visshaya_matematika_chast_IV
.pdf§2. Індивідуальне завдання 6.2 |
241 |
|
|
4. Задановершинитрикутника АВС: A(3, − 3) , |
B(0, 1) , C(1, 0) . Знайти: |
а) рівняння сторони АВ; б) рівняння висоти СН; в) рівняння медіани АМ;
г) рівняння прямої, що проходить через вершину С паралельно стороні АВ;
д) відстань h від точки С до прямої АВ.
5.Задано дві точки A(−10, 9) і B(3, 4) . На осі Ох знайти таку точку М, щоб ламана лінія АМВ мала найменшу довжину.
6.Знаючи рівняння двох сторін трикутника АВС AB : 2x − y −1 = 0 ,
AC : 4x + 9 y + 31 = 0 і внутрішнійкутпривершиніВ, рівний 450 , записати рівняння висоти, опущеної з вершини А на сторону ВС.
Варіант №18
1. Сила FG = (3, 1) прикладена до точки M (2, −1) . Записати загальне рівняння прямої, вздовж якої напрямлена ця сила.
2. Промінь світла напрямлений вздовж прямої y = 18x − 36 . Знайти
координати точки М зустрічі променя з віссю Ox та рівняння відбитого променя.
3. Точка M (−4, 3) є вершиною квадрата, одна із сторін якого лежить на прямій x − y +1 = 0 . Обчислити площу цього квадрата.
4. Задано вершини трикутника АВС: A(3, 1) , B(6, 1) , C(−3, − 4) .
Знайти:
а) рівняння сторони АВ; б) рівняння висоти СН; в) рівняння медіани АМ;
г) рівняння прямої, що проходить через вершину С паралельно стороні АВ;
д) відстань h від точки С до прямої АВ.
5.Задано дві точки A(−5, 10) і B(24, 19) . На осі Ох знайти таку точку М, щоб ламана лінія АМВ мала найменшу довжину.
6.Знаючирівняннядвохсторінтрикутника АВС AB : 4x + 7y − 27 = 0 ,
AC : 2x −15y + 5 = 0 і внутрішнійкутпривершиніВ, рівний 450 , записати рівняння висоти, опущеної з вершини А на сторону ВС.
Варіант №19
1. Сила FG = (3, − 3) прикладена до точки M (4, 1) . Записати загальне рівняння прямої, вздовж якої напрямлена ця сила.
242 Глава 6. Деякі індивідуальні завдання підвищеної складності
2. Промінь світла напрямлений вздовж прямої y = 12x − 36 . Знайти
координати точки М зустрічі променя з віссю Ox та рівняння відбитого променя.
3.Точка M (−2, 3) є вершиною квадрата, одна із сторін якого лежить на прямій x + 3y +1 = 0 . Обчислити площу цього квадрата.
4.Задано вершини трикутника АВС: A(−1, − 3) , B(−2, 3) , C(−3, 0) .
Знайти:
а) рівняння сторони АВ; б) рівняння висоти СН; в) рівняння медіани АМ;
г) рівняння прямої, що проходить через вершину С паралельно стороні АВ;
д) відстань h від точки С до прямої АВ.
5.Задано дві точки A(−9, 8) і B(14, 15) . На осі Ох знайти таку точку М, щоб ламана лінія АМВ мала найменшу довжину.
6.Знаючи рівняння двох сторін трикутника АВС AB : 8x + y + 3 = 0 ,
AC : 4x + 7 y − 31 = 0 і внутрішнійкутпривершиніВ, рівний 450 , записати рівняння висоти, опущеної з вершини А на сторону ВС.
Варіант №20
1. Сила FG = (−5, −1) прикладенадоточки M (−4, −1) . Записатизагальне рівняння прямої, вздовж якої напрямлена ця сила.
2. Промінь світла напрямлений вздовж прямої y = 16x − 32 . Знайти
координати точки М зустрічі променя з віссю Ox та рівняння відбитого променя.
3.Точка M (−2, − 7) є вершиною квадрата, одна із сторін якого лежить на прямій 3x + y + 3 = 0 . Обчислити площу цього квадрата.
4.Задановершинитрикутника АВС: A(−3, −1) , B(−2, − 7) , C(−3, − 4) .
Знайти:
а) рівняння сторони АВ; б) рівняння висоти СН; в) рівняння медіани АМ;
г) рівняння прямої, що проходить через вершину С паралельно стороні АВ;
д) відстань h від точки С до прямої АВ.
