visshaya_matematika_chast_IV

321

8.

За даним графіком оригіналу

f (t) знайти зображення F( p) .

f(t)

1

0

a

2a

3a

t

9.

–1

f (t)

за заданим зображенням F( p) :

Знайти оригінал

F ( p) =

1

.

p3 + p2 + p

x′ = −x − 2 y +1,

3

x(0) = 1, y(0)

= 0 .

x + y ,

y′ = −

2

12. Обчислити інтеграл операційним методом:

+∞

∫

cos t − cos 4t

dt .

0

t

Варіант №14

1. Знайти всі значення кореня

4

−1− i

3

.

32

π

2. Представити в алгебраїчній формі

cos

− 2i .

4

3. Зобразити на комплексній площині області, задані нерівностями:

| z + i | > 1, −

π

≤ arg z< 0 .

4

функцію f (z) за відомою

4. Відновити аналітичну в околі точки z0

дійсною частиною u (x, y)

та значенням f (z0 ) :

u (x, y) = x2 − y2 − 2x +1, z = 0, f (z ) = 1 .

0

0

322

5. Обчислити інтеграл від функції комплексної змінної вздовж зада-

ної кривої:

∫ (ch z + z) dz , L : {| z | = 1, Im z ≤

0} .

L

6.

Визначити тип особливої точки z = 0 для функції

f (z) =

cos 3z −

1

.

sin z − z +

z3

7.

Обчислити інтеграли:

6

v∫

cos

2

z +1

2π

dt

а)

dz ;

б) ∫

;

2

2

z−2

=3

z

− π

0

5 −

21sin t

+∞

x2

+∞

(x +1) sin 2x

в) ∫

dx ;

г) ∫

dx .

(x

2

+ 5)

2

x

2

+ 2x + 2

−∞

−∞

8.

За даним графіком оригіналу

f (t)

знайти зображення F( p) .

f(t)

§5. Індивідуальне завдання 6.5

x′

= 3x + 5 y + 2 ,

x(0) =

0 ,

y(0) = 2 .

y′ = 3x + y +1,

12. Обчислити інтеграл операційним методом:

+∞

−3t

sin 4t

∫

e

dt .

0

t

Варіант №15

1. Знайти всі значення кореня 3 −8 .

π

2. Представити в алгебраїчній формі

sin

− 5i .

2

3. Зобразити на комплексній площині області, задані нерівностями:

| z −1− i | < 1, | arg z | ≤

π

.

4

4. Відновити аналітичну в околі точки z0

функцію f (z) за відомою

уявною частиною v (x,

y) та значенням f (z0 ) :

v (x, y) = 3x2 y − y3 − y , z = 0, f (z ) = 0 .

0

0

5. Обчислити інтеграл від функції комплексної змінної вздовж зада-

ної кривої:

∫| z | Re z2dz , L :{| z | = R , Im z ≥

0} .

L

6. Визначити тип особливої точки z = 0 для функції

f (z) =

sh 2z − 2z

.

cos z −1+

z2

2

7. Обчислити інтеграли:

ln (z + 2)

2π

dt

а)

v∫

dz ;

б) ∫

;

|z−1|=

3

sin 3z

0

6 − 4 2 sin t

2

+∞

dx

+∞

x sin x

в) ∫

;

г) ∫

dx .

(x

2

+1)

2

(x

2

+ 4)

(x

2

+1)

2

−∞

−∞

§5. Індивідуальне завдання 6.5

5. Обчислити інтеграл від функції комплексної змінної вздовж зада-

ної кривої:

∫ (3z2 + 2z) dz , AB : { y = x2 , zA = 0,

zB = 1+ i} .

AB

6. Визначити тип особливої точки z = 0 для функції

f (z) =

ch 2z −1

.

sh z − z −

z3

6

7. Обчислити інтеграли:

v∫

sin

3

z +

2

2π

dt

а)

dz ;

б) ∫

;

2

2

z−6

=1

z

− 4π

0

8

− 2

15 sin t

+∞

(x2 + 5)

+∞

cos 2x

г) ∫

в) ∫

dx ;

dx .

x

4

+ 5x

2

+

6

2

1

2

−∞

−∞

x

+

4

8. За даним графіком оригіналу f (t)

знайти зображення F( p) .

f(t)

2b

b

0

a

2a

3a

t

–2b

9. Знайти оригінал f (t) за заданим зображенням F( p) :

F ( p) =

1

.

p3 ( p2 − 4)

10. Знайти розв’язок y = y(t)

задачі Коші для заданого диференціаль-

ного рівняння операційним методом:

y′′ + 4 y′ = sin 2t ,

y(0) = 0 ,

y′(0) = 1 .

11. Знайтирозв’язок x = x(t) ,

y = y(t) задачіКошідлязаданоїсисте-

ми диференціальних рівнянь операційним методом:

x′ = 2 y +1,

x(0) = −1,

y(0) = 1 .

y′ = 2x + 3,

+∞

sin 2t dt .

∫ e−2t

0

t

Варіант №17

1. Знайти всі значення кореня

4 − 1 .

16

1 + π i

2. Представити в алгебраїчній формі ch

.

3

3. Зобразити на комплексній площині області, задані нерівностями:

| z | ≤ 1, arg (z+

i)> π

4 .

4. Відновити аналітичну в околі точки z0

функцію f (z)

за відомою

уявною частиною v (x, y) та значенням f (z0 ) :

v (x, y) = 3x2 y − y3, z = 0, f (z ) = 1 .

0

0

5. Обчислити інтеграл від функції комплексної змінної вздовж зада-

ної кривої:

∫ z Re z2dz , L : {| z | = R ,

Im z ≥ 0} .

L

6. Визначити тип особливої точки z = 0 для функції

f (z) =

ez3

z2 .

ch z −1−

2

7. Обчислити інтеграли:

v∫

tg2z + 2 dz ;

2π

dt

а)

б) ∫

;

|z+1|=

1

4z

+ π z

0

3 sin t − 2

2

+∞

dx

+∞

cos x

в) ∫

3 ;

г) ∫

dx .

(1+ x

2

)

(x

2

+1)

3

−∞

−∞

8. За даним графіком оригіналу f (t)

знайти зображення F( p) .

f(t)

1

0

a

2a

t

–1

§5. Індивідуальне завдання 6.5

327

9. Знайти оригінал f (t) за заданим зображенням F( p) :