2dx2 +

2dy2 + 2du 2 − 2dw2 + 2u d 2u − 2w d 2 w = 0

, или

2 w + dw du + dx dy

w d 2u + du

dw +u d

+ dy dx =

0

2

2

2

2

2

2

u d

u − w d

w = −dx

− dy

− du

+ dw

.

w d 2u +u d 2 w = −2du dw − 2dx dy

Решая эту

систему

относительно d 2u , получим

выражение для второго

дифференциала

u(dx2 +dy2

+du2 −dw2 )+2w(du dw +dx dy)

d

2

u = −

.

u2 + w2

x

Рассмотрим точку M1 (x + x; y +

y; z +

z)

такую,

что

вектор MM1

=

y

z

сонаправлен с вектором l и обозначим

l =

x2 +

y2 +

z2 модуль вектора

MM .

1

При переходе точки M в точку M1 в направлении вектора l

функция u = u(x; y; z)

M1 в направлении вектора l к длине

l

вектора MM1 при l → 0 , если он

существует и конечен, называется производной функции u(x; y; z) в точке M (x; y; z) по

направлению l . Для производной по направлению используют обозначение

∂u = lim

u .

∂l

l →0

l

u = ∂u x + ∂u y +

∂u z + ε

x

+ ε

2

y + ε

3

z ,

∂x

∂y

∂z

1

где частные производные ∂u

, ∂u и

∂u

вычисляются в начальной точке M (x; y; z), а

∂x

∂y

∂z

ε1 , ε2 , ε3 являются бесконечно малыми при l → 0 .

Разделим в этом соотношении каждое слагаемое на l

и воспользуемся формулами

для направляющих косинусов

x

= cosα ;

y

= cosβ;

z

= cos γ.

l

l

l

В полученном соотношении

u = ∂u cos α + ∂u cosβ + ∂u cos γ + ε cos α + ε

2

cos

β + ε

3

cos γ перейдём к пределу при

l ∂x

∂y

∂z

1

l → 0 .

Так как направляющие косинусы вектора MM1 не зависят от модуля этого вектора, а

ε1 → 0 , ε2 → 0 и ε3 → 0 при

l → 0 ,

то для производной по направлению получим

формулу:

∂u =

∂u cos α +

∂u cos

β +

∂u cos γ .

∂l

∂x

∂y

∂z

Задача 5.1.31

Найти производную скалярного

поля u = x2 + y2 + z2

в

точке

M (1; 1; 1)

по

направлению вектора l

= 2ir + rj + 2kr.

Решение

∂u =

∂u cos α +

∂u cos

β +

∂u cos γ .

∂l

∂x

∂y

∂z

Вычислим частные производные поля в точке M (1; 1; 1).

∂u = 2x

; ∂u

= 2 y ;

∂u

= 2z .

∂x

∂y

∂z

∂u (1; 1; 1)= ∂u (1; 1; 1)=

∂u (1; 1; 1)= 2 .

∂x

∂y

∂z

Найдём направляющие косинусы вектора l

lx

2

2

ly

1

lz

2

cos α =

lr

=

=3

; cosβ =

lr

=3

;

cos γ =

lr

=

3 и вычислим производную

4 +1 + 4

∂u = 2

2 + 2

1

+ 2 2

=

10 .

∂l

3

3

3

3

ЗАМЕЧАНИЕ 1

Производная

по направлению

∂u

равна

скорости

изменения

функции

u(x; y; z)

в

∂l

направлении вектора l .

Если ∂u > 0

, то она

возрастает в

направлении вектора

l , а

если ∂u < 0 , то в этом

∂l

∂l

направлении убывает.

ЗАМЕЧАНИЕ 2

∂u

∂u

∂u

Частные производные

∂x ;

∂y

;

∂z

являются производными по направлению координатных

grad u =

∂u r

+

∂u r

+

∂u r

∂x

i

∂y

j

∂z

k .

Доказательство

Так как

∂u

=

grad u

cosα, где α

– угол между градиентом и вектором l

∂l

(rрис. 5.1.9), то самое большое значение производной получим, если cos α =1, то есть при

l

↑↑ gradu .

ad

u

gr

α

l

{

Прr

grad u

l

Рис. 5.1.9.