5. Заданодвіточки A(−15, 12) і B(11, 14) . Наосі Ох знайтитаку точку М, щоб ламана лінія АМВ мала найменшу довжину.
6. Знаючи рівняння двох сторін трикутника АВС AB : y +1 = 0 ,
AC : 2x − 5y +1 = 0 і внутрішній кут при вершині В, рівний 450 , записати рівняння висоти, опущеної з вершини А на сторону ВС.
§2. Індивідуальне завдання 6.2 |
243 |
|
|
Варіант №21 |
|
1. Сила FG = (7, −1) прикладена до точки M (−4, 5) . Записати загаль- |
|
не рівняння прямої, вздовж якої напрямлена ця сила. |
|
2. Промінь світла напрямлений вздовж прямої |
y = 4x − 8 . Знайти |
координати точки М зустрічі променя з віссю Ox та рівняння відбитого променя.
3.Точка M (−2, − 3) є вершиною квадрата, одна із сторін якого лежить на прямій 3x − y −1 = 0 . Обчислити площу цього квадрата.
4.Задано вершини трикутника АВС: A(3, −1) , B(−2, − 3) , C(−1, 4) .
Знайти:
а) рівняння сторони АВ; б) рівняння висоти СН; в) рівняння медіани АМ;
г) рівняння прямої, що проходить через вершину С паралельно стороні АВ;
д) відстань h від точки С до прямої АВ.
5.Задано дві точки A(−11, 8) і B(6, 9) . На осі Ох знайти таку точку М, щоб ламана лінія АМВ мала найменшу довжину.
6.Знаючи рівняння двох сторін трикутника АВС AB : 2x + y −1 = 0 ,
AC : y − 7 = 0 і внутрішній кут при вершині В, рівний 450 , записати рівняння висоти, опущеної з вершини А на сторону ВС.
Варіант №22
1. Сила FG = (−1, 7) прикладенадоточки M (−4, − 7) . Записатизагальне рівняння прямої, вздовж якої напрямлена ця сила.
2. Промінь світла напрямлений вздовж прямої y = 14x − 28 . Знайти
координати точки М зустрічі променя з віссю Ox та рівняння відбитого променя.
3.Точка M (−2, − 3) є вершиною квадрата, одна із сторін якого лежить на прямій 5x + y + 5 = 0 . Обчислити площу цього квадрата.
4.Задано вершини трикутника АВС: A(−5, −1) , B(−2, − 3) , C(−9, 4) .
Знайти:
а) рівняння сторони АВ; б) рівняння висоти СН; в) рівняння медіани АМ;
г) рівняння прямої, що проходить через вершину С паралельно стороні АВ;
д) відстань h від точки С до прямої АВ.
244 Глава 6. Деякі індивідуальні завдання підвищеної складності
5. Задано дві точки A(−16, 11) і B(0, 5) . На осі Ох знайти таку точку М, щоб ламана лінія АМВ мала найменшу довжину.
6. Знаючирівняннядвохсторінтрикутника АВС AB : 6x + 5y + 45 = 0 , AC : 2x − 39 y −107 = 0 і внутрішній кут при вершині В, рівний 450 , записати рівняння висоти, опущеної з вершини А на сторону ВС.
Варіант №23
1. Сила FG = (−7, − 3) прикладена до точки M (0, 5) . Записати загальне рівняння прямої, вздовж якої напрямлена ця сила.
2. Промінь світла напрямлений вздовж прямої y = 7x − 28 . Знайти
координати точки М зустрічі променя з віссю Ox та рівняння відбитого променя.
3. Точка M (6, 3) є вершиною квадрата, одна із сторін якого лежить на прямій 5x − 3y + 5 = 0 . Обчислити площу цього квадрата.
4. Задано вершини трикутника АВС: A(5, − 3) , B(6, 3) , C(−3, − 2) .
Знайти:
а) рівняння сторони АВ; б) рівняння висоти СН; в) рівняння медіани АМ;
г) рівняння прямої, що проходить через вершину С паралельно стороні АВ;
д) відстань h від точки С до прямої АВ.
5. Задано дві точки A(−7, 10) і B(6, 3) . На осі Ох знайти таку точку М, щоб ламана лінія АМВ мала найменшу довжину.
6. Знаючирівняннядвохсторінтрикутника АВС AB : 6x + y −15 = 0 , AC : 4x −13y − 51 = 0 і внутрішній кут при вершині В, рівний 450 , записати рівняння висоти, опущеної з вершини А на сторону ВС.
