Предмет:

Высшая математика

Файл:

= ln |1 + x |

13 = ln 4 −ln 2 = ln

.pdf

Скачиваний:

267

Добавлен:

13.04.2015

Размер:

8 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 / 2311 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 > Следующая >>>

23)

∫sin4

dx ;

25)

∫sin3 x dx ;

27)

∫cos7 x dx ;

29)

∫sin6 x dx ;

31)

∫cossin

4 xx dx ;

33)

∫tg3 3xdx ;

35)

∫ctg3 xdx ;

37)

∫

;

1 +sin

2 x

39)

∫

;

+ tgx

41)

∫

;

sin6 xcos2 x

43)

∫

;

cos6 x

45)

∫

sin xdx

;

1 +sin x

47)

∫

;

sin

cos

49)

∫

;

(sin x + cos x)2

51)

∫

;

−3cos x

6.9. Найти интегралы:

1) ∫

;

x( x + 5 x2

)

∫

;

x +

2 + 3

5) ∫(6 x + 2 3 x + x ) x dx ;

24)

∫sin5 x dx ;

26)

∫cos3 xdx ;

28)

∫(1 + 2cos x)3 dx ;

cos3 x

30)

∫sin2 x dx ;

cos3 x

32)

∫sin4 x dx ;

34)

∫ctg4 2xdx ;

36)

∫

;

1 + cos

2 x

38)

∫

;

3sin2 x +5cos2 x

40)

∫

cos3 xdx

;

sin x

42)

∫

;

sin2 xcos2 x

44)

∫

;

sin4 x

46)

∫

ctg3

+ ctg

4 x

dx ;

48)

∫

;

sin x + cos x

50)

∫

;

+ 4sin x

52)

∫

sin2 x + tg2 x

2) ∫

x + 3 x2 +

dx ;

x(1 + 3 x )

∫

xdx

;

−

6) ∫

dx ;

−

7) ∫

6 −

x + 4

dx ;

8) ∫

;

−

7x −6

x + 2

9) ∫

1 − x

;

10)

∫

1 + x

;

1 + x

1 − x

− x

11) ∫

2 − x

∫x

2 − x

2 + x dx ;

12)

2 + x dx ;

(2 − x)2

13) ∫

;

14)

∫

4 (x −1)

(2 + x)

(2 − x) 4 − x

6.10. Найти интегралы от дифференциального бинома:

∫

3 1 + 4

dx ;

∫

3 xdx

;

x3 (1 −

x )

∫

;

4 + 2x

∫

x3dx

;

(

2 + x2 )

∫3 1+ 4 xdx ;

11) ∫

3 1+ x3

dx ;

13) ∫

2 +

dx ;

4 7

6.11. Найти интегралы вида

1)	∫			3x − 2				dx ;
			x	2
					− 2x +8
3)	∫					dx			;
		x	1 −4x − x				2

5)	∫					dx				;
		x		x	2	− 4x +	25

∫ x (1 + 3 x )dx ;

∫

;

x (1 + 3 x )3

∫

x11dx

;

1 + x

4 1 +

)

∫

(

dx ;

10) ∫

3 1 +

dx ;

12) ∫

;

x3 3 1 + 4

14) ∫

1 +

dx .

∫R(x, ax2 +bx + c )dx :

∫

xdx

;

+ 2x +1

∫ x2 −5x +1dx ;

∫

(2x −1)dx

;

5 − 2x − x

100

∫

x3dx

;

− 2x +5

∫x2

4 − x2 dx ;

11)

∫

−1

dx ;

2 +

13)

∫

3 − 2x − x2 dx ;

15)

∫

x4dx

;

+ 4x +5

17)

∫

x + x2 dx

;

19)

∫

x2dx

;

−3x +1

21)

∫

;

(x +1)

1 + x + x

23)

∫

;

4x +

25)

∫

;

1 − x

6.12. Найти интегралы:

