visshaya_matematika_chast_IV

§4. Індивідуальне завдання 1.4

61

4.

Об’єм тетраедра V = 10 , три його вершини знаходяться в точках

A(1; 2; −1) , B(4; 8; − 7) , C(−1; 2; − 2) . Знайтикоординатичетвертоїверши-

ни D, якщо відомо, що вона лежить на осі Oz.

G

G

G

G

G

5.

Задано вектори

G

G G

G G

G

=

a

= −2i

+ j + k ,

b

= i + 5 j

, c

4i

+ 4 j

− 2k . Об-

числити

G

G

npG (3a − 2b) .

c

G

G

Варіант №17

G

G

G

G

1.

G

Задано вектори a, b, c ,

які задовольняють умову a + b

+ c

= 0 .

GG

GG

GG

G

= 5 ,

G

= 2 ,

G

= 7 .

Обчислити ab + ac

+ bc , якщо

a

b

c

2.

Задано вектори

G

G

G

G

G

G

+

G

G

G

a

= 3i − j + 5k ,

b

= i

2 j

− 3k

. Знайти вектор x

GG

GG

GG

= 0 ,

G

за умови, що xa

= 9 , xb = −4 ,

xk

k = (0; 0; 1) .

3. Сила FG = 3iG+ 2 Gj − 4kG

прикладенадоточки A(2; −1; 1) . Знайтимо-

мент цієї сили відносно початку координат.

G

G

4.

Вектор

G

, кутміжвекторами

c перпендикулярнийдовекторів a

і b

G

G

дорівнює

30

0

GGG

, якщо

G

= 6 ,

G

=

G

= 3 .

a і

b

. Знайти abc

a

b

c

5.

У тетраедрі об’ємом V = 12

з вершинами в точках

A(1; 1; 1) ,

B(2;

0; 2) , C(2;

2;

2) , D(3; 4; − 3) знайти висоту h = DE .

Варіант №18

G

G

G

G

, якщо

G

2

G

2

= 110 ,

1. Знайти кут між векторами a і b

(a − 2b)

+ (3a − b)

aG

= 1,

bG

= 4 .

JJJG

2.

Упрямокутнику АВСD AB = 12 ,

BC = 9 . Знaйтидовжинувектора

JJJG

JJJG

OA + OB + AB , де О – точка перетину діагоналей прямокутника.

G G

G

зв’язані співвідношеннями

aG = bG

3. Три ненульових вектори a, b, c

× cG, bG = cG×

aG,

cG= aG×

bG. Знайти довжини векторів aG, bG, cG та кут між

ними.

JJJG

JJJG

4.

=

(−3; 1; − 2) ,

= (2; 0; 1) ,

Знаючисторонитрикутника ABC AB

BC

JJJG

знайти довжину висоти AD .

5.

Об’єм тетраедра V = 2 ,

три його вершини знаходяться в точках

62

Глава 1. Лінійна алгебра та аналітична геометрія

Варіант №19

G

G

G

= 4

G

G

G

1. Знайти кут між векторами a

і b , якщо

a

b

та вектор a

− 2b

G

G

перпендикулярний вектору a

+ 5b .

2.

Знайти координати одиничного вектора, перпендикулярного век-

торам aG(1; 1; 2) і bG(2; 1; 1) .

G

G

3.

Знайти

площу паралелограма, сторонами якого є вектори

G

G

G

G

G

G

a

= i

− 3 j

+ k

та b

= 2i

− j + 3k .

4.

Вершини тетраедра знаходяться в точках

A(5; 1; − 4) ,

B(1; 2; −1) ,

C(3; 3; − 4) ,

D(2; 2; 2) . Знайти його об’єм.

5.

Сила FG = 5iG+ 6 Gj − 7kG прикладена до точки A(1; 1; 1) . Визначити

Варіант №20

1.

Знайти

довжину векторів

G

G

а також кут α між ними, якщо

a

і b ,

G G

G

G

G

G

G

= 2,

G

= 1 , ϕ =

G

G

0

.

a = e

+ e ,

b = 3e

− e ,

e

e

(e , e )= 60

1

2

1

2

1

2

1

2

G

G

G

G

2.