Варіант №24
1.Сила FG = (−3, 1) прикладена до точки M (6, 1) . Записати загальне рівняння прямої, вздовж якої напрямлена ця сила.
2.Промінь світла напрямлений вздовж прямої y = 8x − 8 . Знайти
координати точки М зустрічі променя з віссю Ox та рівняння відбитого променя.
3. Точка M (−2, 5) є вершиною квадрата, одна із сторін якого лежить на прямій x − y +1 = 0 . Обчислити площу цього квадрата.
§2. Індивідуальне завдання 6.2 |
245 |
|
|
4. Задано вершини трикутника АВС: A(−1, 1) , |
B(−2, 5) , C(−7, − 2) . |
Знайти:
а) рівняння сторони АВ; б) рівняння висоти СН; в) рівняння медіани АМ;
г) рівняння прямої, що проходить через вершину С паралельно стороні АВ;
д) відстань h від точки С до прямої АВ.
5.Задано дві точки A(−12, 13) і B(17, 16) . На осі Ох знайти таку точку М, щоб ламана лінія АМВ мала найменшу довжину.
6.Знаючи рівняння двох сторін трикутника АВС AB : 6x − y − 9 = 0 ,
AC : 2x + 7 y +19 = 0 і внутрішнійкутпривершиніВ, рівний 450 , записати рівняння висоти, опущеної з вершини А на сторону ВС.
Варіант №25
1. Сила FG = (−9, − 5) прикладенадоточки M (−2, 7) . Записатизагальне рівняння прямої, вздовж якої напрямлена ця сила.
2. Промінь світла напрямлений вздовж прямої y = 19x − 57 . Знайти
координати точки М зустрічі променя з віссю Ox та рівняння відбитого променя.
3.Точка M (0, − 3) є вершиною квадрата, одна із сторін якого лежить на прямій 7x − 5y + 7 = 0 . Обчислити площу цього квадрата.
4.Задано вершини трикутника АВС: A(−7, 5) , B(0, − 3) , C(−1, − 2) .
Знайти:
а) рівняння сторони АВ; б) рівняння висоти СН; в) рівняння медіани АМ;
г) рівняння прямої, що проходить через вершину С паралельно стороні АВ;
д) відстань h від точки С до прямої АВ.
5.Задано дві точки A(−17, 12) і B(8, 13) . На осі Ох знайти таку точку М, щоб ламана лінія АМВ мала найменшу довжину.
6.Знаючи рівняння двох сторін трикутника АВС AB : 2x + y +1 = 0 ,
AC : x + 8y − 7 = 0 і внутрішній кут при вершині В, рівний 450 , записати рівняння висоти, опущеної з вершини А на сторону ВС.
246 |
Глава 6. Деякі індивідуальні завдання підвищеної складності |
|
|
§3. Індивідуальне завдання 6.3
Інтегральне числення функцій багатьох змінних. Теорія
поля
[Ч.2, гл.3, §1, приклади 1 – 8, §2, приклади 1 – 4, §3, приклади 1 – 13, гл.4, §1, приклади 1 – 14, §2, приклади 1 – 9, §3, приклади 1 – 14; [13]]
Варіанти завдань
Варіант №1 1. Визначити об’єм тіла, обмеженого даними поверхнями:
z= 9 − x2 − y2 ; 9z = 2 (x2 + y2 ) .
2.Знайти заряд Q, зосереджений в об’ємі Ω , якщо відома об’ємна густина заряду ρ (x, y, z) .
Ω |
: 64 (x2 + y2 ) = z2 , x2 + y2 = 4 , y ≥ 0 , z ≥ 0 ; ρ = |
5 |
(x2+ y2 ) . |
4 |
3.Знайти заряд Q поверхні σ : x2 + y2 + z2 = a2 при заданій поверхневій густині заряду γ (x, y, z) = x2 + y2 .
4.Показати, що задане поле EG – потенціальне і знайти його потенціал:
G |
G G |
G |
|
|
ix + jy |
+ kz |
. |
||
E = |
|
|
||
x2 + y2 |
+ z2 |
|||
|
|
5.Знайти напруженість електричного поля EG за заданим потенціа-
лом U : U = x2 3 + y2 3 + z2 3 − a2 3 .
6.Знайтипохіднускалярногополя U (x, y, z) вточці М занапрямком нормалі до поверхні σ .
