Вычислим частные производные второго порядка

∂2 z

= 6x ,

∂2 z

= 6y ,

∂

2 z

= −9 .

∂x2

∂y2

∂x∂y

(0,0):

Для первой

стационарной точки

A = C = 0,

B = −9

.

Дискриминант

D = AC − B2 = −81 < 0 . Значит, в

этой

точке нет экстремума.

Для

точки (3,3):

A = C =18 ,

B = −9 . Дискриминант

D = 324 −81 > 0 , а так как A > 0 , то это точка

минимума.

5.2.5. Экстремум функций n переменных

M0 (x10, x20,..., xn0 ) –

Пусть функция

f (x1, x2 ,..., xn ) определена в области

D Rn , а

внутренняя

точка

этой области. Точка M 0

называется

точкой минимума

функции

f (x1, x2 ,..., xn ), если

•

Uδ(M0 ): M (x1, x2 ,..., xn ) U δ(M0 ) f (M )> f (M0 ).

Пусть функция

f (x1, x2 ,..., xn ) определена в области

D Rn , а

M0 (x10, x20,..., xn0 ) –

внутренняя

точка

этой области. Точка M 0

называется

точкой минимума

функции

f (x1, x2 ,..., xn ), если

•

(M )< f (M0 ).

Uδ(M0 ): M (x1, x2 ,..., xn ) U δ(M 0 ) f

Необходимое условие экстремума

Если функция

f (x1, x2 ,..., xn ) дифференцируема в окрестности точки M0 (x10, x20,..., xn0 )

и имеет в этой точке экстремум (максимум или минимум),

то

∂f

(M0 )= 0 ,

при всех

∂xi

i =1, 2, ..., n .

Достаточные условия экстремума

Если M0

(x10, x20,..., xn0 ) – стационарная точка дважды дифференцируемой функции

f (x1, x2 ,..., xn ) и если в некоторой окрестности этой точки второй дифференциал

n

2

d 2 f (M0 )

= ∑

∂ f

(M0 ) dxi dx j

∂x ∂x

i, j=1

i

j

сохраняет знак при любых значениях dxi

и

dx j , не равных нулю одновременно, то

функция в точке M0 имеет экстремум. При этом если d 2 f (M0 )> 0 ,

то этот экстремум

∂w

= 4x3 = 0

∂x

системы

∂w

= 2 y = 0 , из которой видно, что единственная

стационарная точка

∂y

∂w

= 2z − 2 = 0

∂z

M0 (0; 0;1). Вычислим все частные производные второго порядка:

∂2w

=12x2 ,

∂2w

= 2 ,

∂x2

∂y2