Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Донецкий национальный университет

Предмет:

Высшая математика

Файл:

Практикум по высшей математике_часть 2

.pdf

Скачиваний:

266

Добавлен:

13.04.2015

Размер:

8 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 2122 / 2322 23 > Следующая >>>

5.27.		4 65	. 5.28.	cosα =−	6	. 5.29.		1		3		7		3	. 5.30.	x	2	+ y	2
	arccos						−		;		,		;−							=2 3 .
		65			18			3				3
										4				4

5.32. 1) n =0 ; 2) не верна; 3) n =0 ; 4) n =0 ; 5) n =0 ; 6) не верна; 7) не верна;

8) не верна. 5.33. 1) n =2 ; 2) n R ; 3) не однородная; 4) не однородная.

5.34. cos x . 5.35. 1+2

(t −4)

−16t

. 5.36. 1)

2t +2

; 2)

2x ln 2 +2x

;

1−(t2 +2t )2

(x + y)ln 2

−t

−1

3) 2e2t −2(t −2)et +3; 4) et

−e−t ; 5) 2; 6)

(

)

5.37. 1) zu′ =2uv2 ln (2u +v)+

2u2v2

, zv′ =2u2vln (2u +v)+

u2v2

;

2u +v

= 2 ,

z′

=3u2 cos vsin v(cos v −sin v),

z′

=u3 (sin v +cos v)(1−sin vcos v); 3) z′

4v3

zv′ =

; 5) zu′ = fx′

+ fy′, zv′ =− fx′

− fy′;

− v

v4 +1

(u +v)2

z′

=− f ′sin

(u +v)+ f ′cos(u −v)

, z′ =− f

′sin (u +v)

− f ′cos

(u −v).

(

)

(

)

2 x

+ y

xy+1

5.38. 1)

z′x =

, z′y =

y ln y −1

; 2) z′x =e

sin 2 y , z′y =e cos 2 y ;

y2 + x2 y+2

z′x = y cos(xy ln (xy))(1+ln (xy)),

z′y = x cos(xy ln (xy))(1+ln (xy)).

5.39. 1)

y′=

3 −2x

y′=

y +1

y′

xe2 y +2 ye2 x

y′

; 2)

; 3)

=−

2xe2 y +e2 x

; 4)

;

(y +3)

x +1

1+2cos(x + y)

(

)

(

)

−

(

x +2 y

)

5) y′=−

; 6)

y′=

ln y −1 y

; 7) y′=

;

2 y2 + x

x2 +5

y′=−

2x − y (x2 + y2 )

y′=−

ex + xey − xexy

y′=

yx ln y − xy−1 y

; 9)

; 10)

2 y − x(x2 + y2 )

ey + yex − yexy

xy ln x −xyx−1

5.40. 1)

∂z = −

∂z

= −

; 2) ∂z

∂z

= −1; 3)

∂z

;

∂y

∂x

∂y

∂x

∂y 2z

∂z

2x − yz

∂z

2 y − xz

; 5)

∂z

; 6)

∂z

ln y2

+ 2 ,

∂x

∂y

∂x

∂y

ez −1

∂x

∂z

2x −ln y

− z ; 7)

∂z

= −cos y ; 8)

∂z

= 1 + z

−arctgz

∂y

∂x

cos z

∂y

∂x

cos z

+ y

∂z

1 + z2

∂y

x2 + y2

208

5.41. 1) z′′xx =6(x − y),

z′′yy =0 ,

z′xy′ = z′′yx =−6x ;

2) z′′xx =(y −1)(y −2)xy−3 , z′′yy = xy−1 ln2 x , z′′xy = z′′yx = xy−2 (1+(y −1)ln x);

3) z′′xx = ysin x ,

z′′yy =−xcos y ,

z′xy′

= z′′yx =−cos x −sin y ; 4)

z′′xx =e

x+y

(

y −1

z′′yy =e

, z′′xy = z′′yx =e

; 5)

z′′xx =

)

, z′′yy =

(x − y +1)3

z′′xy = z′′yx =−

x + y −1

; 6) z′′xx

4 y2 cos(2xy)

z′′yy =

4x2 cos(2xy)

