visshaya_matematika_chast_IV

Поняття

або

співвідношення,

що визначаються

1

Подвійний інтеграл

від функції f (x, y)

i

по області D

Обчислення подвійного

інтеграла:

а) область D :

ϕ 1(x) ≤ y ≤ ϕ 2 (x) ,

a ≤ x ≤ b ;

б) область D :

ψ 1( y) ≤ x ≤ ψ 2 ( y) ,

c ≤ y ≤ d .

Якобіан перетворення:

x = x (u,v),

y = y(u,v).

Заміна змінних

у подвійномуінтегралі:

а) перехід до криволінійних

координат u та v

x = x (u,v),

y = y(u,v).

б) перехід до полярних

координат ρ та ϕ

x = ρ cosϕ ,

y = ρ sinϕ ,

0 ≤ ρ < + ∞ , 0 ≤ ϕ < 2π .

1

2

в) перехід до узагальнених

полярних координат

x

= aρ cosϕ ,

cosϕ ,bρ sinϕ )abρ dρ dϕ

= bρ sinϕ , a > 0, b > 0

y

0 ≤ ρ < + ∞ , 0 ≤ ϕ < 2π

Площа SD області D R2

SD = ∫∫dxdy

Об’єм тіла G , обмеженого

поверхнями:

f (x, y) dxdy

σ1 : z = f (x, y) ≥ 0 ,

прxOyσ1 = D ,

σ 2 : z = 0 ,

σ 3 : циліндрична поверхня

y

з твірною, паралельною

осі Oz , і напрямною L –

межеюобласті D

L

Об’єм тіла G , обмеженого

поверхнями:

σ1 : z = f1(x, y) ,

V = ∫∫[ f2 (x, y) − f1(x, y)]dxdy

σ 2 :

z = f2 (x, y) ,

f1(x, y) ≤ f2 (x, y) ,

прxOyσ1 = прxOyσ 2 = D .

Площа Sσ поверхні

= ∫∫1+ f x′2 (x, y) + f y′2 (x, y) dxdy

σ : z = f (x, y) , прxOyσ = D

Маса m матеріальної

пластинки D R2

µ(x, y)dxdy

з густиною µ(x, y)

Середня густина µсер

µ(x, y)dxdy

матеріальної пластинки, яка

має масу m , площу S і

dxdy

густину µ(x, y)

∫∫

D

Поняття

або

співвідношення,

що визначаються

1

Потрійнийінтеграл від

функції f (x, y, z) по

області G R3 .

Обчислення потрійного

інтеграла по області G :

G : z1(x, y) ≤ z ≤ z2 (x, y) ,

y1(x) ≤ y ≤ y2 (x) ,

a ≤ x ≤ b .

Якобіан перетворення:

x = x(u,v, w),

y = y(u,v, w),

z = z(u,v, w).

Заміна змінних

у потрійномуінтегралі:

а) перехід до криволінійних

координат u , v , w

x = x(u,v, w),

y = y(u,v, w),

z = z(u,v, w).

б) перехід до циліндричних

координат ρ , ϕ

, z

cosϕ ,

sinϕ ,

z = z,

0 ≤ ρ < + ∞ , 0 ≤ ϕ < 2π ,

− ∞ ≤ z ≤ + ∞

1

2

в) перехід до сферичних

координат r, ϕ , θ

∫∫∫f (x, y, z)dxdydz=

x = r cosϕ

sinθ,

y = rsinϕ sinθ,

= ∫∫∫f (r cosϕ sin θ, r sinϕ sin θ, r cosθ) r2 sin θdrdϕ dθ

z = r cosθ,

0 ≤ r < + ∞ , 0 ≤ ϕ < 2π ,

0 ≤ θ≤ π

Об’єм V тіла G

R3

∫∫∫

dxdydz

G

Маса m тіла G

R 3

m = ∫∫∫µ(x, y, z) dxdydz

з густиною µ(x, y, z)

Середня густина µсер тіла,

µ(x, y, z) dxdydz

яке має масу m , об’єм V і

∫∫∫

густину µ(x, y, z)

G

Заряд Q , зосереджений в

∫∫∫

об’ємі Ω , призаданій

ρ (x, y, z) dv

об’ємній густині заряду

ρ (x, y, z)

Поняття

співвідношення,

що визначаються

Криволінійний

інтеграл першого роду

від функції

f (x, y, z)

а) AB R3

x = x(t),

AB:

(t) dt

2

б) AB R2

x = x(t),

∫f (x,y)dl = ∫f [x(t), y(t)] x′2 (t) + y′2 (t) dt

AB:

AB : y = y(x), a ≤ x ≤ b

∫f (x, y) dl = ∫f [x, y(x)] 1+ y′2 (x) dx

AB : x = x( y), c ≤ y ≤ d

∫f (x, y) dl = ∫f [x( y), y] x′2 ( y) +1 dy

AB : ρ = ρ (ϕ ), α ≤ ϕ ≤ β

а) довжина l

дуги AB

1

2

б) маса m матеріальної дуги

AB з густиною µ=µ(x, y,z)

Криволінійний інтегралдругого роду

Криволінійний інтеграл

другого родувід

вектор-функції F(x,y,z)=

=P(x,y,z)i +Q(x,y,z) j+R(x,y,z)k

по дузі AB

Обчислення криволінійного інтеграла другого роду

а) AB R3

∫P(x,y,z)dx+Q(x,y,z)dy+R(x,y,z)dz=

AB:x=x(t), y= y(t),z=z(t) ,

t змінюється від tA до tB

+Q(x(t),y(t),z(t))y′(t)+R(x(t),y(t),z(t))z′(t)]dt

б) AB R2

AB : x = x(t), y = y(t) ,

t змінюється від tA до tB ;

= [P(x(t),y(t))x′(t)+Q(x(t),y(t)) y′(t)]dt

AB : y = y(x) ,

x змінюється від xA доxB ;

= ∫[P(x, y(x)) + Q(x, y(x)) y′(x)]dx

AB : x = x( y) ,

y змінюється від yA до yB

= ∫[P(x( y), y)x′( y) + Q(x( y), y)]dy

∂P

Формула Гріна

dxdy

∂y

1

2

Застосування криволінійного інтеграла другого роду

а) площа плоскої

∫x dy − y dx

області D , обмеженої

кривою L

б) робота сили

F =(P,Q,R) вздовж

лінії L

Поняття

або

співвідношення,

що визначаються

1

Поверхневий інтеграл першого роду

Поверхневий інтеграл

першого родувід

f (Mi ) ∆ σ i

функції f (x, y, z) по

поверхні σ

Обчислення поверхневого інтеграла першого роду

σ : z = z(x, y) ,

прxOyσ = Dxy

(x, y) dxdy