Практикум по высшей математике_часть 2

Потенцируем последнее равенство:

y + 2 = Cesin x или y = Cesin x − 2 .

Пример 7.6. (Задача об эффективности рекламы.) Некоторая торговая фирма рекламирует реализуемую продукцию. В момент времени t0 = 0 о про-

дукции из рекламы получили информацию x0 человек из общего числа N по-

тенциальных покупателей. Затем информация о товаре распространяется посредством общения людей. Предполагая, что число встреч для передачи информации за время ∆t пропорционально количеству людей, уже владеющих этой информацией; количеству людей, не владеющих информацией, и промежутку времени ∆t , определить закон распространения сообщения во времени.

Решение. Пусть число людей, владеющих информацией в момент времени t > 0, равно y(t) . Тогда, согласно условию задачи, число людей ∆y полу-

чающих информацию за промежуток времени ∆t определяется равенством

Интегрируя левую и правую части последнего равенства, находим общее решение дифференциального уравнения:

∫ y(Ndy− y) = ∫kdt .

Вычислим интеграл, стоящий в левой части последнего равенства. Так как подынтегральная функция является правильной рациональной дробью, то с помощью метода неопределенных коэффициентов раскладываем ее на сумму простейших дробей:

148

Отсюда

Тогда для общего решения исходного дифференциального уравнения получаем:

N1 ln N y− y = kt + ln | C | ln N y− y = ln | CeNkt |

или

Наконец, разделив числитель и знаменатель дроби, стоящей в правой части последнего равенства на CeNkt , находим

Функция (7.11) называется логистической, а ее график – логистической кривой.

С помощью логистической функции можно описать многие экономические, социальные, технологические и биологические процессы, например, постоянный рост продаж, распространение слухов, распространение технических новшеств, рост популяции определенного вида животных и др.

Однородные дифференциальные уравнения

Уравнение вида

называется однородным дифференциальным уравнением.

149

Уравнение (7.12) приводят к уравнению с разделяющимися переменными с помощью подстановки y = ux , где u =u(x) – новая искомая функция. Про-

дифференцировав равенство y = ux по переменной x , получаем:

Полученное уравнение является уравнением с разделяющимися переменными. Найдя общее решение уравнения (7.14), получим общее решение исход-

ного уравнения (7.12), заменив u на xy .

Пример 7.7. Найти общий интеграл уравнения xy′ = 3y − x . Решение. Поделив обе части уравнения на x , получаем:

т.е. уравнение (7.15) – это однородное уравнение.

Для решения уравнения (7.15) вводим новую переменную u(x) = y x .

Тогда y = ux и y′ = x dudx +u . После соответствующей подстановки уравнение

(7.15) принимает вид:

x dudx +u = 3u −1,

или

xdu = (2u −1)dx .

Таким образом, получили уравнение с разделяющимися переменными. Следовательно,

ln | 2u −1|= ln | Cx2 |, C = C12

150

или

Пример 7.8. Найти общее решение уравнения

(y2 − xy)dx +(x2 − 2xy)dy = 0 .

Полученное уравнение есть однородное уравнение первого порядка. Для его решения используем замену u = y x или ux = y . Тогда

u′x +u = u −u2 . 1 − 2u

Разделяем переменные:

или

−u1 − 2ln u = ln Cx u1 + ln Cxu2 = 0 .

Возвращаемся к старой переменной, подставив в последнее равенство выражение u = y x :

151

уравнение называется однородным. Если Q(x) ≡ 0 , то дифференциальное урав-

нение (7.16) называется неоднородным.

Для решения линейного дифференциального уравнения можно использовать метод Бернулли или метод вариации произвольных постоянных. Рассмот-

В качестве функции u = u(x) берут функцию, для которой выполняется равенство u′+ P(x)u = 0 . Тогда

152

Подставим найденное значение в уравнение (7.17), при этом учитываем,

что u′+ P(x)u = 0 :

dv = Q(x) e∫P(x)dxdx, v = ∫Q(x) e∫P(x)dxdx +C ,

где C – произвольная постоянная.

Окончательно получаем решение дифференциального уравнения (7.16):

Метод вариации произвольных постоянных. Предположим, что правая часть уравнения (7.16) равна нулю, т.е. решаем соответствующее однородное уравнение

где C – произвольная постоянная.

Для решения исходного уравнения, предположим, что произвольная постоянная C в последнем равенстве (7.18) есть некоторая функция от переменной x . При этом решение уравнения (7.16) будем искать в виде

Подставив функцию (7.19) и ее производную в исходное уравнение, получаем:

C′(x)e−∫P(x)dx − P(x) C(x)e−∫P(x)dx + P(x) C(x)e−∫P(x)dx = Q(x)

153

или

C′(x)e−∫P(x)dx = Q(x), C(x) = ∫Q(x)e∫P(x)dxdx +C1 ,

где C1 – некоторая константа.

Окончательно решение дифференциального уравнения (7.16) принимает

вид:

который совпадает с раннее полученным по методу Бернулли решением.

Примеры решения задач

Решая уравнение u′− 2xu = 0 , находим его простейшее частное решение:

из которого находим

v′ =1, dv = dx, v = x +C .

Итак, общее решение исходного уравнения имеет вид:

y= u v = ex2 (x +C) .

2)Найдем общее решение исходного уравнения по методу вариации произвольной постоянной. Решаем однородное уравнение, соответствующее исходному

154

ln | y |= x2 + ln C, y = Cex2 .

Предположим, что C = C(x) . Тогда решение уравнения будем искать в виде функции y = C(x)ex2 . Следовательно, y′ = C′(x)ex2 + 2x C(x)ex2 и исходное уравнение принимает вид:

155

Отсюда

Подставим найденное значение переменой v =v(x) в уравнение (7.21):

Полученное уравнение является линейным и может быть решено с помощью замены переменной вида x( y) = u( y) v( y) . Тогда

156

Отсюда

∫du = −∫e−2 y y2 dy .

Дважды используя формулу интегрирования по частям, вычислим интеграл, стоящий в правой части последнего равенства:

157