	∫	x − x3e2 x + x2
1)								dx ;
1)				x	3			dx ;
				x
3)	∫	xdx				;
3)	∫	2				;
		x	+9
5)	∫	xdx		;
5)	∫	x −5		;
		x −5
7)	∫	dx				;
7)	∫	x(x +1)				;
		x(x +1)
9)	∫			dx			;
9)	∫	(x +1)(2 −3)					;
		(x +1)(2 −3)

∫

;

(

)

− x

10)

∫x2

x2 −1dx ;

12)

∫

(x2 −1)3 dx ;

14)

∫

9x − x2 dx ;

16)

∫

;

(x2 − 2x +5)

18)

∫

(x +1)dx

;

− 2x

20)

∫

x2dx

;

4 + x

22)

∫

;

− x +1

24)

∫

;

(x −1)

1 + x − x

26)

∫

(x +

1 + x2 )15

dx .

1 + x

Разные функции

∫

;

(3x − 4)5

∫

x2dx

;

4 3

x +

∫

x +3

dx ;

2x −1

∫

;

x2 −7x +1

10) ∫

;

−6x +8

101

11) ∫		dx		;
	5	− 4x − 4x	2

13) ∫sin 5xsin 7x dx ;

15) ∫sincos3 xdxx ;

17)∫ (x +1)dx ;

x2 + x − 2

19) ∫sin(lnxx)dx ;

21) ∫sin xxdx ;

23)∫(ln x −1)dx ;

xln x

25) ∫e−x −1 ;

27)	∫	xdx		;
27)	∫			;
		x −1
29)	∫(x −1)cos5xdx ;
31)	∫x 52 x dx ;
33)	∫x2 cos5xdx ;
35)	∫x2 e2 xdx ;
37)	∫	dx				;
37)	∫	(x −1)(x −2)				;
		(x −1)(x −2)
39)	∫	x3dx			;
39)	∫	x2 +2x −3			;
41)	∫earcsin xdx ;
	∫	arcsin ex
43)	∫	ex		dx ;
45)	∫	xln	xdx		;
45)	∫	2	3		;
		(x	−1)

12)

∫sin 3xcos x dx ;

14)

∫

1 −sin x

dx ;

cos x

16)

∫(x − 4) e4 x2 dx ;

18)

∫

x4dx

;

−

20)

∫ sin5

xdx2

;

cos

22)

∫

;

xln2 x

24)

∫

arccos2 xdx

;

1 − x

26)

∫

;

x 2x −x

28)

∫

e3xdx

;

1−e

30)

∫(2x +1)sin 4xdx ;

32)

∫

xcos 2xdx

;

sin3 2x

34)

∫xarccos(2x −1)dx ;

36)

∫e2 x cos 4xdx ;

38)

∫

x2 −2

dx ;

(x +1)(x +

arctgxdx 40) ∫ x4 ;

42)∫ln(x +1)dx ;

x+1

44)∫ x1e+xdxex ;

46) ∫arcsinx(1 − xx) dx .

102

ТЕМА 3

ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

Понятие определенного интеграла. Формула Ньютона – Лейбница

Пусть функция f (x) , f (x) ≥ 0 определена и ограничена на отрезке [a;b].

Разобьем	произвольно	отрезок	[a;b]	на	n	частей	точками
a = x0 < x1 < x2 <... < xn = b . Из каждого интервала (xi−1 , xi )						возьмем произволь-
ную точку ξi	и составим сумму
	n
	∑ f (ξi )∆xi ,						(6.8)

i=1

где ∆xi = xi − xi−1 .

Сумма (6.8) называется интегральной суммой функции f (x) на отрезке

[a;b]. Предел интегральной суммы при max ∆xi = max (xi − xi−1 )→ 0 , если он
1≤i≤n	1≤i≤n

существует и конечен, называется определенным интегралом от функции f (x) в пределах от a до b и обозначается:

b		n
∫ f (x)dx = maxlim∆x →0 ∑ f (ξi )∆xi .			(6.9)
a	i	i=1

В формуле (6.9)	функция f (x) называется подынтегральной функций;
переменная x – переменной интегрирования; числа a и b			– соответственно
нижним и верхним пределами интегрирования.

