visshaya_matematika_chast_IV

301

6.

Довестирівномірнузбіжністьрядувзазначеномупроміжку, корис-

туючись ознакою Вейерштрасса:

∑∞

n arctg 2n2 x

, [0, +∞ ) .

n=1 3 n7 + n + x

7.

Розкластифункцію

f (x) врядТейлоравоколіточки x = a тазнай-

ти радіус R збіжності отриманого ряду:

f (x) = (x +1) ex , a = −1.

8. Розкласти в ряд Маклорена задану функцію

f (x) , використовую-

ни цього розкладання): y′′ − x2 + y = 0,

y(0) = 1,

y′(0) = 0 .

1.

Знайти суму ряду:

Варіант №24

∞

2

∞

(−1)n

∑

∑

а)

;

б)

3n +

xn+1 .

2.

n=1

n=1

n +

1

Дослідити на збіжність задані числові ряди:

∞

13n + 7

∞

3n2 − 6n + 7 −n2

∞

2

n +1

а)

∑

n

; б)

∑

2

; в)

∑

;

n=1

n2

n=1

3n + 20n

−1

n=1 (n

+ 2n + 6) ln(n +1)

г)

∑∞

(−1)n+1

ln(n +1)

;

д)

∑∞

nnein

.

3.

n=1

7n+1

n=1 2n

Визначити область збіжності ряду:

∞

2

x

∞

(x −1)2n

а) ∑

ln

1+

;

б) ∑

.

1+ n

2

x

2

n

2 n

4.

n=1

n=1

8

Визначити область абсолютної збіжності ряду:

∞

z

n

∑

.

5.

n=1

sin n

:

Обчислити суму ряду з заданою похибкою α

∑∞

(−1)n−1 2n

, α = 0, 01 .

n=1

nn

∑∞

(x +1) sin2 nx

, [–3, 0] .

n=1

n

n3

+1

7. Розкластифункцію

f (x)

в

рядТейлоравоколіточки x = a тазнай-

303

5. Обчислити суму ряду з заданою похибкою α

:

∑∞

(−1)n+1

, α = 0, 01 .

n=1 5n−1 n2

6. Довестирівномірнузбіжністьрядувзазначеномупроміжку, корис-

туючись ознакою Вейерштрасса:

∞ cos nx sin

1

nx

∑

, [2, +∞ ) .

n=1

4 + ln2 nx

7. Розкластифункцію

f (x) врядТейлоравоколіточки x = a тазнай-

ти радіус R збіжності отриманого ряду:

1

, a = 4 .

f (x) =

2x + 5

8. Розкласти в ряд Маклорена задану функцію

f (x) , використовую-

x2

ряду:

f (x) = x arccos

.

4 + x2

−3

1 2

x − arctg x

9. Обчислити інтеграл з точністю до 10

:

∫

dx .

x

2

0

х розв’язку

10. Знайти розкладання в степеневий ряд за степенями

304

3.

Зобразити на комплексній площині області, задані нерівностями:

z ≤ 2, Re z< 1, Im z> − 1 .

4.

Відновити аналітичну в околі точки z0

функцію f (z) за відомою

дійсною частиною u (x, y)

та значенням

f (z0 ) :

u ( x, y) =

x

+ x , z0

= 1, f ( z0 ) = 2 .

x2 + y2

5. Обчислити інтеграл від функції комплексної змінної вздовж зада-

ної кривої:

∫

(z9 +1) dz , АВС – ламана:

zA = 0,

zB = 1 + i, zC = i .

ABC

6.

Визначити тип особливої точки z = 0 для функції

f (z) =

ch 3z −1

.

sin z − z +

z3

7.

6

Обчислити інтеграли:

sin z

2π

dt

а)

v∫

dz ;

б)

∫

;

π

7 sin t + 4

z−

3

=2

z(z

− π ) z+

0

3

2

+∞

dx

+∞

(x3 +1) cos x

в) ∫

;

г)

∫

dx .

(x

2

+1)

4

x

4

+ 5x

2

+ 4

−∞

−∞

8.

За даним графіком оригіналу

f (t)

знайти зображення F( p) .

f(t)

0

a

2a

3a

t

–1

9.

Знайти оригінал f (t)

за заданим зображенням F( p) :

F ( p) =

2 − 3 p

.

( p − 2)( p2 − 4 p + 5)

10. Знайти розв’язок y = y(t) задачі Коші для заданого диференціаль-

ного рівняння операційним методом:

y′′ + y′ −10 y = 47 cos 3t − sin 3t ,

y(0) = 3,

y′(0) = −1 .

11. Знайтирозв’язок x = x(t) ,

y = y(t) задачіКошідлязаданоїсисте-

ми диференціальних рівнянь операційним методом:

x′ = y + 3,

x(0) = 1,

y(0)

= 0 .

y′ = x + 2,

12. Обчислити інтеграл операційним методом:

+∞

sin 4t

∫

e−2t

dt .

0

t

Варіант №2

1. Знайти всі значення кореня

4

−1+ i

3

.

2

π

2. Представити в алгебраїчній формі

cos

+

2i .

6

3. Зобразити на комплексній площині області, задані нерівностями:

| z + i | ≥ 1, | z |< 2 .

функцію f (z) за відомою

дійсною частиною u (x,

y) та значенням f (z0 ) :

u (x, y) = x3 − 3xy2 +1, z

0

= 0, f (z ) = 1 .

0

5. Обчислити інтеграл від функції комплексної змінної вздовж зада-

ної кривої: ∫ (z −1) ez dz ,

L : { | z |= 1, Re z ≥

0} .

L

| z −1| ≤ 1, arg≤

π

, arg (−z

1)> π

.

4

4

4. Відновити аналітичну в околі точки z0 функцію f (z) за відомою

дійсною частиною u (x, y)

та значенням f (z0 ) :

u (x, y) = −2xy − 2 y , z0 = 0 , f (z0 ) = i .

§5. Індивідуальне завдання 6.5

5. Обчислити інтеграл від функції комплексної змінної вздовж зада-

ної кривої:

∫

(sin z + z5 ) dz , АВС – ламана:

zA = 0, zB = 1,

zC = 2i .

ABC

6. Визначити тип особливої точки z = 0 для функції

f (z) =

sin z4 − z4

.

sh z − z −

z3

7. Обчислити інтеграли:

6

sin

2

z

2π

dt

а) v∫

dz ;

б)

∫

;

z cos z

2 sin t +

z

=2

0

2

3

+∞

x2 +

2

+∞

cos 2x − cos x

в) ∫

dx ;

г)

∫

dx .

x

4

+ 7x

2

+12

(x

2

+1)

2

−∞

−∞

8. За даним графіком оригіналу

f (t)

знайти зображення F( p) .

f(t)

1

0

a

2a

3a

4a

t

–1

9. Знайти оригінал

f (t)

за заданим зображенням F( p) :

F ( p) =

2 − p

.

p3 − 2 p2 + 5 p

10. Знайти розв’язок y = y(t)

задачі Коші для заданого диференціаль-

ного рівняння операційним методом:

y′′ − 2 y′ = et (t2 + t − 3) ,