- •5.1. Дифференцирование функций нескольких переменных
- •Задача 5.1.4
- •Определение 5.1.5
- •Определение 5.1.6
- •Определение 5.1.7
- •Определение 5.1.8
- •Определение 5.1.8
- •Задача 5.1.5
- •Задача 5.1.6
- •Определение 5.1.9
- •Определение 5.1.10
- •Определение 5.1.1
- •Задача 5.1.7
- •Определение 5.1.11
- •Задача 5.1.8
- •Решение
- •Задача 5.1.1
- •Задача 5.1.2
- •Задача 5.1.3
- •Определение 5.1.2
- •Определение 5.1.3
- •Теорема 5.1.1
- •Определение 5.1.4
- •Определение 5.1.12
- •Задача 5.1.9
- •Задача 5.1.10
- •Задача 5.1.11
- •Определение 5.1.13
- •Определение 5.1.14
- •Теорема 5.1.1
- •Доказательство
- •Определение 5.1.15
- •Определение 5.1.16
- •Задача 5.1.12
- •Теорема 5.1.2
- •Теорема 5.1.3
- •Определение 5.1.17
- •Определение 5.1.18
- •Задача 5.1.13
- •Решение
- •Задача 5.1.14
- •Решение
- •Задача 5.1.15
- •Решение
- •Теорема 5.1.4
- •Доказательство
- •Теорема 5.1.5
- •Задача 5.1.16
- •Решение
- •5.1.5. Дифференцируемая функция. Условия дифференцируемости
- •Определение 5.1.19
- •Теорема 5.1.6. (Необходимое условие дифференцируемости)
- •Доказательство
- •Следствие 1
- •Следствие 2
- •Задача 5.1.17
- •Теорема 5.1.7. (Достаточное условие дифференцируемости).
- •Доказательство
- •5.1.6. Производная сложной функции. Полная производная
- •Теорема 5.1.8
- •Доказательство
- •Задача 5.1.18
- •Решение
- •Следствие 1
- •Задача 5.1.19
- •Решение
- •Задача 5.1.20
- •Решение
- •5.1.8. Определение дифференциала функции нескольких переменных и его свойства. Инвариантность формулы дифференциала
- •Определение 5.1.20
- •Задача 5.1.21
- •Решение
- •Теорема 5.1.9
- •Задача 5.1.22
- •Решение
- •5.1.9. Геометрический смысл дифференциала функции двух переменных. Уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности.
- •Теорема 5.1.9
- •Доказательство
- •Следствие 1
- •Следствие 2
- •Задача 5.1.23
- •Решение
- •5.1.10. Приближенные вычисления и оценка погрешностей
- •Задача 5.1.23
- •Решение
- •Определение 5.1.21
- •Теорема 5.1.10
- •Задача 5.1.24
- •Решение
- •Определение 5.1.22
- •Теорема 5.1.11
- •Доказательство
- •Задача 5.1.25
- •Решение
- •Задача 5.1.26
- •Решение
- •Доказательство
- •Задача 5.1.27
- •Решение
- •Задача 5.1.28
- •Решение
- •Задача 5.1.29
- •Решение
- •Определение 5.1.23
- •Теорема 5.1.13
- •Задача 5.1.30
- •Решение
- •5.1.12. Неявная функция. Дифференцируемость неявной функции. Формула для частных производных функции двух переменных, заданной неявно.