(x − y +1)3

sin2 (2xy)

sin2 (

2xy)

z′′xy = z′′yx =−

4xy cos(2xy)−2sin (2xy)

z′′xx =

2(y2 −x2 )

z′′yy =

(x2 − y2 )

; 7)

sin2 (

2xy)

(x2 + y2 )2

z′′xy = z′′yx =−

4xy

; 8) z′′xx =

2xy3

z′′yy

2x3 y

z′′xy

= z′′yx

x2 y2 −1

;

(

)

(

)

(

)

+ y2

(

2 y

)

1+ x2 y2

1+ x

2 y cos

+8x

sin

y cos

+ x

sin

9) z′′xx =

, z′′yy =

3 x2

cos

2x y cos

−2x

sin

z′′xy = z′′yx =−

;

cos

3 x2

10) z′′xx =(2 − x2 )cos(x − y)−4xsin (x − y), z′′yy =−x2 cos(x − y),

z′′xy = z′′yx = x2 cos(x − y)+2xsin (x − y); 11) z′′xx = xy2 −2 (y4 − y2 ),

z′′yy =2xy2

ln x(y2 ln x +1), z′′xy = z′′yx =2 yxy2 −1 (y2 ln x +1); 12) z′′xx = y3 (y −1)(1+ xy)y−2 ,

z′′yy =(1+ xy)y−2 (1+ xy)2 ln2 (1+ xy)+2xy(1+ xy)ln (1+ xy)+ x(xy2 + xy +2) ,

z′′xy = z′′yx =(1+ xy)y−2 y(y(1+ xy)ln (1+ xy)+ xy2 + xy +2); 13) z′′xx

(3x + y)

x (x + y)

(x +3y)

x − y

; 14) z′′xx =

2(x2 − y2 )

2(y2 − x2 )

z′′yy =

z′′xy =

, z′′yy =

4 y

y (x + y)2

xy (x + y)2

(x2 + y2 )2

z′′xy =

4xy

; 15)

z′′xx =(sin y)

sin y ,

z′′yy

= x(sin y)

x−2

(xcos y −1),

(x2 + y2 )2

z′′xy =(sin y)x−1 cos y(xln sin y +1); 16) z′′xx =

yesin x

(xcos2 x +2cos x − xsin x), z′yy′ =0 ,

209

z′′xy = eπsin x (xcos x +1). 5.42. 1)

z′′xx =2 y cos(xy)− xy2 sin (xy)+

z′′yy

6x2

− x

sin (xy),

z′′xy =

2xcos(xy)−x

ysin (xy)−

; 2)

z′′xx

=−y

−2

sin

z′′yy

2xy

−3

−x

−4

z′′xy = xy

−3

− y

−2

cos

sin

cos

;

3) z′′xx =

2(y − x2 )

−2

2(x+1)

y ln

2 , z′′xy

=−2

2 x+1

ln 2 −

(x2 + y)2 ln10

z′′yy =−

; 4) z′′xx

2 y(2x + y)

, z′′yy =

2x(x + y)

(x2 + y)2 ln10

(2x2 +2xy + y2 )2

z′′

2x2 − y2

; 5) z′′

=−y2 cos(xy + y), z′′

=−(x +1)2 cos(xy + y),

(2x2 +2xy + y2 )2

z′′xy =−y(x +1)cos(xy + y)−sin (xy + y); 6) z′′xx =e

z′′yy =−

−

+ y ,

9 3

z′′xy

+ x ; 7) z′′xx = yexy (y2 + xy +2), z′′yy = xexy (x2 + xy +2),

9 3 x2 y2

y(x +2 y)

x(2x + y)

z′′xy =exy (x2 y + xy2 +2x +2 y); 8) z′′xx

, z′′yy =

(x + y)

z′′xy =

x2 + xy + y

+ln (x + y)

; 9) z′′xx =2

+y+1

ln 2

(2x

ln 2 +1),

z′′yy =2

x2 +1

2 ,

(x + y)2

z′′xy =2x2 +y+1 x ln2 2 ; 10) z′′xx

(2xy −1)

, z′′yy =

(2xy −1)

