visshaya_matematika_chast_IV

281

4. Визначити область абсолютної збіжності ряду:

∞

n2 + 3

n2

n

∑

(z −1)

.

2

n

+ 4

n=1

5. Обчислити суму ряду з заданою похибкою α

:

∑∞

(−1)n−1

, α = 0, 01 .

n=1

n3

6. Довестирівномірнузбіжністьрядувзазначеномупроміжку, корис-

туючись ознакою Вейерштрасса:

∞

x2

∑

,

(−∞ ,+ ∞ ) .

1+ n3 2 x4

n=1

7. Розкластифункцію

f (x)

врядТейлоравоколіточки x = a тазнай-

ти радіус R збіжності отриманого ряду:

f (x) = ex2 −4x+1, a = 3 .

8. Розкласти в ряд Маклорена задану функцію

f (x) , використовую-

ряду:

f (x) = arctg

2

+ x2

.

2

− x2

1

sh x

9. Обчислити інтеграл з точністю до 10−3 : ∫

dx .

0

x

10. Знайти розкладання в степеневий ряд за степенями х розв’язку

§4. Індивідуальне завдання 6.4

283

∞

n

n

+ 3

n

∞

(2 + i)n n

г) ∑

(−1)

;

д) ∑

.

n

3.

n=1

2n −1

n=1

3

Визначити область збіжності ряду:

∞

n

1

∞

(x +1)n

3n − 2

а)

∑

x

sin

;

б) ∑

ln

.

2

n

n +1

3n + 2

4.

n=1

n=1

Визначити область абсолютної збіжності ряду:

∞

3n (z +1) n + ∞

2n

.

∑

∑

n=1 n (z +1)n

5.

n=0

Обчислити суму ряду з заданою похибкою α

:

∑∞

(−1)n−1 (n +1)

, α =

0, 001 .

6.

n=1

Довестирівномірнузбіжністьрядувзазначеномупроміжку, корис-

туючись ознакою Вейерштрасса:

∑∞

sin2 2nx

,

(−∞ , +∞

) .

n=1 3 x2 + n4

7.

Розкластифункцію f (x) врядТейлоравоколіточки x = a тазнай-

ти радіус R збіжності отриманого ряду:

1

f (x) =

, a = 3 .

x2 − 6x +18

8. Розкласти в ряд Маклорена задану функцію

f (x) , використовую-

∞

(−1)n+1

∑

, α =

0, 001 .

(n −1)!(2n −1)

n=1

6. Довестирівномірнузбіжністьрядувзазначеномупроміжку, корис-

туючись ознакою Вейерштрасса:

∞

n2

x2 sin x

∑n=1

, (−∞ ,+ ∞ ) .

n +1

1+ n5 x6

7. Розкластифункцію f (x) врядТейлоравоколіточки x = a тазнай-

ти радіус R збіжності отриманого ряду:

f (x) = ln (x2 + 6x +12) ,

a = −3 .

§4. Індивідуальне завдання 6.4

285

1.

Знайти суму ряду:

Варіант №9

∞

4

∞

(−1)n−1 xn

а)

∑

;

б) ∑

.

2

−

4)

n(n

+1)

2.

n=1 n(n

n=1

Дослідити на збіжність задані числові ряди:

∞

n! n

∞

7n2 +18n −15 n3

∞

1

2

а)

∑

n

;

б)

∑

2

; в)

∑

;

n=1 2

n=1

7n +11n +15

n=1 (2n + 5) ln (2n + 3)

∞

(−1)n

∞

n

+ 2i

n

г)

∑

;

д) ∑

.

(1+ i)n +

3.

n=1

(n + 2) ln(n +1)

n=1

3

Визначити область збіжності ряду:

а)

∑∞

(−1)n

arctg(xn ) ;

б) ∑∞

3n (n3 + 2)(x −1)2n .

n

4.

n=1

n=1

∞

∞

1

∑

(n +1)n zn

+

.

∑

2n zn

5.

n=0

n=1

Обчислити суму ряду з заданою похибкою α

:

∑∞

(−1)n−1 n

,

α =

0,1 .

3n

6.

n=1

Довестирівномірнузбіжністьрядувзазначеномупроміжку, корис-

туючись ознакою Вейерштрасса:

∞

arctg(nx)

, (−∞

,+ ∞ ) .

∑n=1 x4 + n3 n

7.

Розкластифункцію

f (x) врядТейлоравоколіточки x = a тазнай-

ти радіус R збіжності отриманого ряду:

f (x) =

1

, a = 4 .

3 x2 − 8x + 24

8.

Розкласти в ряд Маклорена задану функцію

f (x) , використовую-

в) ∑∞

1

;

г) ∑∞

(−1)n+1 (n + 4)

;

д) ∑∞

nn

.

3.

n=1 (2n + 5) ln2 (n + 2)

n=1

ln (n + 5)

n=1 n!(e − i)n

Визначити область збіжності ряду:

а) ∑∞

n

e−

n2

б) ∑∞

4n2 (x +1)n2 .

x

;

4.

n=1 x2

n=1

∞

n

+ 2 n2

n

∑

(z −1+ i)

.

5.

n=1 n

+ 5

:

Обчислити суму ряду з заданою похибкою α

∞

(−1)n−1

α = 0, 01 .

,

6.

∑n=1 n2 (n +1)

Довестирівномірнузбіжністьрядувзазначеномупроміжку, корис-

туючись ознакою Вейерштрасса:

∑∞

sin2

x

, [0, +∞

) .

n=1

1+ n2 x

7.

Розкластифункцію

f (x) врядТейлоравоколіточки x = a тазнай-

ти радіус R збіжності отриманого ряду:

f (x) = (x +1) cos2 x, a = −1 .

8. Розкласти в ряд Маклорена задану функцію

f (x) , використовую-

ни цього розкладання):

y′′ = xyy′,

y(0) = 1,

y′(0) = 0 .

1.

Знайти суму ряду:

Варіант №12

∞

n + 3

∞

n+1

1

1

n

а) ∑

;

б) ∑

(−1)

+

x

.

(n +

2)(n

2

− 4)

n

n

2.

n=1

n=1

+ 2

Дослідити на збіжність задані числові ряди:

∞

5

n

1

∞

n

2

−1

n4

∞

1

а)

∑

;

б)

∑

;

в)

∑

;

n!

n

2

(2n +1) ln(2n + 2)

n=1

4

n=1

n=1

г)

∑∞

(−1)n

;

д)

∑∞

sin in

.

n=1 sin

π

3 1 −

1

n=1

3n