Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Харьковский национальный университет радиоэлектроники

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

visshaya_matematika_chast_IV

.pdf

Скачиваний:

214

Добавлен:

14.04.2015

Размер:

10 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 4142 / 5642 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 > Следующая >>>

§12. Диференціальні рівняння

411

Продовження таблиці 12.3

Метод Ейлера

Характеристичне рівняння

det (A − λ E) = 0

Корені характеристичного

1,λ

2 ,…,λ n

рівняння

Загальний розв’язок

Ck X(λ

k ) (t)

однорідної системи

X(t) = ∑

k=1

Формування X(λ k ) (t)

y(λ )

а) λ

– дійсний корінь

(λ )

(t) = Y

(λ

)

λ t

y2(λ

)

λ t

кратності 1

(λ

)

де AY(λ ) = λ Y(λ ) , Y(λ ) ≠ 0

б) λ

– комплексний

X1(λ ) (t) = ReX(λ

) (t),

корінь кратності 1

X(2λ ) (t) = ImX(λ ) (t)

(1)

+ α

(2)

+…+ α

(r)

r−1

α 1

в) λ

– корінь кратності

(λ )

(t) =

α 2(1)

+ α (22)t +…+ α

2(r)t r−1

λ t

r ≥ 2

……………………………

(1)

+ α

(2)

+…+ α

(r)

r−1

α n

Лінійні неоднорідні системи диференціальних рівнянь

зі сталими коефіцієнтами

= A X(t) + F(t) ,

Вигляд системи

де

A – матриця коефіцієнтів ai j

системи,

j – сталі, i, j =

1, n

X (t) = (x1 (t), x2 (t),…, xn (t))T ,

xi (t)

– шукані функції, i =

1, n

F(t) = ( f1(t), f2 (t),…, fn (t))T ,

fi (t)

– задані функції, i =

1, n

412	Глава 7. Довідковий матеріал

Продовження таблиці 12.3
		~
		~
			X(t) = X0 (t) + X(t) ,
Загальний розв’язок		де X0 (t) – загальний розв’язок відповідної
неоднорідної системи				dX
		однорідної системи			= A X(t) ,
		однорідної системи		dt	= A X(t) ,
		~
			X(t) – деякий частинний розв’язок неодно-
		рідної системи
Метод підборучастинного розв’язку

Вигляд функцій fi (t)			Вигляд частинного розв’язку (аналогічно
правої частини			неоднорідномудиференціальному
правої частини			рівнянню n -го порядку – таблиця 12.2)
(P(t)cosβ t + Q(t)sinβ t) eα t			рівнянню n -го порядку – таблиця 12.2)

§13. Ряди	413

§13. Ряди

Таблиця 13.1 – Числові ряди

Поняття або

співвідношення,

Формула

що визначаються

Числовий ряд

u1 + u2 +…+ un +…= ∑∞

k=1

n -а частинна сума ряду

Sn = ∑n

k=1

Ряд збіжний

lim Sn

= S

n→ ∞

Необхідна умова

∞

Якщо ряд ∑

збігається, то

lim un = 0 .

збіжності ряду

n=1

n→

∞

Достатня умова

lim un

≠

розбіжності ряду

n→ ∞

a + aq + aq2 +…+ aqn−1 +…= ∑∞

aqn−1 ,

Геометричний ряд

n=1

ряд збігається при

< 1 ,

S =

1− q

ряд розбігається при

≥

1 .

Гармонічний ряд

+…+

+…= ∑∞

n=1 n

ряд розбіжний

∞

Узагальнений

n∑=1

R ,

n p

гармонічний ряд

ряд збіжний при

p > 1,

ряд розбіжний при p ≤

1 .