4 x3 (1−xy)3

4 y3 (1−xy)3

z′′xy

; 11) z′′xx =ex2 +y2 +xy (4x2 +4xy + y2 +2),

4 xy(1−xy)3

z′′yy =ex2 +y2 +xy (x2 +4xy + y2 +2), z′′xy =ex2 +y2 +xy (2x2 +5xy +2 y2 +1);

12)

z′′xx =

yx ln y(xln y −2)−1

z′′yy =

xyx−2 (x2 −x − yx )

, z′′xy =

yx−1 (yx + x2 ln y)

;

(yx + x)2

z′′xx =−x

−3

z′′yy =−x

−1

, z′′xy

−2

13)

cos

= x

y cos

;

210

14) z′′xx =(

2 −x2 y2 )cos(xy)−4xysin (xy)

, z′′yy =−x4 cos(xy),

z′′

=−x2 (xy cos(xy)−3sin (xy)); 15)

z′′

4 y

z′′

+ 6x

(x −2 y)3

2(x +2 y)

z′′xy =−

−

; 16) z′′xx =−

, z′′yy =

−

, z′′xy =−

;

(x −2 y)3

x2 ln 2

4 y3 2

y2 ln 2

17) u′′xx

= y2 z2exyz , u′′yy

= x2 z2exyz , u′′zz

= x2 y2exyz , u′′xy = (xyz2 + z)exyz ,

u′′xz

=(xy2 z + y)exyz , u′′yz

=(x2 yz + x)exyz ; 18) u′′xx

= xln y−2 ln y(ln y −1)+ zx ln2 z ,

u′′yy = y−2 xln y ln x(ln x −1), u′′zz = zx−2 x(x −1), u′′xy = y−1 xln y−1 (ln x ln y +1),

′′

= z

x−1

′′

= −8 yz ,

uxz

(xln z +1), uyz

= 0 ; 19) uxx

= 6x , uyy

−8xz , uzz

−2 , uxy

′′

= −4 y

′′

= 0 ,

uxz

, uyz

= −8xy ; 20) uxx

= 0 , uyy

= −xcos y , uzz

= −2 , uxy

= −sin y , uxz

u′′yz

= 0 ; 21) u′′xx = 5x+z ln2 5 , u′′yy

=0 , u′′zz = 5x+z ln2 5 −

20z3 , u′xy′

=−4 , u′′xz

= 5x+z ln2 5

u′′yz

=0 ; 22) u′′xx

= zx+y ln2 z −cos(x − 2 y), u′′yy = zx+y ln2 z − 4cos(x − 2 y),

u′′zz

= zx+y−2 (x + y)(x + y −1), u′′xy

= zx+y ln2 z + 2cos(x − 2 y),

′′

= z

x+y−1

(

x + y

)

ln z

)

+5 , u

′′

= z

x+y−1

1 +

(

x + y

)

ln z

)

. 5.43. 1)

′′

+ x2

(

z2 + y2

y2 z (z +2xy)

x2 z (z +2xy)

z′′xy =−

, z′′yy =−

; 2) z′′xx =

, z′′yy

(z + xy)3

z′′

xyz (z +2xy)

; 3) z′′

2xy

z′′

=−

−

=−

z + xy

(

z2 −xy

)

(

−xy

)

(z + xy)2

z′′xy =

−

; 4) z′′xx =−

, z′′yy =−b2

(z2 − xy)

(z2 −xy)2

2 y

z′′xy =−

; 5) z′′xx =

1−

, z′′yy =

1−

a2 b2

1+ez

(1+ez )2

1+ez

(1+ez )2

4xye

z (x +2z)

z′′

=−

; 6) z′′

=−

, z′′

=−

, z′′

1+ez

)

+ x

(z + x)2

(z + x)3

(x + z)3

(

5.44. 1) d

z =2(1+2 y)dxdy +2xdy

(y2 −x2 )

4xy

; 2) d

z =

−

dxdy −dy

;

(x2 + y2 )

− x

3)d 2 z =−cos(x − y) dx2 −dxdy +dy2 ;

4)d 2 z =cos−4 y sin 2 ydxdy +2x(1+2sin2 y)dy2 ;

211

5)d 2 z =4(6x − y)dx2 +2(3y −2x)dxdy +6(x +5 y)dy2 ;

6)d 2 z =2((6x2 + y2 )dx2 +2xydxdy +(x2 +6 y2 )dy2 );

2 z =

(ydx2 + xdxdy −2x4 ydy2 );

(

)

1+ x

z = y

2ln

−3

+4xy ln

dxdy + x

2ln

;

9)d 2u =6(1+4x2 )dx2 + z2dxdy +2 yzdxdz +2z(x −5)dydz +2 y(x −5)dz2 ;

10)d 2u =exyz y2 z2dx2 + x2 z2dy2 + x2 y2dz2 +(1+ xyz)(zdxdy + ydxdz + xdydz) .

