∂∂Fx = 2x + 2 y , ∂∂Fy = −2 y + 2x − z , ∂∂Fz = 8z − y .
Значения частных производных в точке M0 (1, −1, −1) равны
∂∂Fx = 0 , ∂∂Fx = 5 , ∂∂Fz = −7 .
Уравнение касательной плоскости
0 (x −1)+ 5(y +1)− 7(z +1)= 0 , 5y −7z −2 = 0 .
Уравнения нормали
x 0−1 = y 5+1 = z−+71 .
Задача 10
Исследовать на экстремум функцию z = ex+2 y (x2 − y2 + 2xy).
Справочный материал
Экстремум функции z = f (x, y) следует искать только в стационарных точках, которые определяются из системы
∂z = 0
∂x .
∂∂yz = 0
Если M0 (x0, y0 ) – стационарная точка и функция z = f (x, y)
дважды дифференцируема, то в этой точке вычисляются вторые производные:
A = ∂2z (x , y |
), C = |
∂2 z |
(x |
|
, y |
|
), B = |
∂2 z |
(x |
|
, y |
|
). |
|
|
|
|
∂y2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
∂x2 0 0 |
|
|
0 |
|
0 |
|
∂x∂y |
0 |
|
0 |
|
|
|
|
|
||
Функция имеет экстремум, если определитель |
|
= |
|
A |
B |
|
> 0 и |
||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B |
C |
|
|
не имеет экстремума, если |
< 0 . |
При |
> 0 экстремум является |
||||||||||||||
максимумом, если A < 0 и минимумом, если A > 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
17
ЗАМЕЧАНИЕ
Экстремум функции двух переменных может быть и в точках, где функция не является дифференцируемой.
ЗАМЕЧАНИЕ
Если = 0 экстремум может быть, а может и не быть. Этот случай требует дополнительных исследований.
Решение задачи 10
1.Вычислим частные производные первого порядка
∂∂xz = ex+2 y (x2 − y2 + 2xy)+ ex+2 y (2x + 2 y)= = ex+2 y (x2 − y2 + 2xy + 2x + 2 y);
∂∂yz = 2ex+2 y (x2 − y2 + 2xy)+ ex+2 y (2x − 2 y)= = ex+2 y (2x2 − 2 y2 + 4xy + 2x − 2 y).
2. Найдем стационарные точки из системы:
|
x |
+2 y |
(x |
2 |
− y |
2 |
+ 2xy + 2x + 2 y)= 0 |
|
|||||
e |
|
|
|
|
|
, |
|||||||
|
+2 y (2x2 − |
2 y2 + 4xy + 2x − |
2 y)= |
||||||||||
ex |
0 |
||||||||||||
|
|
x |
2 |
− y |
2 |
+ 2xy + 2x + 2 y = 0 |
|
|
|||||
|
|
|
|
. |
|
||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
− 2 y |
+ 4xy + 2x − 2 y |
= 0 |
|
|
||||||
|
2x |
|
|
|
|
||||||||
Первое уравнение системы, умноженное на (− 2), прибавим ко второму. Получим уравнение
− 2x −6 y = 0 ,
из которого выразим x = −3y и подставим в первое уравнение системы. Получим уравнение
9 y2 − y2 −6 y2 −6 y + 2 y = 0 ,
из которого определим y .
2 y2 − 4 y = 0 , 2 y(y − 2)= 0 , y1 = 0 , y2 = 2 .
18
Поскольку x = −3y , то стационарными точками являются точки
M1(0, 0) и M 2 (−6, 2).
3.Вычислим производные второго порядка
∂2 z = ex+2 y (x2 − y2 + 2xy + 2x + 2 y)+ ex+2 y (2x + 2 y + 2);
∂x2
∂2 z = 2ex+2 y (2x2 − 2 y2 + 4xy + 2x − 2 y)+ ex+2 y (4x − 4 y − 2);
∂y2
∂2 z |
= 2ex+2 y (x2 − y2 + 2xy + 2x + 2 y)+ |
|
∂x∂y |
||
|
+ex+2 y (2x − 2 y + 2).
4.Определим значения производных второго порядка в стационарной точке M1(0, 0).
A = |
∂2 z (0, 0)= 2 , C = |
|
∂2 z |
(0, 0)= −2 , B = |
∂2 z |
(0, 0)= 2 . |
|||
|
|
∂x∂y |
|||||||
|
∂x2 |
|
|
|
∂y2 |
|
|
||
Определитель |
= |
2 |
|
2 = −8 < 0 . |
Следовательно, в точке |
||||
|
|
|
2 |
− 2 |
|
|
|
||
M1(0, 0) нет экстремума.
5.Определим значения производных второго порядка в стационарной точке M 2 (− 6, 2).
A = |
∂2 z (−6, 2)= −6e−2 |
, C = |
∂2 z |
(− 6, 2)= −34e−2 |
, |
|
|||||
|
∂x2 |
|
∂y2 |
|
|
B = ∂∂x2∂zy (− 6, 2)= −14e−2 .
19
Определитель |
= |
− 6e −2 |
−14e−2 |
= e−4 (204 −196)> 0 . |
|
|
−14e−2 |
− 34e−2 |
|
Следовательно, в точке |
M |
2 (−6, 2) |
есть экстремум, а поскольку |
|
A < 0 и C < 0 , то экстремум – максимум. |
||||||
Задача 11 |
||||||
Найти значения функции |
|
|
z(x, y), заданной зависимостью |
|||
x2 −3y2 + z2 + xz − yz −120 = 0 , в стационарных точках. |
||||||
Справочный материал |
||||||
Стационарные точки функции |
z = z(x, y) определяются из |
|||||
системы |
|
|
|
|
||
|
∂z |
= 0 |
||||
|
|
|||||
∂x |
||||||
|
|
|
. |
|||
∂z |
|
|
||||
|
|
|
|
= 0 |
||
|
|
|
||||
|
∂y |
|
|
|
||
|
|
|
|
|||
Если |
функция |
z = z(x, |
y) |
задана |
неявной |
зависимостью |
|||||||||||||||||
F(x, y, z)= 0 и |
∂F |
≠ 0 , |
частные производные функции z = z(x, y) |
||||||||||||||||||||
∂z |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
вычисляются по формулам |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂F |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
∂z |
|
|
|
∂F |
|
∂z |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
= − |
|
∂x |
; |
|
= − |
|
|
∂y |
. |
|
||||||||
|
|
|
|
|
∂x |
|
|
|
∂y |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
∂F |
|
|
|
|
|
∂F |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂z |
|
|
|
|
|
|
|
|
∂z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение задачи |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
1. Неявная |
функция |
|
z = z(x, |
y) |
|
|
задана |
уравнением |
|||||||||||||||
F(x, y, z)= 0 , |
где |
F(x, y, z)= x2 −3y2 + z2 + xz − yz −120 . |
|||||||||||||||||||||
Поскольку |
∂F |
= 2x + z , |
∂F |
= −6 y − z , |
∂F |
|
= 2z + x − y , то частные |
||||||||||||||||
|
∂x |
|
|
|
∂y |
|
|
|
|
|
|
∂z |
|
|
|
|
|
|
|||||
производные определяются по формулам
20