visshaya_matematika_chast_IV

291

5. Обчислити суму ряду з заданою похибкою α

:

∑∞

(−1)n+1

, α = 0, 01 .

n=1 2 + n3

6. Довестирівномірнузбіжністьрядувзазначеномупроміжку, корис-

туючись ознакою Вейерштрасса:

x

∞ cos nx sin

n

∑

, (−∞ ,+ ∞ ) .

+1)

n=1 x2 + ln3 (n

7. Розкластифункцію f (x) врядТейлоравоколіточки x = a тазнай-

ти радіус R збіжності отриманого ряду:

f (x) =

1

, a = −4 .

5 + x

8. Розкласти в ряд Маклорена задану функцію

f (x) , використовую-

ряду:

f (x) = x2arctg

x

.

1 − x2

1 2

sin x2

9. Обчислити інтеграл з точністю до 10−3 : ∫

dx .

x

10. Знайти розкладання в степеневий ряд за0степенями х розв’язку

292

4. Визначити область абсолютної збіжності ряду:

∞

n 2n

∑

.

(z − 3i)2n

n=1

5. Обчислити суму ряду з заданою похибкою α

:

∑∞

(−1)n−1 n2

, α = 0,1.

n=1

5n

6. Довестирівномірнузбіжністьрядувзазначеномупроміжку, корис-

туючись ознакою Вейерштрасса:

∞

(3x)n

x

∑n=1 n

n + x arctg n ,

[0, 1 3] .

7. Розкластифункцію

f (x)

врядТейлоравоколіточки x = a тазнай-

ти радіус R збіжності отриманого ряду:

f (x) =

1

, a = 6 .

x2 −12x + 40

8. Розкласти в ряд Маклорена задану функцію

f (x) , використовую-

ни цього розкладання):

y′ = 3x2 − xy3,

y(0) = 0 .

1. Знайти суму ряду:

Варіант №16

∞

6 − 2n

∞

n+1

1

2n−1

а) ∑

;

б) ∑

(−1)

+

x

.

n=1 n(n +1)(n +

3)

n=1

2n −1

2. Дослідити на збіжність задані числові ряди:

∞

n

4n

∞

3n2 − 5

n3

∞

n + 2

а)

∑

; б)

∑

2

; в)

∑

2

;

n=1 7 (7n −

2)

n=1

3n − 5n + 7

n=1 (5(n +1)

− 9) ln(n −1)

г) ∑∞

(−1)n

sin n3

;

д) ∑∞

(1+ i)n

.

n=1

3 n

n=1 2n (n +1)

293

3.

Визначити область збіжності ряду:

n

x

∞

cos

arctg

∞

(−1)

n−1

n

n

а) ∑

x

n

;

б) ∑

(x −1)

n

.

nx + x

2

n!

n=1

n=1

e

4.

Визначити область абсолютної збіжності ряду:

∑∞

ne−nz .

ряду:

f (x) = arctg

x

.

1− x2

−3

1 2 arctg x2

9. Обчислити інтеграл з точністю до 10

:

∫

dx .

x

2

10. Знайти розкладання в степеневий ряд за0степенями х розв’язку

§4. Індивідуальне завдання 6.4

295

1.

Знайти суму ряду:

Варіант №18

а) ∑∞

3n + 5

;

б) ∑∞

(2n2 + 7n + 5)xn .

2.

n=1 n(n +1)(n +

2)

n=1

Дослідити на збіжність задані числові ряди:

∞

(2n +1)4

∞

n2 − 6n + 5 3n2

∞

1

а)

∑

;

б)

∑

2

; в)

∑

;

n=1

(3n)!

n=1 n

− 5n + 5

n=1 (2n +

2) ln(3n + 2)

∞

(−1)n

∞

(−1)n

i

г)

∑

;

д)

∑

+

.

