r(1)

x′

1

справедливо уравнение

Для координат собственного вектора x

= x2′

x3′

′

′

′

= 0 .

Если

′

′

– свободные

неизвестные, то собственный вектор

x1

− 2x2

+ x3

x2

, x3

r(1)

2x′

− x′

2

−1

2

−1

2

2

3

1

2

1

0

x

=

1

+ C

0

,

где

и

– фундаментальная система

x′

= C

x3′

0

1

0

1

8

−12

6

2. λ2 = −1. Матрица

однородной

системы

−18

10

A −λE = 10

. Решение

− 24

14

12

однородной системы:

x1

x2

x3

x1

x2

x3

8

−12 6

0

4

−6 3

0

10

−18 10

0

~

5

−9 5

0

(−

2)~

−24 14

6 −12 7

12

0

0

x1

x2

x3

x1

x2 x3

−6 12 −7

0 : (−6)

0

(−5)

1 −2

7

5 −9 5

0

6

~

~

5

−9

5

0

−12

6

7

0

x1

x2

x3

x1 x2 x3

1 −2

7

0

1 0

−

1

0

~

6

~

2

0 1 −

5

(2)

0 1

−

5

0

4

0

6

1

x1

3

x1 =

x3

r(2)

2

Отсюда

5

. Второй собственный вектор x

= x

= C

−5 , где C ≠ 0 .

x = −

x

2

6

6

x

2

3

3

5.2.3. Квадратичные формы

Определение 5.2.3

x

1

Пусть xr =

x2

– вектор

n –мерного линейного пространства

Rn , а

x , x ,..., x

–

1 2

n

...

xn

пространстве

Rn называется линейная функция

f (x)= f

(x x ,...x )

n

переменных

1, 2

n

r

n n

aij = a ji .

x1, x2,..., xn , которая определяется по правилу: f (x)= ∑∑aij xi x j , где:

A = {aij }n×n называется матрицей

i=1 j=1

Матрица

квадратичной

формы

в базисе

квадратичной формы называется ранг матрицы квадратичной формы A.

Например,

матрица квадратичной формы

f (xr)= a

x2

+ 2a

x x

+ a

22

x2

в

11

1

12

1

2

2

2

a

a

det(A)≠ 0 , то квадратичная форма

пространстве R

имеет вид:

11

12

. Если

A = a

a

12

22

невырожденная и ее ранг равен 2.

Вид матрицы квадратичной формы определяется базисом e1, er2,..., ern ,

в котором

r

′

= H

−1

A H ,

задан вектор x и меняется при переходе к другому базису по формуле: A

v′ v′

v′

где H матрица перехода от базиса e1, e2,..., en к новому базису e1, e2

,...,en .

собственным числам ортогональны.

A различные, то соответствующие собственные

Если собственные числа матрицы

r′

r′

r′

образуют ортогональный базис, который можно нормировать. В

векторы e1,

e2

,..., en

этом

ортонормированном базисе

матрица квадратичной формы будет иметь вид:

λ

0

...

0

1

λ2

...

0

0

,...,

λn – собственные числа.

A =

...

...

, где λ1, λ2

... ...

0

0

...

λn

Решение

1

1

3

Матрица квадратичной формы: A = 1

5

1

. Уравнение для собственных чисел:

3

1

1

A −λE

= 0 .

A − λE

1 − λ

1

3

=

1

5 − λ

1

. Вычитая из третьего столбца первый, а затем,

3

1

1 − λ

прибавляя к первой строке третью, получим:

1 −λ

1

λ + 2

= (λ + 2)

1 −λ

1

1

= (λ + 2)

4 −λ

2

0

1

5 −λ

0

1

5 −λ

0

1

5 −λ

0

Вычисляя

3

1

− 2 −λ

3

1

−1

3

1

−1

последний определитель, для собственных чисел получим уравнение

− (λ + 2)((4 − λ)(5 − λ)− 2)= 0 или (λ + 2)(λ2 −9λ +18)= 0 .

Собственные

числа:

λ1 = −2 ,

λ2 = 6 ,

λ3 = 3.

Теперь вычислим собственные

векторы.

1.

λ1 = −2 .

Матрица

однородной

системы для

первого

собственного вектора:

3

1

3

A − λE = 1

7 1 . Линейно независимы первая и третья строка, поэтому координаты

3

1

3

3e′

+ e′

+3e′

= 0

.

Выпишем

ее

расширенную

матрицу и

проведем

в ней

11

21

31

′

′

′

= 0

e11

+ 7e21 + e31

элементарные преобразования:

′

′

′

e′

e′

e′

e′

e′

e′

e11

e21 e31

11

21

31

(−

3)

11

21

31

3 1 3

0

1 7 1

0

~

~

1

7

1

0

~

0

0

− 20 0

0

1 7 1

3 1 3

0

: (− 20)

′

′

′

′

′

′

e11

e21 e31

e11

e21 e31

1 7 1

0

1 0 1

0

~

0 1 0

7)

0

0 : (−

0 1 0

e′

= −e′

r

−1

Тогда:

и первый собственный вектор

0

11

31

e′

=

.

′

= 0

1

e21

1

2. Аналогично определяются собственные векторы для собственных чисел

λ2 = 6 ,

r

1

r

1

λ

=

3

3 . e′

= 2

, e′

= −1 .

2

1

3

1