Визначити, при якому значенні

λ

вектори

і

a

= 7i

+ 8 j

− λ k

bG = λ iG− 2 Gj+ 3kG

взаємно перпендикулярні.

G

G

G

3. Знайтиплощупаралелограма, побудованогонавекторах

m =

2a

− b

G

G

G

G

= 2 ,

G

= 3

, ϕ =

G

G

120

0

.

і n =

5a − 8b , де

a

b

(a ,b)=

4.

Вершини тетраедра знаходяться в точках A(1; 2; 3) ,

B(−2; 4; 1) ,

C(7; 6; 3) ,

D(4; − 3; −1) . Знайти об’єм тетраедра, площу грані ABC, висо-

ту, яка опущена на грань ABC .

5.

Знайти найкоротшу відстань від точки A(3; 4; 2)

до прямої,

яка

проходить через точку B(1; 2;

3) паралельно вектору cG(6; 6; 7) .

Варіант №21

1.

Задано вектори

aG(3; −1; 4) і bG(1; 2; − 6) . Знайти вектор cG

, який

GG

GG

= −4 .

перпендикулярний осі Oz та задовольняє умови ca = 9,

cb

2.

Сила FG = iG− 5 Gj + 6kG

прикладена до точки C(4; 2; 1) . Знайти мо-

мент цієї сили відносно точки

A(1; 3; − 4) .

Варіант №24

G

G

G

1.

G

G

Знайтипроекціювектора 2m − n навектор

3m + 2n , якщо | m | = 2 ,

G

G G

2π

| n | =

3 , (m , n) =

.

3

2.

Заданодвавектори aG(1; 0; 1) і bG(5; 2; 4) . Знайтиодиничнийвектор

G

, який лежить у площині векторів

G

G

0

з векто-

e

a

і b та утворює кут ϕ = 45

ром aG .

побудованого на векторах aG = pG − qG і

G

3.

Знайти площу трикутника,

G

G

G

= 2

,

G

= 1 та ϕ =

G G

150

0

.

b

= p + 9q , якщо

p

q

( p , q)=

4.

Об’єм тетраедра V = 2 , три його вершини знаходяться в точках

A(1; 2; −1) , B(2; −1; 1) ,

C(−1; 2; − 2) . Знайти координати четвертої верши-

Варіант №25

3kG і

1.

Знайти коефіцієнти α

і β , якщо відомо, що вектори iG− 2α Gj+

3iG+12 Gj + β kG

колінеарні.

G G G

лежать в одній площині та утворюють попарно

2. Вектори a, b, c

один за одним кути 1200 . Розкласти вектор

aG по векторах bG і

cG , якщо

| aG | = 4 , | bG| = 3 , | cG | = 2 .

G

G

G

3. Обчислитиплощутрикутника, побудованогонавекторах p

= a

− 5b

G

G

G

G

G

G G

π

і q

= 5a − 6b

, якщо

a

= 1

,

b

= 4 , ϕ =

(a , b)=

6

.

4.

Задано вершини піраміди

A(1; 2; − 3) , B(0; 1; 0) , C(3; 0; 0) ,

D(1; − 4;

2) . Знайти об’єм піраміди, площу грані ABC та висоту піраміди,

яка опущена з вершини D.

§5. Індивідуальне завдання 1.5

65

M (−7; 5; − 6) :

а) паралельно вектору SG = 3iG + 5kG ;

б) паралельно прямій 3x + 4 y − z − 3 = 0;

5x + 2 y + 6z = 0.

2. Дослідити взаємне розташування прямої L і площини P. У випад-

ку їх перетину у точці М, знайти координати цієї точки:

a) L :

x − 3

=

y − 2

=

z + 5

,

P : 5x + 5z − 4 = 0;

−2

−5

2

б) L :

x +1

=

y + 8

=

z − 3

,

P : 13x + 8y −11z +110 = 0;

−13

6

−11

в) L :

x − 2

=

y + 5

=

z

,

P : 5x + 4 y − 5z + 8 = 0.

4

−3

2

3. Знайти радіус-вектор точки Q, яка симетрична точці P(2; −1; 2)

відносно прямої, що проходить через точки A(1; 0; −1) і B(2; 0; − 3) .