5.45. 1) z′′′x3 = z′′′y3 = z′′′x2 y = z′′′xy2 = −4sin(2x + 2 y) ; 2) z′x′′3 = 6 , z′x′′2 y = 6 , z′′′y3 = z′′′y2 x = 0 ;

z′′′3

= −cos(x + cos y),

′′′

= sin y(cos(x + cos y)(1 +sin

y)−3cos ysin (x + cos y)),

zy3

z′′′2

= cos(x + cos y)sin y , z′′′2

= −cos(x + cos y)sin2 y +sin (x + cos y)cos y ;

= sin (x + ey ), z′′′y3

4) z′′′x3

= ey sin (x + ey )(e2 y

−1)−3e2 y cos(x + ey ),

′′′

= e

sin

(x + e

)

′′′

sin (x

+ e

)cos(x + e

));

′′′

= x

−2

′′′

zx2 y

zxy2 = e

zx3

zy3

z′′′2

= 0

, z′′′

= −

; 6)

z′′′3

= 6sin y − y3 sin x , z′′′3

= −x3 cos y −6cos x ,

z′′′2

= 6xcos x +3y2 cos x , z′′′2

= 6 ysin x −3x2 sin y ; 7) z′′′3

= exey +3 y ,

′′′

= e

xey +y

2 y

+ x),

′′′

xey +2 y

(xe

2),

′′′

= e

xey

2 y

3xe

+1);

zy3

+3x

2 y = e

zxy2

8) z′′′3

= ln y

(ln y −1)(ln y − 2)xln y−3 , z′′′3

xln y ln x

ln3 x −6ln2 x +11ln x −6

′′′

xln y−2

′′′

xln y−1

(ln

x −ln x)+

2ln x −

zx2 y

ln x(ln

−ln y)+ 2ln y −1

, zxy2

ln y

1 .

5.49. верно. 5.50. f (x, y) = y + xy + 1 x2 y −

1 y3 +...

5.51. f (x, y) =1 −

+ y

)+... 5.52. f (x, y)

x −

y −

−

− 2

+...

x −

y −

+ y −

5.53.z =1+(x −1)+(x −1)(y −1)+ 12 (x −1)2 (y −1)+...

5.54.z = y + 12 (2xy − y2 )+ 13 (3x2 y −3xy2 +2 y3 )+...

212

5.55. EAA =−0,0625 , EAB =0,208 , EBA =0,323 , EBB =0,107 .

5.56. Eyx1 =0,06 , Eyx2 =0,005 , Eyx3

=0,11. 5.57. Ecx =

12x2

6x2 +27 y2 +4

E =

54 y2

. 5.58.

. 5.59. а)

=−0,37 ; б) E

=0,15 .

2 +27 y2 +4

5.60. Ezx =0,261, Ezy =0,279 . 5.61. EQP =−0,08 , EQI ≈0,32 .

∂y

2 3

∂y

1 3

∂y

5.62. а)

= 2

; б)

8 .

∂x2

∂x1

∂x2

5.63. 1)

zmin = z

;

−

zmin = z

;−

; 3)

zmin

−

;

; 2)

= z 1;

;

zmax = z (2;−2); 6)

zmin = z (−1;1); 7) zmax

;

4) zmin = z

; 5)

= z

;

8) zmax = z(5;5); 9) zmin

−1;−

zmin = z (0;1);

= z

; 10) zmin = z

; 11)

12) zmax = z (1;2); 13) zmin

= z (1;1); 14) zmax = z (4;4);

15)

zmin = z (

2;−

2 )= z

(−

2; 2 )

в т. (0,0)

необходимо дополнительное ис-

следование; 16)

zmax = z (8;12); 17)

zmin = z (1;2), zmax = z(−1;−2); 18)

zmin = z(0;0);

19) экстремума нет; 20) zmin = z (−2;0)=−2e−1 . 5.64. zнаиб.