Пусть f (x) или непрерывна на отрезке [a;b] или на этом отрезке имеет конечное число точек разрыва первого рода, тогда f (x) интегрируема на этом

отрезке. Для вычисления определенного интеграла используют формулу Нью-

тона – Лейбница

∫b	f (x)dx = F (x)	ba = F (b) − F (a) ,	(6.10)

a

где F(x) – одна из первообразных (любая) функции f (x) .

Свойства определенного интеграла

1. Определенный интеграл зависит только от пределов интегрирования и вида подынтегральной функции и не зависит от обозначения переменной интегрирования, т.е.

103

∫b f (x)dx = ∫b f (t)dt = F (b) − F (a) .

2.При перестановке пределов интегрирования, определенный интеграл меняет знак на противоположный

∫b	f (x)dx = −∫a	f (x)dx .
a	b

3. Определенный интеграл с одинаковыми пределами интегрирования равен нулю

∫a f (x)dx = 0 .

4. Определенный интеграл от алгебраической суммы конечного числа функций равен алгебраической сумме определенных интегралов от слагаемых функций

∫b ( f (x) ± g(x))dx = ∫b		f (x)dx ± ∫b g(x)dx .
a	a	a

5. Постоянный множитель (константу) можно выносить за знак определенного интеграла

		∫b	C f (x)dx = C∫b			f (x)dx , где C – произвольная константа.
		a			a
6.	Если c – произвольная точка из [a;b], (c [a;b]), то
		∫b	f (x)dx = ∫c		f (x)dx + ∫b		f (x)dx .
		a		a		c
7.	Знак определенного интеграла:
если		f (x) > 0		для всех x [a;b]				и a < b , то ∫b	f (x)dx > 0 ,
								a
если		f (x) < 0		для всех x [a;b]				и a < b , то ∫b	f (x)dx < 0 .
								a
8.	Если f (x) > g(x)				для всех x [a;b] и a < b , то справедливо неравенство
		∫b	f (x)dx > ∫b g(x)dx .
		a		a

104

9. Если f (x) интегрируема на [a;b] и a < b , то

∫b f (x)dx ≤ ∫b f (x) dx .

10.Если f (x) интегрируема на [a;b], где a < b и для всех x [a;b] справедливы неравенства m ≤ f (x) ≤ M (т.е. функция ограничена на отрезке [a;b]), то

m(b − a)≤ ∫b				f (x)		dx ≤ M (b − a).


			a
11. (Теорема о среднем значении функции.) Если на отрезке [a;b] функ-
ция f (x) непрерывна				и для всех x [a;b] справедливы			неравенства
m ≤ f (x) ≤ M , то найдется x = c , где c [a;b], такое, что
∫b	f (x)dx = (b − a) f (c) .						(6.11)
a
Из формулы (6.11) следует справедливость равенства
ym =		∫b	f (x)dx
		a			.		(6.12)
			b − a		.		(6.12)
			b − a
Значение	ym называется средним значением функции f (x)						на отрезке
[a;b].

Определенный интеграл как функция верхнего предела

Если функция интегрируема на отрезке [a;b], то она интегрируема и на отрезке [a; x], где x [a;b]. Если верхний (или нижний) предел интегрирова-

ния принимает различные значения, то интеграл становиться функцией от верхнего (нижнего) предела интегрирования. Обозначим верхний предел через

x , а переменную интегрирования через t		в отличие от верхнего предела. Тогда
на отрезке [a;b] определена функция от переменной x вида
Φ(x) = ∫x	f (t)dt .	(6.13)
a

Функция (6.13) называется интегралом с переменным верхним пределом интегрирования.

105

Если f (x) − непрерывная функция и Φ(x) = ∫x f (t)dt , то имеет место ра-

венство Φ′(x) = f (x) . Данное равенство означает, что для непрерывной на от-

резке [a;b] функции f (x) интеграл Φ(x) = ∫x	f (t)dt является первообразной
a
функцией.

