− 2 |
≤ x ≤ 2 |
|
(D ) |
и |
|
2 ≤ x ≤ 2 2 |
|
|
(D |
|
). |
|||||
|
− 8 |
− y 2 |
≤ y |
≤ x |
|
|
2 |
2 |
||||||||
|
1 |
|
|
8 − x |
2 |
≤ y ≤ 8 |
− x |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
||||
Из последних неравенств можно определить новые пределы интеграции:
2 |
x |
2 2 |
∫dx ∫ |
f (x, y)dy + ∫ |
|
−2 |
− 8−x2 |
2 |
8−x2
dx ∫ f (x, y)dy .
−
8−x2
Задача 2.1
|
|
Вычислить |
массу тонкой |
пластины, ограниченной линиями |
||||
|
x2 + y2 − 4 y = 0 и |
y = x |
при |
y ≤ x , если плотность в каждой ее |
||||
точке равна δ(x, y)= |
x2 + y2 . |
|
||||||
Задача 2.2 |
|
|
|
|
||||
|
|
Вычислить |
объём |
тела, |
ограниченного поверхностями |
|||
|
х2 |
+ |
z2 |
=1, y = 0 , z = 0 , y = x ( z ≥ 0 ). |
||||
4 |
|
|||||||
9 |
|
|
|
|
|
|||
Справочный материал
Механический смысл двойного интеграла
Если функция δ(x, y)≥ 0 имеет смысл распределенной плотности в каждой точке области D, то
∫∫δ(x, y)dS = m ,
D
где m - масса тонкой плоской пластины, занимающей в координатной плоскости xOy область D.
Геометрический смысл двойного интеграла
1. Если δ(x, y)=1, то масса тонкой пластины равна ее площади. Поэтому
∫∫dS = S ,
D
7
где S - площадь области D.
2. Если цилиндрическое тело с боковой поверхностью, параллельной оси Oz , ограничено снизу плоскостью z = 0 , а сверху поверхностью z = f (x, y), то его объем V можно вычислить по формуле
V = ∫∫ f (x, y)dS ,
D
где D - область, которую вырезает в плоскости xOy боковая
поверхность тела.
Если при вычислении двойного интеграла необходимо перейти от декартовых координат к полярным, то в двойном интеграле делают
x = ρ cos ϕ
замену переменных по формулам: y = ρ sin ϕ . При этом следует
иметь в виду, что если в декартовых координатах dS = dxdy , то при переходе к полярным координатам dS = ρdρdϕ. Двойной интеграл в полярных координатах примет вид:
∫∫ f (x, y) dxdy =∫∫ f (ρcos ϕ, ρsin ϕ) ρdρdϕ
D |
|
D′ |
|
||||||||
где D′ – область изменения полярных координат. |
|
||||||||||
|
ϕ=α ρ=ρ2 |
(ϕ) ϕ=с |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
D |
|
|
ϕ β |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
ρ=ρ1(ϕ) |
|
= |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
β |
|
α |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 4. |
|
||||
Если область D (рис. |
|
4) заключена между лучами |
ϕ = α и |
||||||||
ϕ =β , и любой луч ϕ = c |
|
(α < c < β) входит в область |
D через |
||||||||
линию ρ =ρ1(ϕ) и выходит через линию ρ = ρ2 (ϕ) , то по аналогии с
двойным интегралом в декартовых координатах можно написать формулу:
8
|
β |
ρ2 (ϕ) |
(ρcos ϕ, ρsin ϕ)ρdρ. |
∫∫ f (x, y) dxdy =∫dϕ ∫ f |
|||
D |
α |
ρ1(ϕ) |
|
Решение задачи 2.1 |
пластины с плотностью δ(x, y) |
||
Масса тонкой |
плоской |
||
определяется по формуле
m = ∫∫δ(x, y)dS = ∫∫
x2 + y2 dS .
|
D |
D |
|
Чтобы построить область |
D , приведем уравнение кривой |
x2 |
+ y 2 − 4 y = 0 к каноническому виду. |
|
|
x2 + y2 − 4 y = 0 x2 + (y2 − 4 y + 4)− 4 = 0 |
|
x2 |
+ ( y − 2)2 = 22 .Это уравнение является уравнением окружности |
|
с центром в точке (0, 2) и радиусом 2. Область D показана на рисунке 5.
y 
π φ=
ρ |
|
|
= |
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
s |
|
|
|
i |
|
|
n |
|
|
φ |
4
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
φ = 0 |
|
x |
|
||
|
|
|
Рис. 5. |
|
|
|
|
|
|
Перейдем |
|
к |
полярной системе |
координат. |
Поскольку |
||||
x2 + y2 = |
ρ2 cos2 ϕ +ρ2 sin2 ϕ = |
ρ2 (cos2 ϕ + sin2 ϕ)= |
|||||||
= ρ2 = ρ, |
то |
масса пластины |
определяется |
следующим |
|||||
интегралом: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m = ∫∫ρ ρ dρ dϕ .
D
9
Чтобы свести двойной интеграл к повторному, запишем уравнения всех границ области интегрирования в полярных координатах.
1). Уравнение окружности в полярных координатах:
ρ2 cos2 ϕ +ρ2 sin2 ϕ = 4ρsin ϕ или
ρ2 (cos2 ϕ + sin2 ϕ)= 4ρsin ϕ.
1442443
1
Разделив последнее равенство на ρ ≠ 0 , получим полярное уравнение окружности ρ = 4 sin ϕ.
2). Поскольку область интегрирования в правой полуплоскости (рис. 5), то прямая y = x является частью границы области только
при x ≥ 0 . Тогда ее полярное уравнение имеет вид ϕ = |
π . |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
Следовательно, для области интегрирования справедливо |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 ≤ ϕ ≤ 4 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 ≤ ρ ≤ 4 sin ϕ |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
4sin ϕ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Тогда m = ∫∫ρ2 dρdϕ = ∫4dϕ ∫ρ2 dρ = |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
D |
|
|
|
|
|
0 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
4 sin ϕdϕ = |
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
= ∫4 ρ3 |
1 |
∫4 |
64sin3 ϕdϕ = |
64 |
∫4 sin2 ϕsin ϕdϕ = |
|||||||||||||||||||||
0 |
3 |
|
0 |
|
|
|
3 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
64 |
π4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
π |
4 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
= − |
∫ |
(1 − cos2 |
ϕ)d (cos ϕ)= − 64 |
cos ϕ − cos |
|
ϕ |
|
|
|
= |
||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|||||||
= − |
64 |
|
2 |
−1 |
− |
|
2 |
+ |
1 |
|
= − |
64 |
|
6 2 |
−12 − 2 + 4 |
= |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
3 |
|
2 |
|
|
12 |
|
3 |
|
|
3 |
|
|
|
12 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
= 16(8 −5
2 ). 9
10