= z(0;0)=0 ,

zнаим.

= z (0;−2)=4 . 5.65. zнаим. =−9 2 , zнаиб.

=9 2 . 5.66. zнаим.

= z(0;1)=1,

zнаиб.

= z (2;3)=11. 5.67. zнаим. = z(1 2;1 2)

=1, zнаиб. = z (1;1 6)=23 12 .

5.68. zнаим. = z(4;2)=−64 , zнаиб.

= z (2;1)=4 . 5.69. zнаим. = z(8 3;4 3)=−16 3 ,

zнаиб. = z

(60 19;36 19)=−96 19 . 5.70. fmin = f (1;1)=2 . 5.71. fmin = f (2;1)=13.

5.72. fmax = f

(8;12)=−36 . 5.73. fmin = f (1;1)=2 . 5.74. fmax = f

(1;0)=9 .

5.75. fmin = f

(−3 2;−9 2)=−3 4 . 5.76. fmax = f

(0;0)=100 .

5.77. fmin = f

(3;2)=61. 5.78. fmin = f

(1;1)=2 . 5.79. fmax = f

(3;2)=63 .

5.80. fmin = f (−2

2;−2

2 )=−

2 2 ,

fmax = f (2

2;2 2 )=

2 2 .

5.81. fmax = f

(75;40)=−7275 . 5.82. fmax = f (−2

5 5;−

5 5)=− 5 .

5.83. fmin = f

(1;−1)= f

(−1;1)=−1,

fmax = f (1;1)= f

(−1;−1)=1. 5.84. x =120000 ,

y =80000 . 5.85. x =12 ,

y =12 , PR =672 . 5.86. x =20 , y =8 . 5.87. x =

9 C2

y =C2 . 5.88. x =15 ,

y =10 . 5.89. x =5 , y =1. 5.90. y =1,91x +3,13;

y =0,07x2 +1,41x +3,8 . 5.91. y =−5x +101,33; y =2x2 −79x +780 .

5.92. y =−4,83x +5,98; y =−0,98x2 −2,67x +4,9 . 5.93.

y =−1,30x +2,86 ;

y =0,15x2 −6,42x +45,84 .

213

5.94.y =−10,217x +20,783; y =−1,79x2 +9,02x +4,19 .

5.95.y =1,03x −2,45; y =−0, 42x2 +2,11x −3,02 . 5.96. y =−2,13x +46,39 ; y =−0,012x2 −1,64x +41,93 . 5.98. y =1414,6x2 −12489x +42410 .

5.99. y =0,3786x +8,97 ; y =0,018x2 +0, 22x +9,24 . 5.100. y =1,11+8,89 1x .

5.101. 1) x1 =2 , x2 =4 , zmax =6 ; 2) x1 =6 , x2 =1, zmin =−13 . 5.102. x1 =8 , x2 =0 , zmin =0,8 . 5.103. x1 =103 , x2 =43, zmax =383 . 5.104. x1 =800 , x2 =100 ,

zmin =1900 . 5.105. x11 =8 ,																		x12 =1,5,									x21 =0 , x22 =1 3 ,															zmin =378 .
6.1. 1)						12 3 x5 +C ; 2) −										2			+ ex							+ ln \| x \| +C ;
6.1. 1)						12 3 x5 +C ; 2) −										3		x3	+ ex							+ ln \| x \| +C ;
						5										3		x3
3) −				1			−	1 ln \| x \| +C ; 4) 7x−1											+				3x−1				+C ; 5) ln \| x \|											+3x −6 x − 2										x3			+C ;
3) −			4x2				−	1 ln \| x \| +C ; 4) 7x−1											+				ln 3				+C ; 5) ln \| x \|											+3x −6 x − 2										x3			+C ;
			4x2					2								ln 7							ln 3																								3
6)	x3				+ 2x2 + 4x +C ; 7)											12 3 x5						− 3 e2 x − 2cos 4x +																3x +C ; 8) 1 arctg												x		+C ;
6)	3				+ 2x2 + 4x +C ; 7)											12 3 x5						− 3 e2 x − 2cos 4x +																3x +C ; 8) 1 arctg														+C ;
	3															5								2																							6	2
9) −		1			ctg2x − x +C ; 10)											5	2		ln					x		−	2		2			+C ; 11)							x2				− x +C ; 12) arcsin										x	+C ;
		1														5	2							x		−	2		2										x2														x
		2															8							x		+	2		2											2													5
		2															8							x		+	2		2											2													5
					4 +C ; 14)						1
13) −											1			arcsin x +C ; 15) 7ln																		x +			x2 + 7						+C ;
13) −														arcsin x +C ; 15) 7ln																		x +			x2 + 7						+C ;
					x							5				x2																												1			4 +5x		+C ;
					x							5
16) 2						x −12x + 4x								x −				+C ; 17) −2ctg2x +C ; 18)																												ln

