Подставляя

y = x

в

третье уравнение, получим точки:

M2

1

;

1

M3

1

;−

1

2

и

−

2

2

. Не выясняя, будет ли в этих

2

При λ =

1

y = −x . Подставляя это в третье уравнение, получим

2

точки

M4

1

;−

1

и M5

1

;

1

2

2

−

2

2

. Значения функции в этих

в точках

1

;

1

M3

1

;−

1

а

наименьшее

M2

2

2

и

−

2

,

2

zнаим

= −

1

в

стационарных

точках

M4

1

;−

1

и

2

2

2

1

;

1

M5−

2

.

2

x

y

Рис. 3.

Исследуем функцию V (x, y) на экстремум. Стационарная точка

∂V

=12ay −2xy − y2 = 0

∂x

определяется из системы:

.

∂V =12ax −2xy − x2

= 0

∂y

Поскольку x ≠ 0 и y ≠ 0 , то

12a −2x − y = 0

, или

x = y

= 4a .

− x = 0

12a −2 y

Вычислим

вторые

производные

в стационарной

точке

M (4a, 4a).

∂2V

= −2 y ,

∂2V

= −2x ,

∂2V

=12a −2x −2 y .

∂x2

∂y2

∂x∂y

A = ∂2V (M )= −8a , С = ∂2V

(M )= −8a , B =

∂2V

(M )= −4a .

∂x∂y

∂x2

∂y2

Определитель

= AC − B2 = 64a2 −16a2 = 48a2 > 0 .

Следовательно,

в точке

M есть экстремум, а так как

A < 0 и

Приведем уравнение прямой 4x +9 y =16

к нормальному виду

(см.

приложение). Для этого разделим обе

его части на число

n =

42 +92 = 97 . Получим

4

x +

9

y −

16

= 0 .

97

97

9

r =

4

x +

9

y −

16 .

97

97

97

число. Тогда r = −

4

x −

9

y +

16

97

97

97

Исследуем

на

условный

экстремум

функцию

z(x, y)= −

4

x −

9

y + 16

при условии x2

+ 9 y2

= 9 .

97

97

97

Функция Лагранжа имеет вид:

+λ(x2

−9).

L(x, y, λ)= −

4

x −

9

y +

16

+9 y2

97

97

97

∂L

= −

4

+2λx = 0

∂x

97

∂L

= −

9

+18λy = 0 .

∂y

97

x2 +9 y2 = 9

Из первых двух уравнений системы: x =

2

,

y =

1

.

97λ

2 97λ

Лагранжа

λ = ±

5

и

определим

x = ±

12

и

y = ±

3 .

6

97

5

5

12

3

5

12

3

Стационарные точки: M1

;

при

λ =

и

M 2

−

;−

5

5

6 97

5

5

при λ = −

6

5 .

97

Используем

достаточные

условия

условного

экстремума.

Поскольку

ϕ′x = 2x ,

ϕ′y =18y ,

∂2L

= 2λ ,

∂2L

=18λ,

а

∂2L

= 0 ,

∂x2

∂y2

∂x∂y

то определитель

0

2x

18y

= −648λy2 −72λx2 = −72λ(9 y2 + x2 ).

=

2x

2λ

0

18y 0 18λ

Следовательно,

функция

имеет

условный

минимум

при

λ =

5

> 0

и

условный

максимум

при

λ = −

5

< 0 .

6

97

6

97

Следовательно,

12

;

3

от

данной

точка M1

наименее удалена

5

5

прямой, а точка M2

−

12

;−

3

5

5

наиболее удалена.

Вариант 1

1. Вычислить

∂z

и

∂z

, если

z = (sin xy)

tg

x

+arcsin 1 − xy .

y

∂x

∂y

3.

Написать

формулы для производных

∂u

и

∂u

для

функции

∂t

∂s

u = e

x+y

+arctg x3 y2 z , если x = x (t, s),

y = y (t),

z = z (t) .

z

4.

Найти

все производные второго

порядка

для

функции

6. Вычислить

y′

для функции

y(x), заданной неявно

заданной неявно ln (x + y + z) = x + y + z .

8.