- •Определение 5.1.23
- •Теорема 5.1.12
- •5.1.13. Градиент и производная по направлению
- •Определение 5.1.24
- •Задача 5.1.31
- •Решение
- •Определение 5.1.25
- •Теорема 5.1.14
- •Доказательство
- •Свойства градиента
- •Доказательство
- •Доказательство
- •Доказательство
- •5.1.15. Геометрический смысл дифференциала функции двух переменных. Уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности
- •Теорема 5.1.14
- •Следствие 1
- •Следствие 2
- •Задача 5.1.32
- •5.2. Экстремумы функций нескольких переменных
- •5.2.1. Линейные операторы. Матрица линейного оператора
- •Определение 5.2.1
- •Задача 5.2.1
- •Решение
- •Задача 5.2.2
- •Решение
- •5.2.2. Собственные числа и собственные векторы матрицы
- •Определение 5.2.2
- •Задача 5.2.3
- •Решение
- •5.2.3. Квадратичные формы
- •Определение 5.2.3
- •Определение 5.2.4
- •Задача 5.2.4
- •Решение
- •5.2.4. Экстремум функции двух переменных
- •Определение 5.2.5
- •Определение 5.2.6
- •Теорема 5.2.1
- •Доказательство
- •Следствие
- •Определение 5.2.7
- •Теорема 5.2.2
- •Доказательство
- •Задача 5.2.5
- •Теорема 5.2.3
- •Доказательство
- •Задача 5.2.6
- •Решение
- •5.2.5. Экстремум функций n переменных
- •Необходимое условие экстремума
- •Достаточные условия экстремума
- •Задача 5.2.7
- •Решение
- •5.2.6. Условный экстремум
- •Необходимое условие экстремума
- •Достаточные условия экстремума
- •5.2.7. Условный экстремум функции двух переменных
- •5.2.8. Наименьшее и наибольшее значения функции нескольких переменных
- •Теорема 5.2.4
- •Задача 5.2.8
- •Решение
- •Задача 5.2.9
- •Решение
|
∂z |
∂z |
|
2 |
|
∂z |
|
∂z |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
= d dx + |
|
d |
|
|
d |
y = |
||||||
∂x |
|
x + d |
|
dy + |
∂y |
|
||||||
|
∂x |
|
|
|
∂y |
|
|
|
||||
∂2 z |
2 |
|
∂2 z |
|
|
∂z |
2 |
|
∂2 z |
(dy) |
2 |
|
∂2 z |
|
|
|
|
∂z |
|
|
2 |
|
|||
= ∂x2 |
(dx) |
+ |
|
dy dx + |
∂x d |
|
|
x + |
∂y2 |
|
+ |
|
dx dy + |
∂x |
d |
|
y = |
||||||||
∂y ∂x |
|
|
|
∂x ∂y |
|
||||||||||||||||||||
|
|
∂2 z |
2 |
∂z |
2 |
|
|
|
∂2 z |
|
|
∂2 z |
2 |
|
∂z |
2 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
= |
∂x2 (dx) |
+ ∂x d |
|
x + 2 |
|
|
dx dy + ∂y2 (dy) |
+ ∂x d |
|
y . |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
∂x ∂y |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
ЗАМЕЧАНИЕ 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Сравнивая формулы для дифференциала второго порядка в случае, когда что |
x и y – |
||||||||||||||||||||||||
независимые переменные, и когда они в свою очередь являются функциями двух переменных, можно сделать вывод, что второй дифференциал не обладает свойством инвариантности.
ЗАМЕЧАНИЕ 3
При вычислении дифференциалов высших порядков иногда удобно не пользоваться полученными формулами, а вычислять дифференциалы, проводя непосредственное
дифференцирование, учитывая, что d n w = d (d n−1w)и d n xi = 0 при условии n ≥ 2 , если xi - независимая переменная.
Задача 5.1.25
Вычислите d 3 z , если z = cos(x −5 y).
Решение
По формуле для дифференциала суперпозиции двух функций первый дифференциал можно записать в виде
dz = −sin(x −5 y) (dx −5 dy).
Поскольку выражение dx −5dy не зависит от переменных x и y , то второй дифференциал имеет вид
d 2 z = −cos(x −5y) (dx −5dy)2 .
Аналогично вычисляется третий дифференциал
d 3 z = sin(x −5y) (dx −5dy)3 .
Задача 5.1.26
Вычислите d 2w, если w = 3xyz .
Решение
Ранее в задаче 5.1.22 был вычислен
dw = 3xyz ln 3 (yz dx + xz dy + xy dz).
Тогда
d 2w = ln 3(d (3xyz )(yzdx + xzdy + xydz)+3xyz d(yzdx + xzdy + xydz))
d 2w =3xyz ln2 3(yzdx + xzdy + xydz)2 + +3xyz ln 3((dyz + ydz)dx +(dx z + x dz)dy +(dx y + x dy) dz).
Упрощая полученное выражение, запишем
d 2 w = 3xyz ln 2 3 (y 2 z 2 (dx)2 + x2 z 2 (dy)2 + x2 y 2(dz)2 )+
+3xyz 2 ln 3 (1 + xyz ln 3) (z dx dy + x dy dz + y dx dz).
24