Знакододатний ряд

∑∞

un ,

un > 0

n=1

414				Глава 7. Довідковий матеріал

Продовження таблиці 13.1

1							2
			Ознакипорівняння для рядів
		∑∞	un	(1), ∑∞	vn (2), un > 0, vn > 0
		n=1		n=1
а) un ≤ vn , n
якщо ряд (2) збіжний, то ряд (1) збіжний,
якщо ряд (1) розбіжний, то ряд (2) розбіжний.
б) lim	un	= l ≠	0 , то обидва ряди збіжні, або обидва розбіжні.
б) lim		= l ≠	0 , то обидва ряди збіжні, або обидва розбіжні.
n→ ∞	vn
Достатні ознаки збіжності для ряду ∑∞							un ,	un	> 0
						n=1
						lim	un+1	= l ,
						lim	un	= l ,
Ознака Даламбера						n→ ∞	un
Ознака Даламбера				l < 1 – ряд збіжний,
				l < 1 – ряд збіжний,
				l > 1 – ряд розбіжний,
				l = 1 – потрібне додаткове дослідження.
						lim n un		= l ,
Радикальна ознака Коші						n→ ∞
Радикальна ознака Коші				l < 1 – ряд збіжний,
				l > 1 – ряд розбіжний,
				l = 1 – потрібне додаткове дослідження.
					u1 ≥ u2 ≥ u3 ≥ …
Інтегральна ознака Коші				функція f (x)		така, що		f (n) = un , n .
Інтегральна ознака Коші					+ ∞
					+ ∞
				Тоді інтеграл ∫f (x) dx збіжний (або розбіж-
					1
				ний) одночасно з заданим рядом.
Знакозмінний ряд						∑∞	un ,
						n=1
				де un	– задані числа, як додатні, так і від’ємні.
Знакопочережний ряд				u1 − u2 + u3 −…+ (−1)n+1 un +…= ∑∞					(−1)n+1 un , un > 0
								n=1

§13. Ряди

415

Продовження таблиці 13.1

Ознака Лейбніца

Ряд ∑∞

(−1)n+1un

збігається, якщо

n=1

u1 > u2 > u3

> … та lim un

= 0 .

n→ ∞

∑∞

(−1)n−1

= 1

−

−…+ (−1)n−1

+….

Ряди лейбніцевого

n=1

n−1

типу

∞

(−1)

∑

= 1

−

−…+ (−1)n−1

+….

2n −1

n=1

3 5

Це умовно збіжні ряди

Достатня ознака

∞

збіжності

Якщо ряд ∑

збіжний, то збіжний і ряд ∑ un .

n=1

Ряд ∑∞

Якщо ряд ∑∞

збіжний.

n=1

абсолютно збіжний

Ряд ∑∞

Якщо ряд ∑∞

збіжний, а ряд ∑∞

розбіжний.

n=1

умовно збіжний

416

Глава 7. Довідковий матеріал

Таблиця 13.2 – Функціональні ряди. Степеневі ряди

Поняття або

співвідношення,

Формула

що визначаються

Функціональний ряд

∑∞

un (x)

n=1

n -а частинна сума ряду

Sn (x) = ∑n

uk (x)

k=1

Сума ряду

S(x) = lim Sn (x)

n→

∞

n -й залишок ряду

rn (x) = S(x) − Sn (x) = ∑∞

uk (x)

k =n+1

∑∞

an xn

n=0

Степеневий ряд

або

∑∞

an (x − a)n ,

n=0

де a, a0 , a1, a2 , … – дійсні числа.

R = lim

an+1

Радіус збіжності

або

n→

∞

степеневого ряду

R = lim

n→

∞

Ряд Тейлора

∞

(k )

(a)

для функції f (x)

f (x) = ∑

(x − a)k

k =0

Ряд Маклорена

∞

(k)

(0)

для функції f (x)

f (x) = ∑

k =0

Формули розкладу елементарних функцій в ряд Маклорена

ex = 1+ x +

+…+

+…= ∑∞

, − ∞ < x < + ∞ ,

n =0 n!

§13. Ряди

417

Продовження таблиці 13.2

sin x

= x

−

…+

(−1)

2n+1

+…=

(2n +

1)!

= ∑∞

(−1)n

x2n+1

− ∞ < x < + ∞ ,

(2n +1)!

n =0

cos x

= 1 −

−

+…+ (−1)n

x2n

+…=

(2n)!

= ∑∞

(−1)n

x2n

, − ∞ < x < + ∞ ,

(2n)!

n =0

(1+ x)m = 1+ mx

m(m −1)

x2 +…+

m(m −1)…(m − n +1)

xn +…=

= 1+ ∑∞

m(m −1)(m − 2)…(m − n +1)

xn ,

−1 < x <1,

n =1

= 1− x + x2 − x3

+…+ (−1)n xn +…= ∑∞

(−1)n xn , −1 < x <1,

1 + x

n =0

= 1+ x + x2 + x3

+…+ xn +…= ∑∞

xn , −1 < x <1,

1− x

n =0

ln(1+ x) = x −

−

…+

(−1)n−1

xn +…= ∑∞

(−1)n−1

, −1 < x ≤ 1 ,

n =1

arctg x = x −

x2n+1

−

+…+ (−1)

+…=

2n +1

= ∑∞

(−1)n

x2n+1

−1 ≤ x ≤ 1,

n =0

2n +1

arcsin x = x +

1 3

+…+

1 3

… (2n

−1) x2n+1

+…=

2 3

2 4 5

2 4 … 2n 2n +

= x + ∑∞

(2n −1)!!

x2n+1

−1 < x < 1 ,

n =1 (2n)!! 2n +1

де (2n −1)!!= 1 3 … (2n −1),

(2n)!!= 2 4 … 2n .

