- •РАБОЧАЯ ТЕТРАДЬ ПО ТЕМАМ 6.1, 6.2
- •Тема 6.1. Интегрирование функций нескольких переменных
- •Двойной интеграл
- •Задача 1.1
- •Задача 1.2
- •Справочный материал
- •Задача 2.2
- •Решение задачи 1.1
- •Решение задачи 1.2
- •Задача 2.1
- •Справочный материал
- •Механический смысл двойного интеграла
- •Геометрический смысл двойного интеграла
- •Решение задачи 2.1
- •Решение задачи 2.2
- •Тройной интеграл
- •Задача 3.1
- •Задача 3.2
- •Задача 3.3
- •Справочный материал
- •Решение задачи 3.1
- •Решение задачи 3.2
- •Тройной интеграл в сферических координатах
- •Решение задачи 3.3
- •Задача 4.1
- •Задача 4.2
- •Задача 4.3
- •Справочный материал
- •Решение задачи 4.1
- •Решение задачи 4.2
- •Решение задачи 4.3.
- •Задача 5.1
- •Задача 5.2
- •Задача 5.3
- •Справочный материал
- •Решение задачи 5.1
- •Решение задачи 5.2
- •Решение задачи 5.3
- •Задача 6.1
- •Задача 6.2
- •Задача 6.3
- •Справочный материал
- •Решение задачи 6.1
- •Решение задачи 6.2
- •Решение задачи 6.3
- •Тема 6.2. Теория поля
- •Скалярное поле
- •Задача 7.1
- •Задача 7.2
- •Задача 7.3
- •Справочный материал
- •Решение задачи 7.1
- •Решение задачи 7.2
- •Решение задачи 7.3
- •Векторное поле
- •Задача 8.1
- •Задача 8.2
- •Справочный материал
- •Решение задачи 8.1
- •Решение задачи 8.2
- •Задача 9.1
- •Задача 9.2
- •Справочный материал
- •Решение задачи 9.1
- •Решение задачи 9.2
- •Задача 10
- •Справочный материал
- •Теорема Стокса
- •Решение задачи 10
- •Задача 11
- •Справочный материал
- •Решение задачи 11
- •Задания к типовым расчетам
- •Вариант 1
- •Вариант 2
- •Вариант 3
- •Вариант 4
- •Вариант 6
- •Вариант 7
- •Вариант 8
- •Вариант 9
- •Вариант 10
- •Вариант 11
- •Вариант 12
- •Вариант 13
- •Вариант 14
- •Вариант 15
- •Вариант 16
- •Вариант 17
- •Вариант 18
- •Вариант 19
- •Вариант 20
- •Вариант 21
- •Вариант 22
- •Вариант 23
- •Вариант 24
- •Вариант 25
- •Вариант 26
- •Вариант 27
- •Вариант 28
- •Вариант 29
- •Вариант 30
- •ПРИЛОЖЕНИЕ
- •Полярная система координат
- •Эллиптические координаты
- •Сферическая система координат
- •Обобщенно эллиптические координаты
- •Механические приложения интегралов функций нескольких переменных
- •Механические приложения двойных интегралов
- •Статические моменты
- •Координаты центра тяжести
- •Моменты инерции
- •Механические приложения тройного интеграла
- •Статические моменты
- •Координаты центра тяжести
- •Моменты инерции
- •Механические приложения криволинейного интеграла первого рода
- •Статические моменты дуги
- •Координаты центра тяжести дуги
- •Моменты инерции дуги
- •Механические приложения поверхностного интеграла первого рода
- •Статические моменты участка поверхности
- •Моменты инерции участка поверхности
A = ∫(a, dr )= ∫ax (x, y, z)dx +ay (x, y, z)dy +az (x, y, z)dz .
MN MN
Если векторное поле ar = ax (x, y)i + ay (x, y)j плоское, то
криволинейный интеграл второго рода вдоль кривой L , расположенной в координатной плоскости xOy , имеет вид
∫(ar, dr)= ∫ax (x, y)dx + ay (x, y)dy .
|
|
|
L |
|
L |
|
|
|
|
|
Если |
кривая |
L |
задана |
параметрическими уравнениями: |
||||||
x = x(t); |
|
y = y(t); z = z(t), |
и функции x = x(t); y = y(t) |
; |
||||||
z = z(t) |
- |
дифференцируемы, |
причём |
начальной |
точке |
M |
|
|||
соответствует значение |
параметра t1 , а конечной |
точке |
N |
- |
||||||
значение параметра t2 , то |
|
|
|
|
|
|||||
r |
r |
|
t2 |
(x(t), |
|
′ |
(x(t), y(t), |
′ |
|
|
∫(a |
, dr ) |
= ∫[ax |
y(t), z(t))x (t)+ ay |
z(t))y (t)+ |
|
|||||
|
|
|
t1 |
|
|
|
|
|
|
|
MN |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ az (x(t), y(t), z(t))z′(t)]dt .
Решение задачи 8.1
A = ∫(ar, dr)= ∫ ydx + xdy + (x − y)dz .
MN MN
Уравнение прямой MN запишем в параметрическом виде:
x = t +1y = 3t +1
z = 4t +1
и вычислим производные от функций x = x(t); y = y(t); z = z(t)
x′ =1y′ = 3 .z′ = 4
38
Пределы интегрирования для переменной t |
определим, |
||||||||
учитывая, что |
при |
переходе от точки |
M к точке |
N |
функция |
||||
|
|
x =1 t = 0 |
. |
|
|
|
|||
x = x(t) меняется от 1 до 2 . Тогда |
2 t =1 |
|
|
|
|||||
|
|
x = |
|
|
|
|
|||
Следовательно, |
A = ∫ ydx + xdy + (x − y)dz = |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
MN |
|
|
|
|
|
|
|
= 1∫[(3t +1) 1 + (t +1) 3 + (t +1 −3t −1) 4]dt = |
|
|
|||||||
0 |
= 1∫(− 2t + 4)dt =(−t2 + 4t) |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
1 = 3 . |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
||||
|
0 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
Решение задачи 8.2 |
|
|
|
|
|
|
|
||
Зададим кривую |
L параметрическими уравнениями: |
x = t |
. |
||||||
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
y = t2 |
|
x′ =1 |
. На участке параболы OA выполняется неравенство |
||||||||
Тогда |
|||||||||
y′ = 2t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 ≤ x ≤1 , откуда следует, что 0 ≤ t ≤1.
Учитывая это, криволинейный интеграл можно свести к определенному интегралу.
∫(x2 + 2xy)dx + (y2 − 2xy)dy = ∫1 [(t2 + 2t3 ) 1 + (t4 − 2t3 ) 2t]dt =
L |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
3 |
+ t |
4 |
+ t |
6 |
− 4 t |
5 |
|
|
1 |
= 11 . |
|
|
|||||||||||||
= ∫(t2 + 2t3 + 2t5 |
− 4t4 )dt = t |
|
|
|
|
|
|
||||||
0 |
3 2 3 |
|
5 |
|
0 |
30 |
|||||||
|
|
|
|||||||||||
Задача 9.1 |
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
r |
|
|
r |
Вычислить поток |
векторного |
поля |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
ar = x2i |
+ y2 j |
|
− zk через |
|||||||||
часть поверхность x2 + y2 = z при |
z ≤1 в направлении внешней |
||||||||||||
нормали по теореме Гаусса - Остроградского и непосредственно.
39