Вычислить

∂u

,

∂u

,

∂v

и

∂v

для функций

u ( x, y ) и

v ( x, y ),

∂x

∂y

∂x

∂y

u +v = x

.

заданных параметрически

u − y v = 0

9.

Написать уравнение касательной плоскости и нормали к

поверхности, заданной уравнением

x2 + 2 y2 −3z2 + xy + yz − 2xz +16 = 0 в точке M 0(1, 2, 3).

10.

Исследовать на экстремум функцию z = e x2 − y (5 − 2x + y).

11.

Найти

значения

функции

z(x, y), заданной зависимостью

2x2 + 2y2 + z 2 + 8xz − z + 8 = 0, в стационарных точках.

12.

Найти

наибольшее

и

наименьшее

значения

функции

z = x3 + y3 − 9xy + 27 в области 0 ≤ x ≤ 4 , 0 ≤ y ≤ 4.

∂z

∂z

x cos xy

1

x

1. Вычислить

и

, если:

z = tg

+

arctg

−1 .

∂x

∂y

y

2

y

3. Написать формулы для производных

∂u

и

∂u

функции

∂t

∂s

u = sin (x − y + z) + 2

z −x

, где x = x (t),

y = y (t), z = z (t, s) .

y

4.

Найти

все частные

производные второго

порядка для

функции

u = ln (x + y2 + z) + z4x5y3.

5.

Найти d 2u для функции u = (x − y) e x2 + y .

6.

Найти

y′и y′′

для

функции y(x), заданной

неявно

8. Вычислить

∂u

,

∂u

,

∂v

и

∂v

для функций u ( x, y )

и v ( x, y ),

∂x

∂y

∂x

∂y

x u − y v = 0

.

заданных параметрически

y u + x v = 1

9.

Написать уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности

z =sinxcosy

в точке M 0(

π

,

π

,

1

).

4

4

2

10.

Исследовать

на

экстремум

функцию

z = x y2(1− x − y) при

x > 0 ,

y > 0 .

z(x,

y),

11.

Найти

значения

функции

заданной

неявно

x2 + y2 + z2 − 2x + 2 y − 4z −10 = 0 , в стационарных точках.

12.

Найти наибольшее и наименьшее значения функции z = x − 2 y −3

1. Вычислить

∂z

и

∂z

для

функции:

∂x

∂y

z = (sin

xy )ln ( x2 +y2 ) +arcsin

x − y .

значения функции z = x y

, при

x = 2 ±0,1, y = 3 ±0,3 .

cos(x + y

)+ 1

y

3. Вычислить

∂u

и

∂u

,

если

u =

1

x

,

∂t

∂s

4

z

3

5.

Вычислить

d 2u для функции u = (x + 2 y) ex−y .

6.

Вычислить

y′ и y′′, если y(x) задана неявно: y = tgx2 y3 .

1− x

10.

Исследовать функцию z = 3x2 − x3 +3y2 +4 y на экстремум.

11.

Найти

значения функции

z = z(x, y),

заданной

неявно

x2 + y2 + z2 −2x + 2 y −4z −10 = 0 , в стационарных точках.

12.

Найти

наибольшее и

наименьшее

значения

функции

z = x2 + y2 −12x +16 y при x2 + y2 ≤ 25 .

z = (cos xy)ln ( x2 + y) + 1

arccos 1 − xy .

4

значения функции z =

x2 + y2

при x = 3 ±0,1; y = 4 ±0,05 .

3. Вычислить

∂u

,

∂u

,

если

u = 2 tg(

z

)+ x3 y4 z2

,

∂t

∂s

x−y

z = y tg

x

в точке M

0

(ѓОa

, a, a).

a

4

13. На сфере x2 + y2 + z2 =1 найти точку, сумма

квадратов

расстояний до которой от n данных точек, i = 1,..., n ,

была бы

минимальной.

∂z

y

ln ( x2

−y3 )

x y

1. Вычислить

и

∂z

, если

z = (ctg

)

+ arctg 1

+

.

∂x

∂y

x

x+y

значения z = sin x cos y при

x = 30o ±2o,

y = 60o ±1o .

