Landsberg-1985-T1

где т - масса этой планеты. С другой стороны, Ньютону было известно ускорение, которое Земля сообщает Луне; оно было определено из наблюдений движения Луны, обращающейся вокруг Земли. Это ускорение примерно в 3600 раз меньше ускорения g, сообщаемого Землей телам,

находящимся вблизи земной поверхности. Расстояние же от Земли до Луны равно приблизительно 60 земным радиусам.

Иными словами, Луна отстоит от центра Земли в 60 раз дальше, чем тела, находящиеся на поверхности Земли, а

ускорение ее в 3600= 602 раз меньше. - Если принять, что Луна движется под действием притя­

жения Земли, то отсюда следует, что сила земного притя­

жения, так же как и сила притяжения Солнца, убывает обратно пропорционально квадрату расстояния от центра

Земли. Наконец, сила притяжения Земли прямо пропорцио­ нальна массе притягиваемого тела. Этот факт Ньютон уста­

новил на опытах с маятниками. Он обнаружил, что период

качаний маятника не з.ависит от его массы: Значит, маят­ никам разной массы Земля сообщает одинаковое ускорение, и, следовательно, СИЛа притяжения Земли пропорциональна

массе тела, на которое она действует. То же, конечно, следует из одинаковости ускорения свободного падения g

для тел разных масс, но опыты с маятниками позволяют

Эти сходные черты сил притяжения Солнца. и Земли и

привели Ньютона к заключению о том, что природа этих

сил едина и что существуют силы всемирного тяготения,

действующие между всеми телами и убывающие обратно пропорционально квадрату расстояния между телами. При этом сила тяготения, действующая на данное тело массы т, должна быть пропорциональна массе т.

Исходя из этих фактов и соображений, Ньютон сфор­

мулировал закон всемирного тяготения таким образом: любые два тела nритягU8аются друг к другу с сиЛОЙ,кото­ рая ндnравленд по линии, их соединяющей, прямо nроnор­

циональна ;иассам обоих тел и обратно nроnорциональна квадрату расстояния между ними, т. е. сила взаимного

тяготения

(124.1)

roЦe М и т..,..,.. массы тел, r - расстояние между ними, а о­

коэффициент пропорциональцости. нззываемыIй гравита­

ционной постоянной (способ ее й'эмерения б'удет описан

ниже). СРЗIЩ}:Iвая эту формулу с ФОРМУЛQЙ (1ЯЭ.4), видим,

ю

Силы притяжения малых шаров к большим создают пару

сил, вращающую коромысло по часовой стрелке (если смот­

реть сверху). Измерив угол, на который поворачивается коромысло при приближении к шарам т шаров М, и зная

упругие свойства нити, на которой подвешено коромысло,

можно определить момент пары сил, с которыми притяги­

ваются массы т к массам 111. Так как массы шаров т и М и

расстояние между их центрами (при данном положении

коромысла) известны, то из формулы (124.1) может быть найдено значение о. Оно оказалось равным *)

0=6,7 ·10-11 Н ·M2/KГ~.

После того как было определено значение О, оказалось возможным из закона всемирного тяготения определить массу Земли. Действительно, в соответствии с ЭТIJМ законом, те.тю массы т, находящееся у поверхности Земли, притяги­ вается к Земле с силой

Р=О тМз

R§ ,

где Мз - масса Земли, а Rз - ее радиус. С другой сто­

роны, мы знаем, что P=mg. Приравняв эти величины,

найдем

(124.2)

Значения всех величин, стоящих в правой части равенства, известны. Их подстановка дает

Мз =5,96.1О2i кг.

Огметим, что, согласно формуле (124.2), ускорение свобод­

ного падения

(124.3)

Из закона 'всемирного тяготения следует, что ускорения, сообщаемые друг другу телами с массами mi и та, находя­

щимися на расстоянии r друг от друга, равны

Эrи формулы отражают уже отмеченную выше черту сил

тяготения: ускорение данного тела, вызванное тяготением

.) в соответствии с международной таблицей рекомендованных

~ачениА Фуидаментальных физических коистант гравитационная по-

CIORИнаJl 0=6,6720 .1O-~ Н:,!1/J(1.'8._(l!fu.tIe'I. _~,)

J44

/другого тела, не зависит от массы данного тела. Далее, из

(!24.3) следует, что

al/a2=mimi.

Таким образом, хотя силы всемирного тяготения, действую­ Щl'lе между телами различной массы, равны, значительное

ускорение получает тело малой массы, а тело большой мас­

сы испытывает малое ускорение.

Так как суммарная масса всех планет Солнечной систе­

мы составляет немногим больше 111000 массы Солнца, уско­ рение, которое испытывает Солнце в результате действия

на него сил тяготения со стороны планет, ничтожно мало по

сравнению с теми ускорениями, которые сила тяготения

Солнца сообщает планетам. Относительно малы и силы тяготения, действующие между планетами. Поэтому при рассмотрении законов движения планет (законов Кеплера)

мы не учитывали движения самого Солнца и приближенно

считали, что траектории планет - эллиптические орбиты,

. в одном из фокусов' которых находится Солнце. Однако в

точных расчетах приходится принимать во внимание те

«возмущения», которые вносят Б движение самого Солнца или какой-либо планеты силы тяготения со стороны других

планет.