3

n

n n +1

5

n

3.

n=1

n=1

3

Визначити область збіжності ряду:

∞

1

2x

∞

(x − 6)n

а)

∑

sin

arctg

;

б)

∑

.

x

2

+ n

2

(n + 5) ln(n + 5)

n=1

n

n=1

∞

2n z2n

+

∞

1

.

∑

∑

2

n=1 nz

2n

n=0 (n +1)

5. Обчислити суму ряду з заданою похибкою α

:

∑∞

(−1)n−13n−1

,

α =

0, 001 .

n=1 4n+1 (n +1)2

6. Довестирівномірнузбіжністьрядувзазначеномупроміжку, корис-

туючись ознакою Вейерштрасса:

∞

x

,

[0, +∞ ) .

∑n=1 1+ n4 x2

7. Розкластифункцію

f (x) врядТейлоравоколіточки x = a тазнай-

ти радіус R збіжності отриманого ряду:

f (x) = ln (x + 2), a = −1 .

8. Розкласти в ряд Маклорена задану функцію

f (x) , використовую-

296

1.

Знайти суму ряду:

Варіант №19

∞

1

∞

а) ∑

;

б) ∑ (2n2 +1)xn .

(3n −1)(3n +

2)

2.

n=1

n=1

Дослідити на збіжність задані числові ряди:

а) ∑∞

(n +1)n

;

б)

∑∞

n 5n+2

;

в) ∑∞

1

;

n=1

n!

n=1

7n

n=1 (n −1) ln(n − 2)

г)

∑∞

(−1)n+1

sin ((n +1)

n)

;

д)

∑∞

(3 + i)n

.

n=1

(n +1) n

n=1

4n

3.

Визначити область збіжності ряду:

∞

2

∞

n6

а)

∑

e−n

x sin nx ;

б)

∑

(x + 6)2n+1 .

(n +1)!

4.

n=1

n=1

Визначити область абсолютної збіжності ряду:

∞

1

2n

n

∑

.

n cos

(z − i)

n

5.

n=1

Обчислити суму ряду з заданою похибкою α

:

∑∞

(−1)n−1

,

α =

0, 001 .

nn

6.

n=1

Довестирівномірнузбіжністьрядувзазначеномупроміжку, корис-

туючись ознакою Вейерштрасса:

∑∞

,

[–3, −1] .

n=1

n3 + x4

7.

Розкластифункцію

f (x)

врядТейлоравоколіточки x = a тазнай-

ти радіус R збіжності отриманого ряду:

f (x)

=

1

, a = −3 .

x

8.

Розкласти в ряд Маклорена задану функцію

f (x) , використовую-

297

10. Знайти розкладання в степеневий ряд за степенями

х розв’язку

ни цього розкладання):

(1− x2 ) y′′ − 5xy′− 4 y = 0,

y(0) = 0, y′(0) = 0 .

1.

Знайти суму ряду:

Варіант №20

а) ∑∞

n + 8

;

б) ∑∞

(−1)n+1 x2n+1

.

2.

n=1 n(n +1)(n +

2)

n=1

2n(2n −1)

Дослідити на збіжність задані числові ряди:

∞

(3n − 2)!

∞

3

+ n +

1

2n3

∞

(n +1)

2

а)

∑

;

б)

∑

n

;

в)

∑

;

(2n + 5)!

n

3

+ 2

3

+1) ln(n +1)

n=1

n=1

n=1 ((n +1)

∞

(−1)n−1

∞

n + 2 + in

г)

∑

;

д)

∑

.

(ln(n +1))n

3.

n=1

n=1 n(n +1)(n +

2)

Визначити область збіжності ряду:

∞

1

2

nx

∞

5n2 (x −1)n2

а)

∑

sin

sin

; б)

∑

.

n

3

7

n

4.

n=1

nx

+ x

n=1

Визначити область абсолютної збіжності ряду:

∞

n!(z − 2)n

+ ∞

en

.

∑

∑

2n

5.

n=1

n=1 2n (z − 2)n