3. Написать формулы для производных

∂u

и

∂u

функции

∂t

∂s

u = 3

x − y

−arcsin(x + y − z) ,

x = x(s),

y = y(t),

z = z(t, s) .

2z

u = z sin(xy) +

xy

.

1−z

5.

Вычислить d 2u

для функции u = xex − y .

6.

Вычислить y′и y′′для функции y(x), если y = arctg

y

.

x

Функция z(x, y)

7.

задана неявно:

sin(x − y + z) = x2

+ y + 3z .

Вычислить частные производные

∂z

и

∂z

.

∂x

∂y

8.

Функции u(x, y)

и v(x, y) заданы параметрически:

u −v = 2x

.

ux +vu = 0

Вычислить частные производные

∂u

,

∂u

,

∂v

и

∂v

.

∂x

∂y

∂x

∂y

z = arctg

x

в точке M

0

(1,1,

π

).

y

4

10. Исследовать

функцию

z = x2 + y2 − 2ln x −18ln y

на

экстремум при x > 0,

y > 0 .

z(x, y),

11.

Найти

значения

функции

заданной

неявно

2x2 + y2 +2z2 + x − y +2z −6xy −3 = 0 , в стационарных точках.

12.

Найти

наибольшее

и наименьшее

значения

функции

z = x2 + y2 + xy в области

x

+

y

≤ 1.

1. Вычислить частные производные

∂z

и

∂z

для

функции

∂x

∂y

3. Написать

формулы для производных

∂u

и

∂u

для функции

∂t

∂s

u = e

z

+ ln(z − x) , если x = x(t, s),

y = y(s),

z = z(t) .

x+y

5.

Вычислить d 2u для функции u = ex − y

x .

sin(x − y)

6.

Вычислить y′ и y′′ для функции y(x), если y

=

.

Функция z(x, y) задана неявно:

x − y

7.

sin(x + z) = 3z + x − y .

Вычислить частные производные

∂z

и

∂z

.

∂x

∂y

2xu + v = y

8.

u

.

Функции u(x, y) и v(x, y)заданы параметрически:

x

− y

= 2

e

Вычислить частные производные

∂u

,

∂u

,

∂v

и

∂v

.

∂y

∂x

∂x

∂y

12. Найти наибольшее

и наименьшее значения функции

z = 4x2 + y2 −2 y при

x

≤1 , 0 ≤ y − x ≤1 , 0 ≤ x + y ≤1.

1. Вычислить частные производные

∂z

и

∂z

для функции

∂x

∂y

z = ( ln(x + y))

tg

x

+ arctg (x + y − x ) .

y

значения функции z = 3 2x2 + y , если x = 2 ±0,02 ,

y =1±0,03

3. Написать

формулы для производных

∂u

и

∂u

для функции

∂t

∂s

u = arctg

z

+sin(x + y) , при x = x(t, s),

y = y(s),

z = z(t, s) .

2x

u = (cos yx) z

−

z2

.

x − y

5.

Вычислить d 2u для функции u = cos(x − y)x .

6.

Вычислить

y′

и

y′′

для

функции

y(x)

заданной неявно

y = exy + x2 .

7.

Функция

z(x, y)

задана

неявно:

ln(x − 2 y + z) = x − z .

Вычислить частные производные

∂z

и

∂z

.

∂x

∂y

8.

Функции

u(x, y)

и

v(x, y)

заданы

параметрически:

sin(ux) =

y

∂u

∂u

∂v

∂v

. Вычислить

,

,

и

.

cos(vy) = 2x

∂x

∂y

∂x

∂y

2

x

+ 2

y

= 8 в точке M 0 (2,2,1) .

z

z

значения z =

x

при

x = 2 ±0,01, y = 3 ±0,05 .

y +1

3. Написать

формулы

для

производных

∂u

и

∂u

для функции

∂t

∂s

u = 5

z

+ arccos (x +2y

),

при x = x(t)

y = y(s),

z = z(s, t) .

x−y

z

u = (sin yz) x2

−

y −x

.

1−z

5.

Вычислить d 2u для функции u =

y2

.

3x

6.

Вычислить y′ и y′′

для функции y(x), если y = tg(

x

)+ x2 .

y −1

7.

Вычислить

∂z

и

∂z

. функции z(x,