4. Обчислити синус кута між прямою L : 3x − 2 y + z + 8 = 0 ;

та пло-

x + y + 3z = 0

щиною P : 3y + z −1 = 0.

5. Записати

рівняння

площини, яка

проходить через

пряму

x +1

=

y −1

=

z

перпендикулярно площині 3x − 2 y − z + 5 = 0.

3

−2

13

x − 5

y + 6 z −1

x + 5

y +1 z

=

=

і

=

=

.

1

−4

−1

2

−4

−1

x − 3

=

y + 2

=

z + 6

і

x − 4

=

y + 8

=

z + 2

?

−5

−1

0

3

−2

−6

a) L :

x + 5

=

y

=

z −1

,

P : 3x − 4 y − z + 30 = 0;

1

0

3

б) L :

x −1

=

y −14

=

z +13

,

P : x + 6y + 3z − 46 = 0;

−3

2

−3

в) L :

x + 5

=

y

=

z + 4

,

P : 5x + 4 y − z − 4 = 0.

−8

3

−3

3.

Знайти радіус-вектор точки Q, яка симетрична точці P(4; 3; 10)

відносно прямої, що проходить через точки A(1; 2; 3)

і B(3; 6; 8) .

4.

Обчислити синус кута між прямою L : 3x + 2 y − z +12 = 0;

і пло-

3x − y + z + 6 = 0

щиною P : 3x + 3y − z −12 = 0.

5.

Записати

рівняння площини, яка проходить через пряму

x + 2

=

y + 3

=

z + 2

перпендикулярно площині x + 2y − z + 6 = 0.

1

2

5

6.

Обчислити відстань d між прямими:

x −1

=

y − 4

=

z + 3

і

x + 5

=

y + 3

=

z − 5

.

1

−1

1

1

2

−1

§5. Індивідуальне завдання 1.5

67

7. Чи перетинаються задані прямі:

x −1

=

y − 2

=

z +1

і

x − 3

=

y + 3

=

z + 2

?

−2

1

−1

3

3

0

8. Задано чотири точки A(3; − 3; 0) ,

B(−1; 0; − 3) , C(−2; 3; − 3) і

б) паралельно прямій

x + z + 5 = 0;

x − z − 2 = 0.

a) L :

x

=

y + 5

=

z + 2

,

P : 2x − 5y − 2z − 21 = 0;

1

0

1

б) L :

x −10

=

y − 3

=

z −10

,

P : y − 3 = 0;

0

2

1

в) L :

x

=

y

=

z − 2

,

P : 8x + 9 y +10z +11 = 0 .

0

−1

4

3.

Знайти радіус-вектор точки Q, яка симетрична точці P(0; 0; 4)

відносно прямої, що проходить через точки

A(16; −15; 2) і B(−32; 17; 2) .

4. Обчислити синус кута між прямою L : y + 5 = 0 ;

і пло-

щиною P :

y − z + 5 = 0 .

4x + 2 y + 3z + 10 =

0

5.

Записати

рівняння площини,

яка проходить через

пряму

x + 5

=

y + 3

=

z + 3

перпендикулярно площині 2x + y + 2z +19 = 0 .

4

−5

2

x

=

y + 3

=

y − 2

і

x −1

=

y −1

=

z + 3

.

2

1

2

2

−2

−1

7. Чи перетинаються задані прямі:

x + 2

=

y − 2

=

z − 3

і

x − 4

=

y

=

z + 5

?

0

1

2

−2

2

3

8. Задано чотири точки A(−2; 2; 3) ,

B(−4; 3; − 4) , C(0; − 3; − 6) і

б) паралельно прямій 2x − 3y = 0;

x + y − 2z +1 = 0.

2. Дослідити взаємне розташування прямої L і площини P. У випад-

ку їх перетину у точці М, знайти координати цієї точки:

a) L :

x + 4

=

y +1

=

z + 2

,

P : y +14 = 0 ;

1

0

0

б) L :

x − 4

=

y + 9

=

z + 8

,

P : 2x + 3y −12z − 77 = 0 ;

−15

14

1

в) L :

x +1

=

y + 2

=

z +1

,

P : 8x + y + 2z − 21 = 0 .

4

1

0