																2																											10				2 +5x
																2																											10				2 +5x
19)		1			sin(4x +3)						+	1	cos(3x					−4) +C ; 20)												1			arctg			3x −1									+C		;
19)		4			sin(4x +3)						+	3	cos(3x					−4) +C ; 20)												6			arctg							2					+C		;
		4										3																		6										2
																								19										x	4			3 3
21) x4 − x3 − x2 +5x +C ; 22)																			18 x 6								+C ; 23)							x			−	3 3					x2		− 2		x +C ;
21) x4 − x3 − x2 +5x +C ; 22)																			18 x 6								+C ; 23)							4			−	2					x2		− 2		x +C ;
																			19															4				2
24)		1 e4 x +								42 x	−	3 sin 2x						+C ; 25) x8 − x3 − x−4 + x−3 +C ;
24)		1 e4 x +							2ln 4		−	3 sin 2x						+C ; 25) x8 − x3 − x−4 + x−3 +C ;
		4							2ln 4			2				3
		2				5		8		3																		x						x				3						2x		+C ; 28)		1							2x	+C ;
26)					x2 +					x2 +8			x +C ; 27) −2cos																+		3sin					−				sin											arcsin
26)		5			x2 +			3		x2 +8			x +C ; 27) −2cos															2	+		3sin			3		−		2		sin				3				2			arcsin				3
		5						3																				2						3				2						3				2							3
29)		1 arctg2x +C ; 30)														3			2	2 x					−33			x +C ; 31) 1 (tgx + x)+C ;
																3				3
															2ln 2					3
		6				x − x −10									2ln 2																					2
32) 4						x − x −10					\| x \| +C ; 33) −ctgx +C ; 34) ln \| x \| −x +C ; 35) −(ctgx + tgx)+C ;
										x											x
36)		1 tgx +C ; 37) 11x + 2ln \| tg																			x				\| +5ctgx +C ; 38)													3 ln \| 2 + x2 \| +C ;
36)		1 tgx +C ; 37) 11x + 2ln \| tg																							\| +5ctgx +C ; 38)													3 ln \| 2 + x2 \| +C ;
		2																	2																			2

214

39)

( (x +1)3

x3 )+C ; 40) tgx +3ln | x | +C ; 41) arcsin x −

+C ;

−13

42)

arcsin x + ln

x +

1 + x2

+C ; 43) 33

+C ;

44)

33+1

−

+C ; 45)

6 x

76 + 4 x43

+C ; 46) 3tgx + 2ctgx +C .

16x ln(3 16)

6 23x ln 2

6.2. 1)

5 (x2

−1)6

+C ; 2) −ex ; 3) sin (ln x); 4) ln | ex

1 + e2 x | +C ; 5) −earccos x ;

6) 1 arc tg4 x +C ; 7)

1 sin(x2 − 2) +C ; 8)

arcsin3 x +C ; 9)

+C ;

1 − x2

10)

ln | ln | ln | x ||| +C ; 11) 1

(tgx + x)+C ; 12)

−cos 42 x

+C ; 13) −33 ctgx +C ;

4ln x

14)

ln5 x +C ; 15) −2ex− 12

+C ; 16) − 2 ctgx3

+C ; 17)

1 ln

ln x + 2

+C ;

ln x − 2

18)

36x +1

+C ; 19)

