Вопрос 19. (Свойства геометрических векторов).

Геометрические скалярного произведения векторов:

1. Два вектора ортогональны тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно 0 а*в=0, а*в=|а||в| cos фи

2. Два не нулевых вектора составляют острый(тупой) угол тогда и только тогда, когда их скалярное произведение >(<) 0 cos=a*b\|a|*|b|

3. Квадрат длины вектора равен его скалярному произведению на самого себя. А^-2=а*а=|а|*|а|*cos фи=|а|*|а| cos а⁰= (а)*|a|=|a|²

Алгебраические свойства скалярного произведения:

1. а=в*а – коммутативность

2. (L*a)*b=L*(a*b) – ассоциативность относительно числового множества.

3. (а*в)*с=а*с + в*с – дистрибутивность

4. а*а, а не равно 0, а*а=0, а=0.

При алгебраических обобщениях, эти 4 свойства лежат в основе определения скалярного произведения

.Если линейное пространство удовлетворяет им, то оно называется унитарным вещественном пространством, а формулы 2 и3 геометрических свойств служат для обобщения понятий угла и длины на пространствах.

Вопрос 20. (Аналитическое определение модуля и направляющих косинусов вектора через проекции).

Вопрос 21. (Линейные операции над векторами. Алгебраические и геометрические свойства).

Линейными операциями называют операции сложения и вычитания векторов и умножения вектора на число.

Сложение векторов. Пусть   и   – два произвольных вектора. Возьмем произвольную точку О и построим вектор  ; затем от точки А отложим вектор  . Вектор  , соединяющий начало первого слагаемого вектора с концом второго, называется суммой этих векторов и обозначается  . Ту же сумму можно получить иным способом. Отложим от точки О векторы   и  . Построим на этих векторах как на сторонах параллелограмм ОАСВ. Вектор   – диагональ параллелограмма – является суммой векторов   и 

Вычитание векторов. Разностью   векторов   и   называется такой вектор  , который в сумме с вектором   дает вектор  :   Û  .

Если векторы   и   привести к общему началу, то разность представляет собой отрезок, соединяющий их концы и направленный от «вычитаемого» к «уменьшаемому»

Таким образом, если на векторах   и  , отложенных из общей точки О, построить параллелограмм ОАСВ, то вектор  , совпадающий с одной диагональю, равен сумме  , а вектор  , совпадающий с другой диагональю, – разности 

Умножение вектора на число. Произведением вектора   на действительное число   называется вектор   (обозначают  ), определяемый следующими условиями:

1)      ,

2)       при   и   при  .

Очевидно, что при    .

Из определения следует: два вектора   и   коллинеарны тогда и только тогда, когда имеет место равенство 

Свойства линейных операций:

1)      ;

2)      ;

3)      ;  ;

4)      ;

5)      ;

6)      ;

7)      ;  ;

Пусть дан вектор  . Ортом вектора   (обозначается  ) называется вектор единичной длины, сонаправленный с вектором  .

Очевидно,  для любого вектора  .

Вопрос 22. (скалярное произведение векторов. Свойства).

Геометрические скалярного произведения векторов:

4. Два вектора ортогональны тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно 0 а*в=0, а*в=|а||в| cos фи

5. Два не нулевых вектора составляют острый(тупой) угол тогда и только тогда, когда их скалярное произведение >(<) 0 cos=a*b\|a|*|b|

6. Квадрат длины вектора равен его скалярному произведению на самого себя. А^-2=а*а=|а|*|а|*cos фи=|а|*|а| cos а⁰= (а)*|a|=|a|²

Алгебраические свойства скалярного произведения:

5. а=в*а – коммутативность

6. (L*a)*b=L*(a*b) – ассоциативность относительно числового множества.

7. (а*в)*с=а*с + в*с – дистрибутивность

8. а*а, а не равно 0, а*а=0, а=0.

При алгебраических обобщениях, эти 4 свойства лежат в основе определения скалярного произведения

.Если линейное пространство удовлетворяет им, то оно называется унитарным вещественном пространством, а формулы 2 и3 геометрических свойств служат для обобщения понятий угла и длины на пространствах.