418	Глава 7. Довідковий матеріал

Продовження таблиці 13.2

Рівняння та функції Бесселя

Рівняння Бесселя

x2 y′′ + xy′ + (x2 − ν2 ) y = 0,

ν – const.

Загальний розв’язок:

а)

ν – не ціле число,

а)

y = C1Iν (x) + C2 I−ν (x) ,

б)

ν – ціле число

б)

y = C1Iν (x) + C2 Kν (x)

(−1)

2k+ν

∞

Функції Бесселя першого

Iν (x) = ∑

Γ(k + ν +1)

родупорядку ν і −ν

k =0Γ(k +1)

відповідно

(−1)

k x

2k−ν

∞

I−ν (x) = ∑

Γ(k +1)

Γ(k − ν +1)

k =0

Функція Бесселя другого

∞

bk xk

родупорядку ν

Kν (x) = Iν (x)ln x + x−ν ∑

k =0

+ ∞

Гамма-функція

Γ( p) = ∫e−x x p−1dx

( p > 0) ,

Ейлера

Γ( p +1) = p Γ( p) ,

для цілих значень p > 0

Γ( p +1) = p!

§13. Ряди

419

Таблиця 13.3 – Ряди Фур’є

Поняття або

співвідношення,

Формула

що визначаються

∑∞

(an cosnx + bn sin nx) ,

n=1

Ряд Фур’є

де

f (x) dx ,

для періодичної функції

f (x)

−∫π

з періодом 2π

1 π

an =

∫

−π

f (x)cosnx dx ,

∫f (x)sin nx dx

= π

n = 1, 2,…

−π

а) ряд Фур’є для парної функції

f (x)

+ ∑∞

an cosnx ,

n=1

де a0

f (x) dx ,

∫

an =

2 π

f (x)cosnx dx .

∫

б) ряд Фур’є для непарної функції

f (x) = ∑∞

bn sinnx ,

n=1

де b

f (x)sin nx dx

∫

∞

π nx

+ ∑

an cos

+ bn sin

n=1

Ряд Фур’є

де

1 l

для періодичної функції

f (x)

f (x) dx ,

l −∫l

з періодом 2l

1 l

π nx

f (x) cos

dx ,

∫

−l

1 l

bn =

∫f (x)sin

dx ,

n = 1, 2,…

−l

420

Глава 7. Довідковий матеріал

Продовження таблиці 13.3

а) ряд Фур’є для парної функції

f (x) =

+ ∑∞

an cos

π nx

n=1

2 l

де a0 =

∫

f (x) dx ,

2 l

∫

dx .

f (x)cos

б) ряд Фур’є для непарної функції

f (x) = ∑∞

bn sin

π nx

n=1

2 l

∫

де b

f (x)sin

dx .

Ряд Фур’є в комплексній формі

+ ∞

а) для періодичної функції

f (x)

f (x) =

∑

Cneinx ,

з періодом 2π

n= −∞

де Cn

f (x)e−inx dx ,

2π

∫

−π

n = 0, ±1, ± 2,…

+ ∞

π nx

б) для періодичної функції

f (x)

f (x) =

∑

Cne

з періодом 2l

n=−∞

l f (x)e−

i dx ,

де Cn

∫

−l

n = 0, ±1, ± 2,…

+ ∞

Інтеграл Фур’є:

f (x) =

∫dα

∫f (t)cosα (t − x) dt

− ∞

+∞

+ ∞

а) якщо

f (x)

– парна,

f (x) =

∫

∫f (t)cosα

t dt cosα x dα

+ ∞

б) якщо

f (x)

– непарна,

f (x) =

∫

∫f (t)sinα

t dt

sinα x dα

<<< < Предыдущая 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 4142 / 5642 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
01.07.2025266 Кб3V_11.docx
#
01.07.20254 Мб1Vakulenko D PI-11-2 Diplom.doc
#
01.03.20253 Мб3Var_ryad.rtf
#
14.04.2015737 Кб62VHDL_для СБИС.pdf
#
13.04.20154 Мб155vipuskna_robota_bakalavra.doc
#
14.04.201510 Мб214visshaya_matematika_chast_IV.pdf
#
18.09.2019394 Кб15VM_11-20.docx
#
29.10.20182 Мб72vms_answers_for_1-50 !!!!!!!!.doc
#
29.10.20182 Мб56vms_answers_for_1-50.doc
#
13.04.2015160 Кб18Vocabulary PT All Units.doc
#
14.04.201575 Кб30vodka-conjugation.pdf