2x2

+C ; 20) −

6x +

;

ln 6

2ln 2

ln x

x4 −

−1)

+C ;

21)

− 4

3 (1 + 2cos x)

+C ; 22)

+C ; 23)

x4 +

24)

1 ln | x2 +

4 + x4 | +C ; 25)

6sin x

+C ; 26)

1 ln | x3 −8 |

+C ; 27)

3 (x3 +1)2 +C ;

ln 6

28)

ln | x + cos x | +C ; 29) 2

x + ln2 x

+C ; 30) 3 ln | tgx2 |

+C ;

1 ln | x2 + 4x +5 | +C ; 32) 2

31)

x2 + 6x +8 +C ;

33)

3 ln | x2 −3 | +

x −

+C ; 34)

ln | x +1|

+ 1 ln2 | x +1| C ;

x +

35)

1 arc tg2 x + 2ln(x2 +1) +C ; 36) −ln

cos(x +1)

+C ; 37)

1 ln2 sin x +C ;

38)

−1 arccos3

x + 2arcsin x +C ; 39)

1 tg2 x −3tgx +C ; 40)

1 ex3

+C ;

41)

−ln(2 +5−x ) +C

; 42) 1 arcsin2 (2x)−

1 −

4x2 ; 43) e2 x

− 1 e6 x +C ;

ln 5

44)

1 arc tg(2sinx) +C ; 45) ln(ex

+ x4 ) +C ; 46) −

+C ;

2sin 2x

47)

−1

1 − x4

+C ; 48)

1 ex2 −2 +C ; 49)

1 arcsin e2 x +C ;

215

50)	2arcsin	ln x		+	1	ln x	4 −ln	2	x +C ; 51)	−	1	1	− x	4	+C ; 52)	−	1	e	2 cos x	+C ;
					2						2						2
			2

53) −						1 cos 2x4											+C ; 54) −																						1					+C ; 55)								1				(4 +9x2 )3								+C ;
53) −						1 cos 2x4											+C ; 54) −															6(1 + 2x3 )												+C ; 55)								27				(4 +9x2 )3								+C ;
						8																										6(1 + 2x3 )																				27
56)			5 x4 +C ; 57)																1 ex2 +4 x+1 +C ; 58) −cos3 x +C ; 59) ln																																									ln x				+C ;
56)			5 x4 +C ; 57)																1 ex2 +4 x+1 +C ; 58) −cos3 x +C ; 59) ln																																									ln x				+C ;
			4																2																										3
			4																2																										3
60) ln							1 + ln x								+C . 6.3. 1)																		6					ln			2x +1 −							6		+C ;
																																	6
																																	24
																																									2x +1 +							6
																																									2x +1 +							6
2)	1 ln \| x2 −8x +3 \| −																								2											x + 13 − 4										+C ; 3) ln ( x2 + 6x +8 + x +3)+C ;
																									2						ln					x + 13 − 4
																									13						ln										13 − 4
	2																								13												x −				13 − 4
4) −									1				ln					2x+1 +							37 +5														+C ; 5) ln (2 x													2		− x		−3 + 2x −1)+C ;
									1									2x+1 +							37 +5																											2
						37 ln 2												2x+1 − 37 +5
																					5																																2								2e		x
6)	8 arc tg(3x −																1) +				5				ln \| 9x2 −6x + 2 \| +C ; 7)																												2			arc tg					2e				−3						+C ;
6)	8 arc tg(3x −																1) +			18					ln \| 9x2 −6x + 2 \| +C ; 7)																												19			arc tg									−3						+C ;
	9																			18																																	19										19
8)	21ln (4 4x2 −5x + 2 +8x −5)+ 1																																												4x2			−5x + 2								+C ;
	16																																							4
9)	1			ln					1 −sin x										+C						; 10) −arctg (2cos x −1)+C ;
9)	6			ln															+C						; 10) −arctg (2cos x −1)+C ;
	6							5 +sin x
11)		1																	1					+				18 + 6x −9x																2
11)		3				arcsin								x −					3					+				18 + 6x −9x																	+C ;
		3																	3
12) ln							2x2 − 4x +3													−					3				arctg (												2 (x −1))+C . 6.4. 1)																		1		cos5x +									x		sin 5x +C ;
																									3																																		1											x