,124.1. Насколько уменьшится сила земного притяжения, дей-

•ствующая на ракетный снаряд, когда он поднимется на 600 км над поверхностью Земли? Радиус Земли принять равным 6400 км.

124.2.Масса Луны в 81 раз меньше массы Земли, а радиус Луны

приблизительно в 3,7 раза меньше радиуса Земли. Найдите вес человека на Луне, если его вес на Земле равен 600 Н.

124.3.Масса Луны в 81 раз меньше массы Земли. Найдите на линии, соединяющей центры Земли и Луны, TO'lKY, В которой

равны друг другу силы притяжения Землн и Луны, действую­

щие иа помещенное в этой точке тело.

§ 125. Искусственные спутники Земли. На тело, выведенное

за пределы земной атмосферы, действуют, как и на всякое

небесное тело, только силы тяготения со стороны Земли,

Солнца и других небесных тел. В зависимости от начальной скорости, сообщенной телу при его взлете с поверхности

Земли, дальнейшая судьба тела может быть различной: при малой начальной скорости тело падает обратно на Зем­

лю; при большей скорости тело может превратиться в ис­

кусственный спутник и начать вращаться вокруг Земли, подобно ее естественному спутнику - Луне; при еще большей скорости тело может уйти от Земли так далеко,

что сила земного притяжения практически не будет ВЩIЯТЬ

на его движение и оно обратится в искусственную планету,

,\

245

Подставив g=9,81 M/C~ и Rз-=6378 км, найдем

t11 =7,91 км/с.

Эту скорость называют первой космической скоростью.

Двигаясь с такой скоростью, спутник облетал бы Землю за

Земли, т. е. такое же ускорение свободного падения, как и

тело, свободно летящее по параболической траектории или

падающее по вертикали вблизи земной поверхности. Зна­

чит, движение спутника есть просто свободное падение,

Рис. 203. Рисунок из трудов Ньютона: траектории тела, бросаемого с

вершины высокой горы с различными горизонтальными скоростями.

Еще Ньютон понимал, что ДЛЯ запуска тела на орбиту вокруг Земли

тело должно иметь достаточно большую скорость. D, Е, Р, G :...-. пуикты,

в KOWPbIX оканчиваются траектории при увеличении скорости

подобное движению пуль и снарядов или баллистических ракет. Различие заключается только в том, что скорость

спу:гника настолько велика, что радиус кривизныI его траек­

тории равен радиусу Земли: падеfjие' (Т. е. движение с

ускорением g, направленным к центру Земли) сводится к

огибанию земного шара.

Из формулы (125.1) ясно, что если скорость тела будет меньше первой космической, то сила тяжести заставит его

двигаться по траектории с радиусом кривизны, меньшим

радиуса Земли Rз. Значит, при такой скорости теЛо упадет

на З\емлю. При большей скорости радиус кривизны траек­

ТОРИll будет больше Rз и тело опишет эллиптическую тра­

екторию (рис. 203).

В действительности спутник не может быть запущен по орбите радиуса Rз из-за огромного сопротивления воз­

духа вблизи поверхности Земли. Найдем, какова должна быть скорость v движения по круговой орбите любого радиу­ са г, большего Rз. Для этого воспользуемся фОР:'ЛУЛОЙ,

аналогичной (125.2), учитывая, что ускорение свободного

падения убывает при удалении от центра Земли в отноше­

нии, обратном отношению квадратов расстояний от центра.

Ускорение gr на расстоянии r от центра Земли найдем по

формуле gr=gR~/r2. Скорость v движения спутника по

круговой орбите радиуса r получается из равенства

R~ и2 gr=gгa=,'

откуда

(125.3)

Таким образом, по мере увеличения радиуса орбиты ско­

рость искусственного спутника уменьшается *).

Это не означает, однако, что для запуска спутника на ор­ биту большего радиуса двигатели ракеты должны совершить меньшую работу. Уменьшается только доля работы, необ­

ходимая для сообщения спутнику кинетической энергии.

Но при этом спутник надо поднять на большую высоту над Землей; значит, потребуется совершить, большую работу

против силы земного притяжения,. т. е. сообщить спутнику

б6льЦIУЮ потенциальную энергию. В итоге оказывается, что по мере увеличения радиуса орбиты суммарная работа,

необходимая для запуска спутника, растет.

В самом деле, рассчитаем, как меняется в зависимости

от радиуса орбиты работа, необходимая на подъем спутника с земной поверхности до орбиты и на сообщение ему ско-

*) Наименьшая высота над уровнем Земли, на которой сопротив­

Jlеиие воздуха так мало, что им можно прене6речь, составляет около

300 км. Радиус соответственной орбиты равен (округленно) 6700 Км. 'Из

формулы (125.3) найдем, что скорость движения спутника по такой ор­

бите будет равна примерно 7,8 км!с.

