visshaya_matematika_chast_IV

§4. Індивідуальне завдання 3.4

161

4.

Обчислити ∫

dl

, де L – відрізок прямої

y = 1− x , що з’єднує

x + y

L

точки

A(0; 1)

і B(1; 0) .

5.

Обчислити ∫ x2 ydx + x3dy , де L – контур, що обмежений парабо-

L

лами

y2 = x

і x2 = y та пробігає проти годинникової стрілки.

Варіант №9

1

2−x2

1.

Змінити порядок інтегрування в інтегралі ∫ dx ∫ f (x, y) dy .

0

x

4

16−x2

b

2.

Обчислити ∫ dx

∫

dy∫ dz .

0

−

16−x2

0

реного півосями координат і першою чвертю еліпса x = a cos t ,

y = b sin t .

Варіант №10

4

12x

1. Змінити порядок інтегрування в інтегралі ∫ dx ∫ f (x, y) dy .

0

3x2

2. Обчислити ∫∫

x2

dxdy , якщообласть D обмеженапрямими y = x

,

2

D

y

x = 2 і гіперболою xy = 1 .

3. Знайти масу тіла густини γ (x, y, z) = x + y + z , якщо воно обмеже-

не площинами x = 0,

y = 0, z = 0,

x = a,

y = b, z = c .

4. Обчислити

∫ arctg

y

dl ,

де

L – дуга кардіоїди ρ

= 1+ cos ϕ

,

π

L

x

0 ≤ ϕ ≤

.

2

x = a cos

3

t ;

π

t≤

міщенні точки вздовж дуги астроїди

0 ≤

.

2

y = a sin

3

t ,

Варіант №15

2

x+2

1. Змінити порядок інтегрування в інтегралі

∫ dx ∫ f (x, y) dy .

−1

x2

2. Обчислити ∫∫∫

x2dxdydz

, V: x2

+ y2 + z2 = 16 , z ≥ 0 .

V

(x2 + y2 + z2 )3

4.

Обчислити ∫ (x − y) dx + dy , де L – дуга верхньої половини кола

L

x2 + y2 = R2 , що пробігає проти годинникової стрілки.

5. Знайти масу тіла, обмеженого параболоїдом 2z = x2 + y2 і площи-

ною z = 2 , якщо у кожній її точці густина γ (x, y, z) = x2 + y2 .

Варіант №16

4

2 x

1.

Змінити порядок інтегрування в інтегралі ∫ dx

∫

f (x, y) dy .

0

4 x−x2

2.

Знайти ∫∫∫

zdxdydz

, V: 1 ≤ x2+ y2+ z2≤

9 ,

y ≤

x

, y ≥ 0 ,

x2 + y2 + z2

z ≥ 0 .

V

3

3.

Обчислити

∫ xydl , де

L – контур прямокутника з вершинами в

L

точках A(2; 0), B(4; 0), C(4; 3), D(2; 3) .

4.

Обчислити ∫ (x2 − y) dx ,

де L – контур прямокутника, утвореного

L

§4. Індивідуальне завдання 3.4

167

L

лініями

y = x + 2 , x = 0 ,

y = 0 .

5. Знайти масу піраміди з вершинами в точках O(0; 0; 0) , A(1; 0; 0) ,

B(0; 1; 0) , C(0; 0; 1) , якщо об’ємна густина γ (x, y, z)= (2+ x+ y+ z)−3 .

Варіант №22

a

a2 −x2

1. Змінити порядок інтегрування в інтегралі ∫ dx

∫ f (x, y) dy .

0

a2 − x2

2a

2.

Обчислити

∫∫

dxdy

, якщо область D обмежена лінією

x

2

+ y

2

+

D

1

x2 + y2 = R2 .

3. Обчислити ∫

x3

dl , де L – дуга кривої xy = 1 між точками A(1; 1)

2

L

y

і B(2; 1 2) .

4. Обчислити ∫ y2dx + xydy , де L – дугаеліпса x = a cos t , y = bsin t ,

L

0 ≤ t≤ π

2 .

G

G

1

G

5. Поле утворене силою

F

= xi

+

j . Знайти роботу при перемі-

y2

2 3

2−x

1. Змінити порядок інтегрування в інтегралі

∫

dx ∫ f (x, y) dy .

0

2 x

2. Обчислити ∫∫

dxdy

, де D : 9 ≤ x2+ y2

≤

49 .

x2 + y2

D

3.

Знайти об’єм тіла, обмеженого конусом z =

h

x2 + y2 і сферою

R

x2 + y2 + z2 = R2 (всередині конуса).

4.

Обчислити ∫ x4 4 ydl , де L – дуга параболи y = x4

між точками

L

A(0; 0) і

B(1; 1) .

5.

Обчислити ∫ (xy −1) dx + x2 ydy ,

де L – дуга параболи y2 + 4x = 4

L

від точки A(1; 0) до точки B(0; 2) .

Варіант №24

1

2−

2 y− y2

1.

Змінити порядок інтегрування в інтегралі ∫ dy

∫

f (x, y) dx .

0

y3

2.

Обчислити ∫∫

x2 + y2 dxdy , D :

x2 + y2 = 2ax,

a > 0 .

D

3. Знайти об’єм тіла, обмеженого поверхнями y = x2 , y = 1,

x + y + z = 4 , z = 0 .

4. Обчислити ∫ xdl , де L – дугапараболи y = x2

міжточками A(0; 0)

L

і B(3; 9) .

5. Обчислити ∫ xy3dx + (x2 − y) dy ,

де L – дуга кривої y = x4 від точ-

L

ки A(0; 0) до точки B(1; 1) .

Варіант №25

2

6− y

1.

Змінити порядок інтегрування в інтегралі ∫ dy ∫

f (x, y) dx .

0

2 y

2.

Знайти ∫∫

2xy

dxdy , D : (x − a)2 + ( y − a)2 ≤

a2 ,

(a > 0) .

x

2

+ y

2

D

Варіанти завдань

Варіант №1

1.

(1+ x2 ) dy − 1− y2 dx = 0 .

2.

xy′ = y ln

y

.

x

3.

y′ +

y

=

ln x +1

.

4.

(1− x2 ) y′′ − xy′ = 2 .

x

x

5.

y′′ + y′ = 6x + ex .

6.

y′′ + y =

1

.

cos x

7.

y′′′ − y′ = 0,

y(0) = 3, y′(0) = −1,

y′′(0) = 1 .

Варіант №2

1.

(x − y2 x)dx + ( y − x2 y)dy = 0 .

2.

( y +

x2 − y2 )dx − xdy = 0 .

3.

(x2 +1) y′ + 4xy = 3 .

4.

x2 y′′ + xy′ = 1.

5.

y′′ + y = cos x − 2e−x .

6.

y′′ + y = (cos 2x)−3 2 .

7.

y′′′ + 2 y′′ +10 y′ = 0, y(0) = 2,

y′(0) = 1,

y′′(0) = 1 .

Варіант №3

1.

(1+ y2 )dx −

xdy = 0 .

2.

xy + y2 = (2x2 + xy) y′ .

3.

(1− x)( y′ + y) = e

−x

.

4.

′′

′

.

y x ln x = y