																									2																															25												5
																									2																															25												5
2)	ln				cos x					+ xtgx −												x2				+C ; 3) xarcctgx +																					ln (x2 +1)										+C ; 4) xarcsinx + 1 − x2																	+C ;
																						x2																									ln (x2 +1)

																							2																												2
																							2																												2
5)	−(x2 +1)arctgx + πx2																													+				x			+C ;
5)	−(x2 +1)arctgx + πx2																													+							+C ;
									2																4								2
	(3 −8x2 )arcsin																					x								x					(1 − x)(2x +3)																πx				2							3x			x						1
6)																									−																								+						+C ; 7) e														−				+C ;
									16																															16													4												3						9
		5 x							x								1
8)	3											−														+C ; 9)														2 1 + xarccosx − 4																	1 − x +C ;
8)	3											−				25ln					2		3			+C ; 9)														2 1 + xarccosx − 4																	1 − x +C ;
						5ln 3										25ln							3
								3																			x			3						x			2			x																								x	2
10)					x				− 1		ln						(x −1)								−		x						−			x				−		x	+C ; 11) ln											cos x				+ xtgx −								x			+C ;
10)									− 1		ln						(x −1)								−								−							−			+C ; 11) ln											cos x				+ xtgx −											+C ;
						3			3																			9					6							3																									2
						3			3																			9					6							3																									2
12) cos x +(x +π )sin x +C ; 13)																																									6x ((x −3)ln 6 −1)															+C ; 14)							3 3					x4 ln x − 9 3 x4						+C ;
12) cos x +(x +π )sin x +C ; 13)																																																								+C ; 14)							4					x4 ln x − 9 3 x4						+C ;
																																													ln2 6																		4										16

216

15)	5	5	sin	2x	− xcos	2x	+C ; 16)	x	(cos	2	(ln x)+sin (2ln x)+ 2)+C ;

	2			5		5		5
		2

17)

cos 2x

(3x +1)

sin 2x +C ; 18)

sin 3x

−

+C ;

+1)cos3x

ln x

+C ; 20) −

5−x

3x (ln 3 sin 3x −3cos3x)

+C ;

19)

−

x +1

+C ; 21)

3 +9

ln 5

22)

−

e−2 x (2x +1)

+C ; 23) (x −1)ln2 (x −1)+ 2(1 − x)ln (x −1)+ 2x +C ;

− ln x2

24)

−

+C ; 25)

2xcos x +(x2 − 2)sin x +C ;

+ 4x +1 cos 2x

(x +1)sin 2x

(

)

26)

−

+C ; 27) 2

−

+C ;

ln 2

28)

e2 x

(2sin 3x −cos3x)+C ; 29) ln

sin x

− xctgx +C ;

ln (x2 +1)

x4 ln x

+C ; 32) xarctgx −

30)

cos x

+ xtgx +C ; 31)

−

+C ;

33)

x(6 − x2 )cos x +3(x2 − 2)sin x +C ; 34) 12 (x −

1 − x2 )earccos x +C ;

35)

x3arctgx

−

ln (x2 +1)

+C ; 36)

(x2 − 2)

x2 +1 +C ;

x − 2

(cos(ln x)+sin (ln x))+C ;

37)

−

− 2 ctgx +C ; 38)

+C ; 39)

2sin2 x

x + 2

40)

(−sin (2ln x)+sin2 (ln x)+ 2)+C ;

41)

arcsin (xcos 2)(cos 4 −1)−

2xcos 2

1− x

−(1+ x

)cos 4 +C ;

(+cos 4)

+(x +4)

(

−x2 −8x −11

42)

5arcsin

+C ;

)

43)

−e−2x2

(x2 +1)+C ;

11x

44)

11arcsin

− 5

11 +(x −5)

(−x2 −10x −14)

+C ;

45)

14 (ln (cos 2x)+ 2xtg2x − 2x2 )+C ;

217

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 2122 / 2322 23 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Высшая математика

#
13.04.20155 Мб213Полшков Ю.Н. Курс лекций по высшей математике.pdf
#
13.04.20156 Мб229Практикум по высшей математике_часть 1.pdf
#
13.04.20158 Мб266Практикум по высшей математике_часть 2.pdf