248

рости, необходимой для движения по орбите. Согласно формуле (125.3) кинетическая энергия спутника массы т,

движущегося по орбите радиуса г, равна

2

Е =mv2=~~

к 2 2 г'

где Vi - первая космическая скорость. Подставив вместо Vl ее значение, определяемое формулой (125.2), выражению

для кинетической энергии можно придать вид

Рассмотрим полет спутника массы т по орбите радиуса r и по орбите радиуса г+~г, где ~г - положительное

приращение радиуса г, много меньшее самого радиуса

r (~г~г). Согласно (125.4) кинетическая энергия спутника

при полете по этим орбитам равна соответственно

где ~EK -'приращение кинетической энергии спутника при переходе с первой орбиты на вторую. Это приращение

в соответствии с тем, что при переходе с первой орбиты на

вторую скорость спутника уменьшается, ~Eк получилось

отрицательным.

С другой стороны, работа против силы тяжести при пере­ ходе с первой орбиты на вторую равна силе тяжести, дей­

ствующей на спутник, умноженной на ~г. Так как ~г мало,

изменением силы тяжести при переходе можно пренебречь и считать ее равной mg R~/r2. Следовательно, работа против силы тяжести при переходе с первой орбиты на вторую

R~

A=mg 2 M.

г

Эта работа затрачивается на приращение потенциальной

энергии спутника при переходе с первой орбиты на вторую. Таким образом,

R~

AEn=тg.,,.Ar. (125.6)

249

Сравиеиие выражений (125.5) и (125.6) покаЭblвает, что

приращение потенциальной энергии в два раза превышает

убыль кинетической энергии спутника:

следовательных переходов, при каждом из которых радиус

орбиты увеличиваепя на малую величину 11,. При каждом

таком переходе выполняется соотношение (125.7). Следо­

вательно, это соотношение имеет место и при переходе с

орбиты радиуса 'iна орбиту радиуса '2:

- Eoz-ЕПl= - 2 (Ек2-Ек1)= ( -mg~:) - ( -mg~:)

(см. формулу (125.4». Полученное равенство будет выпол­ няться, если положить Еп на расстоянии, от центра Земли

равной

где С - произвольная константа. Напомним, что потенциn

альная энергия всегда бывает определена с точностью до

произвольной аддитивной постоянной, значение которой

зависит от выбора' положения тела, в котором его потен­

циальная энергия принимается равной fYулю.

Проще всего считать константу С равной нулю. Тогда

(125.9)

в этом случае Еп=О при '=00. На любом конечном рассто­

янии ОТ центра Земли riотенциальная энергия отрицательна.

Выражению (125.9) можно придать другой вид, заменив, со­

гласно (124.3), gR'§ на GМз:

Мы получили выражение (125.8) для спутника, движущегося

по орбите радиуса ,. Однако оно не содержит скорости и,

следовательно, справедливо для любого тела массы т неза- .

висимо от того, движется это тело или покоИтся.

Если принять Еп равной нулю, когда тело находится еа поверхности Земли (т. f. ,=Rз). то С=mgRз, и выражение

для потенциальной энергии примет вид

Пусть г=Rз+h, где h - очень малая по сравнению с Rз

величина. Тогда выражение (125.11) упрощается следую­

щим образом:

En=mg Rз (1- R:~h) =mgRз RЗ~h ~mgh.

Мы пришли к известному выражению для потенциальной

энергии тела, поднятого над Землей на высоту h.

Напомним, что потенциальная энергия определяет ра­ боту, которая совершается·силами тяготения над телом при перех&де его из положения с энергией Еп в положение, в

котором потенциальная энергия равна нулю. Следовательно, выражение (125.11) определяет работу, которую соверша­

ют силы тяготения при переходе из точки, находящейся на

,.расстоянии r от центра Земли, в точку на поверхности Земли. Из формулы (125.11) следует, что при перемещении тела массы т из бесконечности на поверхность Земли силы тяготения совершают над телом работу, равнуютgRз. Соответственно работа, которую нужно совершить против

сил тяготения, чтобы удалить тело с поверхности Земли на

бесконечность, также равна mgRз. Эта работа конечна,

несмотря на то, что путь, на котором она совершается,

бесконечно велик. Это объясняется тем, что силы тяготения

быстро убывают с увеличеtшем расстояния от Земли -

обратно пропорционально квадрату расстояния.

С помощью выраж~ний для кинетической и потенци­

альной энергий можно определить работу, которую нужно

совершить, чтобы вывести (г:утник массы т на орбиту радиуса г. Перед запуском li.JJilIая энергия спутника (кине­

тическая плюс потенциальная) равна нулю. Двигаясь по

орбите, спутник обладает кинетической энергией, опреде­

ляемой выражением (125.4), и потенциальной энергией, определяемой выражением (125.11). Интересующая нас работа Аг равна .полной энергии спутника, движущегося

. =mgRз (l-~~). (125.12)

Это выражение не учитывает работу, которую нужно со­

вершить при запуске спутника пр'отив сил сопротивления

атмосферы. Из (125.12) видно, что с увеличением радиуса орбиты r растет работа, которую нужно затратить для

выведения спутника на орбиту.

251