U = 4 ln (3 + x2 ) − 8xyz ; |
σ : |
x2 − 2 y2 + 2z2 = 1 ; |
M (1, 1, 1) . |
||||
7. Знайти об’ємну густинуG |
електричних зарядів ρ |
(x, y, z) за заданим |
|||||
вектором електричної індукції D : |
G |
G |
|
|
|||
|
|
G |
G |
|
|
||
|
|
−ix + jy + kz |
. |
|
|||
|
|
D = |
|
x2 + x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8. Знайтиструмзміщеннявдіелектрику, якщов ньомузаданемагніт- |
|||||||
G |
G |
G G |
G |
|
|
|
|
не поле H (x, y, z) : |
H = |
(ix − jy2 + kz3 ) exyz . |
|
|
|
||
§3. Індивідуальне завдання 6.3 |
247 |
|
|
9. Перетворити заданий поверхневий інтеграл w∫∫ xydydz + yzdxdz + zxdxdy
σ
за формулою Остроградського-Гаусса до інтеграла по об’єму, обмеженому даною замкненою поверхнею σ .
10. Перетворити заданий криволінійний інтеграл v∫ (x2 − yz) dx + ( y2 − zx) dy + (z2 − xy) dz
|
|
|
|
|
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
за формулою Стокса до інтеграла по поверхні σ , натягнутій на замкнений |
|||||||||||||||||||||||||
контур L. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11. Знайти потік векторного поля EG |
через замкнену поверхню σ |
||||||||||||||||||||||||
(нормаль зовнішня). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
EG = x2iG+ xjG+ xzkG ; |
σ |
: |
z = x2 + y2 , z =1 , |
x = 0 , |
|
y = 0 (x ≥ 0, y≥ |
0) . |
||||||||||||||||||
12. Знайти модуль циркуляції поля HG |
вздовж контуру L. |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
G |
|
|
2 |
|
|
|
G |
G |
G |
|
2 |
+ y |
2 |
= 1, |
|
||||
|
|
|
|
|
|
H = |
(x |
− y) i + xj |
+ k ; L : |
x |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
= 1. |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Варіант №2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
1. Визначити об’єм тіла, обмеженого даними поверхнями: |
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
z = |
15 |
|
|
x2 + y2 |
; z = |
17 |
− x2 − y2 . |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
2. Знайти заряд Q, |
зосереджений в об’ємі Ω |
|
, якщо відома об’ємна |
||||||||||||||||||||||
густина заряду ρ |
(x, y, z) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
Ω : x2 + y2 + z2 = 4 , x2 + y2 ≤ 1 , x ≥ 0 ; ρ = 4 | z | . |
|
|||||||||||||||||||||||
3. Знайти заряд Q поверхні σ |
: a2 z2 = b2 (x2 + y2 ) (0 ≤ z≤ b) |
при за- |
|||||||||||||||||||||||
даній поверхневій густині заряду γ (x, y, z)= |
x2 + y2 . |
|
|||||||||||||||||||||||
4. Показати, що задане поле EG |
– потенціальне і знайти його потенціал: |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
G |
|
|
|
|
yz |
|
|
|
G |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
E = iG |
|
|
+ ( Gjz + ky) arcsin x . |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 − x2 |
|
|
|
|
|
EG |
|
|
|||
5. Знайти напруженість електричного поля |
за заданим потенціа- |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
y2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c |
|
− |
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a2 |
|
b2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
лом U : U = |
|
|
e |
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6. Знайтипохіднускалярногополя U (x, y, z) |
вточці М занапрямком |
||||||||||||||||||||||||
нормалі до поверхні σ . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
U = x |
y + y |
|
z ; |
σ : |
4z + 2x2 − y2 = 0 ; |
|
M (2, 4, 2) . |
|
||||||||||||||||
248 |
Глава 6. Деякі індивідуальні завдання підвищеної складності |
||||||||
|
|
|
|
||||||
7. Знайти об’ємну густинуGелектричних зарядів ρ (x, y, z) за заданим |
|||||||||
вектором електричної індукції D(x, y, z) : |
kG |
|
|
||||||
|
|
|
G |
|
iG |
Gj |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
D = |
|
x |
y |
z |
|
|
8. Знайтиструмзміщенняв |
|
z |
x |
y |
|
|
|||
|
діелектрику |
|
, якщовньомузадане магніт- |
||||||
G |
G |
G |
G |
|
G |
|
|
|
|
не поле H(x, y, z) : H = ixy + jyz + kzx . |
|
|
|
|
|||||
9. Перетворити заданий поверхневий інтеграл
w∫∫ x2dydz + y2 dxdz + z2 dxdy
σ
за формулою Остроградського-Гаусса до інтеграла по об’єму, обмеженому даною замкненою поверхнею σ .