Формулы замены переменной и интегрирования по частям в определенном интеграле

Пусть функция f (x) интегрируема на отрезке [a;b]. Введем новую переменную интегрирования x =ϕ(t) , где ϕ(t) – однозначна, непрерывна и имеет

	′
непрерывную производную ϕ (t) на отрезке [α; β], причем ϕ(α) = a , ϕ(β) = b .
Тогда справедлива формула замены переменной в определенном интеграле
b	β

	′
∫ f (x)dx = ∫ f (ϕ(t))ϕ (t)dt .
a	α

На практике замену переменной проводят с помощью монотонных непрерывно дифференцируемых функций. При этом замену пределов интегрирования удобно записывать в виде таблицы

x	a	b
			.
t	α	β	.

Пусть функции u(x) и v(x) дифференцируемы на отрезке [a;b]. Тогда справедлива формула интегрирования по частям в определенном интеграле

b b

∫udv = uv ba − ∫vdu .

a a

Приближенное вычисление определенных интегралов

1. Формула прямоугольника. Отрезок [a;b] разбивают на n равных час-

тей точками	x	= a +	b − a	k ,	k = 0,1,..., n . Тогда определенный интеграл от не-

	k		n
прерывной на [a;b] функции f (x) приближенно равен
	b			n−1	n
	∫ f (x) ≈ b − a ∑ f (xk ) =b − a ∑ f (xk ) .
	a		n k =0		n k =1

106

Формула трапеции.

− a f (a) +

f (b)

n−1

∫ f (x) ≈

∑ f (xk )

k =0

где

= a +

b − a

k ,

k = 0,1,..., n −1.

Формула Симпсона. Отрезок [a;b] разбивают на 2n равных частей

− a

n−1

∫ f (x) ≈

f (a) + f (b) + 2∑ f (x2k ) + 4∑ f (x2k −1 )

k =1

где

= a +

b − a

k ,

k = 0,1,...,2n .

Примеры решения задач

Пример 6.40. Вычислить ∫3

x3dx .

Решение. Так как одной из первообразных для

функции

x3 является

функция

, то, применяя формулу Ньютона - Лейбница, находим

∫x3dx =

= 3

−1

= 81 −1

= 20 .

Пример 6.41. Вычислить интегралы:

2) ∫1

3) ∫3

∫2 sin 2xdx ;

;

0 1 + x

1 1 + x

Решение. Используя таблицу интегралов и формулу Ньютона – Лейбница,

получаем:

π 2

∫2 sin 2xdx = −cos 2x

= −1 (cosπ −cos0)= −

1 (−1 −1)=1;

2) ∫0

= arctg x

= arctg1 −arctg 0 = 4 −0 =

;

1 + x2

107

Замечание: Формула Ньютона – Лейбница может быть использована только для вычисления определенного интеграла от непрерывной на отрезке [a;b] функции f (x) , если равенство F′(x) = f (x) справедливо на всем отрезке

[a;b]. Если в качестве первообразной использовать разрывную функцию, то может быть получен неверный результат (см. пример 6.48).

	π
Пример 6.42. Вычислить ∫2 cos x esin xdx .
	1
Решение. Используем подстановку
t =sin x;	x	0		π	2	.


dt = cos xdx;
	t	0	1

На отрезке [0; 1] функция x = arcsin t является монотонной, следователь-

но, можно использовать приведенную замену переменной. Тогда

∫2 cos x esin xdx = ∫1 et dt = et

= e1 −e0 = e −1.

Пример 6.43. Вычислить ∫2 xsin xdx .

Решение.

= x,

dv = sin xdx

∫2 xsin xdx =

= −xcos x

π0

+ ∫2 cos xdx =

du = dx, v = −cos x

= π cos π +sin x

π 2 = sin π

−sin 0 =1.

Пример 6.44. Определить среднее значение функции y =sin x на отрезке

[0; π].

Решение. Согласно формуле (6.12), получаем

ym =	π∫sin xdx	= −	1	cos x	π0	= −	1	(cosπ −cos0)=	2	.
	0

	π −0		π				π		π

108

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 / 2311 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Высшая математика

#
13.04.20155 Мб213Полшков Ю.Н. Курс лекций по высшей математике.pdf
#
13.04.20156 Мб230Практикум по высшей математике_часть 1.pdf
#
13.04.20158 Мб267Практикум по высшей математике_часть 2.pdf