Вопрос 29. (Нормальное уравнение прямой).

Если обе части уравнения Ах + Ву + С = 0 разделить на число  , которое называется нормирующем множителем , то получим

 xcosφ + ysinφ - p = 0 –

нормальное уравнение прямой. Знак ± нормирующего множителя надо выбирать так, чтобы μ * С < 0. р – длина перпендикуляра, опущенного из начала координат на прямую, а φ - угол, образованный этим перпендикуляром с положительным направлением оси Ох.

Вопрос 30. (Расстояние от точки до прямой).

Теорема. Если задана точка М(х₀ , у₀ ), то расстояние до прямой Ах + Ву + С =0 определяется как

.

Доказательство. Пусть точка М ₁(х ₁, у ₁) – основание перпендикуляра, опущенного из точки М на заданную прямую. Тогда расстояние между точками М и М₁ :

 (1)

Координаты x₁ и у₁ могут быть найдены как решение системы уравнений:

Второе уравнение системы – это уравнение прямой, проходящей через заданную точку М ₀ перпендикулярно заданной прямой. Если преобразовать первое уравнение системы к виду:

A(x – x ₀ ) + B(y – y₀ ) + Ax₀ + By₀ + C = 0,

то, решая, получим:

Подставляя эти выражения в уравнение (1), находим:

Теорема доказана.

Вопрос 31. (Угол между двумя прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых).

Определение. Если заданы две прямые y = k₁ x + b₁ , y = k ₂x + b₂ , то острый угол между этими прямыми будет определяться как

 

.

Две прямые параллельны, если k₁ = k₂ . Две прямые перпендикулярны, если k₁ = -1/ k₂ .

Теорема. Прямые Ах + Ву + С = 0 и А ₁ х + В₁ у + С₁ = 0 параллельны, когда пропорциональны коэффициенты А₁ = λА, В₁ = λВ. Если еще и С₁ = λС, то прямые совпадают. Координаты точки пересечения двух прямых находятся как решение системы уравнений этих прямых.

Вопрос 32. (Плоскость. Общее уравнение плоскости).

Определение. Плоскостью называется поверхность, все точки которой удовлетворяют общему уравнению:

 Ax + By + Cz + D = 0

где А, В, С – координаты вектора -вектор нормали к плоскости.

Теорема: Всякое уравнение вида  , где A, B, C и D – некоторые действительные числа, причем А, В и C одновременно не равны нулю, определяет плоскость в заданной прямоугольной системе координат Oxyz в трехмерном пространстве, и всякая плоскость в прямоугольной системе координат Oxyz в трехмерном пространстве определяется уравнением вида   при некотором наборе чисел A, B, C и D.

Вопрос 33. (Нормальное уравнение плоскости).

Так называют уравнение в котором плоскость задаётся единичным вектором нормали и расстоянием Р от начала координат до n=(cos d, cos b, cos j)

Уравнение:

Вопрос 34. (Векторное уравнение плоскости. Уравнение плоскости в отрезках).

Любая прямая, перпендикулярная плоскости, называется нормалью к плоскости, а любой ненулевой вектор на такой прямой мы будем называть нормальным вектором плоскости.

Уравнение:

Вопрос 35. (Уравнение плоскости, проходящей через три точки).

Даны три точки не лежащие на одной прямой. Требуется написать уравнение плоскости, проходящей через эти три точки. Из геометрии известно, что такая плоскость существует и единственная. Так как она проходит через точку  , то ее уравнение имеет вид:

Вопрос 36. (Угол между 2 плоскостями. Условия параллельности и перпендикулярности плоскостей).

Углом между двумя плоскостями называют угол между их нормальными векторами. Пусть относительно прямоугольной декартовой системы координат (ПДСК) заданы две плоскости своими уравнениями. α: A1x+B1y+C1z+D1=0, β: A2x+B2y+C2z+D2=0. Нормальные векторы этих плоскостей относительно ПДСК имеют следующие координаты: n1={A1, B1, C1}, n2={A2, B2, C2}. cos(α,^β)=n1•n2/|n1|•|n2|=(A1A2+B1B2+C1C2)/( √(A12+B12+C12)•√(A22+B22+C22) ). Из данной формулы следует справедливость двух утверждений: 1) Плоскости α и β, заданные своими общими уравнениями относительно ПДСК перпендикулярны тогда и только тогда, когда A1A2+B1B2+C1C2=0. 2) α || β <=> A1/A2=B1/B2=C1/C2