10. Перетворити заданий криволінійний інтеграл v∫ yzdx + xzdy + xydz
|
|
L |
|
|
σ |
, натягнутій на замкнений |
||
за формулою Стокса до інтеграла по поверхні |
||||||||
контур L. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11. Знайти потік векторного поля EG через замкнену поверхню σ |
|||||||
(нормаль зовнішня). |
|
|
|
|
|
|
|
|
EG |
= (x2 + y2 ) iG+ ( y2 + x2 ) Gj + ( y2 + z2 ) kG; σ : x2 + y2 = 1, z = 0, z = 1 . |
|||||||
|
12. Знайти модуль циркуляції поля HG вздовж контуру L. |
|||||||
|
G |
G G G |
|
z = 5(x |
2 |
+ y |
2 |
) −1, |
|
H = xzi − j + yk ; |
|
|
|
||||
|
L : |
z = 4. |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Варіант №3 1. Визначити об’єм тіла, обмеженого даними поверхнями:
z = 4 − x2 − y2 ; z = |
|
x2 + y2 |
. |
|||
255 |
||||||
|
|
|
|
|||
2. Знайти заряд Q, зосереджений в об’ємі Ω , якщо відома об’ємна |
||||||
густина заряду ρ (x, y, z) . |
|
|
|
|
|
|
Ω : x2 + y2 = 1 , x2 + y2 = 2z , x ≥ 0 , y ≥ 0 , z ≥ 0 ; ρ = 10x . |
||||||
3. Знайти заряд Q поверхні σ |
: x + y + z = a , x = 0 , y = 0 , z = 0 при |
|||||
заданій поверхневій густині заряду γ (x, y, z) = xy + xz + yz . |
||||||
4. Показати, що задане поле |
EG |
– потенціальне і знайти його потенціал: |
||||
G |
G |
G |
G |
|||
E = exyz |
(iyz + jxz |
+ kxy) . |
||||
|
|
|
|
§3. Індивідуальне завдання 6.3 |
|
|
249 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
5. Знайти напруженість електричного поля |
EG за заданим потенціа- |
||||||||||||||||||
лом U : U = 1− |
x2 |
|
− |
|
y2 |
− |
z2 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a2 |
|
b2 |
c2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
6. Знайтипохіднускалярногополя U (x, y, z) |
вточці М занапрямком |
||||||||||||||||||
нормалі до поверхні σ . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
U = −2 ln (x2 + 5) − 4xyz ; |
σ : |
x2 + 2 y2 − 2z2 = 1 ; |
M (1, 1, 1) . |
||||||||||||||||
7. Знайти об’ємну густину електричних зарядів ρ |
(x, y, z) за заданим |
||||||||||||||||||
вектором електричної індукції |
G |
|
|
|
: |
|
|
|
|||||||||||
D (x, y, z) |
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
G |
|
G |
|
G |
|
G |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
D |
= ix2 + jy2 |
+ kz2 . |
|
|
|
|||||
8. Знайтиструмзміщеннявдіелектрику, якщовньомузадане магніт- |
|||||||||||||||||||
G |
|
|
|
G |
G |
|
|
|
|
|
G |
|
|
|
|
G |
|
||
не поле H(x, y, z) : |
H = iyz ln (1+ x) + jxz ln (1+ y) + kxy ln (1+ z) . |
||||||||||||||||||
9. Перетворити заданий поверхневий інтеграл |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
w∫∫ |
|
x cos α + |
y cosβ + |
|
z cosγ |
dσ . |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
+ y |
2 |
+ z |
2 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
σ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
за формулоюОстроградського-Гаусса доінтеграла по об’єму, обмеженому даною замкненою поверхнею σ ( cos α , cosβ , cosλ – напрямні косинуси нор-
малі до поверхні σ ).
10. Перетворити заданий криволінійний інтеграл v∫ x(z − y) dx + y(x − z) dy + z( y − x) dz .
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, натягнутій на замкнений |
||
за формулою Стокса до інтеграла по поверхні σ |
|
||||||||||||||||
контур L. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
EG |
|
|
|
|
|
|
11. Знайти потік векторного поля |
через замкнену поверхню σ |
||||||||||||||||
(нормаль зовнішня). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
G |
2 |
G |
|
2 |
G |
2 |
G |
|
|
|
x2 |
+ y2 + z2 = 4, |
|||||
E = x |
i |
+ y |
j + z |
k ; |
σ |
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
+ y2 = z2 (z ≥ 0). |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
G |
|
|
|
|
|
12. Знайти модуль циркуляції поля H вздовж контуру L. |
|||||||||||||||||
G |
|
G |
|
|
G |
|
G |
|
|
|
2 |
+ y |
2 |
+ z |
2 |
= 25, |
|
|
|
|
|
; |
L : |
x |
|
|
|
||||||||
H = yzi |
+ 2xzj + xyk |
|
2 + y2 = 9 (z > 0). |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Варіант №4 1. Визначити об’єм тіла, обмеженого даними поверхнями:
z = 64 − x2 − y2 ; z =1; x2 + y2 = 60 (x2 + y2 ≤ 60) .
250Глава 6. Деякі індивідуальні завдання підвищеної складності
2.Знайти заряд Q, зосереджений в об’ємі Ω , якщо відома об’ємна густина заряду ρ (x, y, z) .
Ω : 49 (x2 + y2 ) = 16z2 , x2 + y2 = |
4 |
z , |
x ≥ 0 , y ≥ 0 ; ρ = 80yz . |
||||||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
y2 |
z2 |
|
|
|
|
|
|||||
3. Знайти заряд Q поверхні σ |
: |
|
|
|
+ |
|
|
|
|
+ |
|
|
|
= 1 при заданій поверх- |
|||||||||||
|
a2 |
|
b2 |
|
c2 |
|
|||||||||||||||||||
невій густині заряду γ (x, y, z) = z . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
4. Показати, що задане поле EG |
– потенціальне і знайти його потенціал: |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
G |
G |
G |
|
|
|
|
|
|
G |
|
|
|
|
|
.G |
|
|
|
|||
|
|
|
|
E |
= (iz |
+ kx) cos y |
− jxz sin y |
|
|
|
|
||||||||||||||
5. Знайти напруженість електричного поля |
|
E за заданим потенціа- |
|||||||||||||||||||||||
лом U : U = z2 − 2ax − y2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
6. Знайтипохіднускалярногополя U (x, y, z) |
|
вточці М занапрямком |
|||||||||||||||||||||||
нормалідоповерхні σ . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
U = |
1 |
x2 y − x2 |
+ 5z2 ; σ : z2 = x2 + 4 y2 − 4 ; M (−2; 0, 5; 1) . |
||||||||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||||||||
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7. Знайти об’ємну густинуGелектричних зарядів ρ |
(x, y, z) за заданим |
||||||||||||||||||||||||
вектором електричної індукції D(x, y, z) |
: |
|
|
G |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
G |
G |
|
G |
|
|
|
3 x . |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
D = ix3 y + jy3 z + kz |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
8. Знайтиструмзміщеннявдіелектрику, якщовньомузадане магніт- |
|||||||||||||||||||||||||
G |
G |
G |
|
x + y |
|
G |
|
|
|
|
y + z |
|
G |
|
z + x |
||||||||||
не поле H(x, y, z) : |
H = i arctg |
|
|
+ j arctg |
|
|
+ k arctg |
|
. |
||||||||||||||||
1 − xy |
1− yz |
1− zx |
|||||||||||||||||||||||
9. Перетворити заданий поверхневий інтеграл w∫∫ xydydz + yzdxdz + zxdxdy
σ
за формулою Остроградського-Гаусса до інтеграла по об’єму, обмеженому даною замкненою поверхнею σ .
10. Перетворити заданий криволінійний інтеграл v∫ (z2 − y2 ) dx + (x2 − z2 ) dy + ( y2 − x2 ) dz .
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, натягнутій на замкнений |
||
за формулою Стокса до інтеграла по поверхні σ |
||||||||||||
контур L. |
|
|
|
|
|
EG |
|
|
|
|
|
|
11. Знайти потік векторного поля |
через замкнену поверхню σ |
|||||||||||
(нормаль зовнішня). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
G |
2 G |
G |
G |
|
|
x |
2 |
+ y |
2 |
+ z |
2 |
= 1, |
E = x |
+ zk ; σ |
: |
|
|
|
|
||||||
i |
+ yj |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
z = 0 (z ≥ 0). |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|