Ольков_С_Г_Аналитическая юриспруденция

Блочная диаграмма – используется для наглядного представления пяти вышеприведенных показателей в одномерном наборе данных.

33

Пять базовых показателей (five-number summary) позволяющих диагностировать оценку вида распределения, включают:

1)минимальное значение переменной по ранжированному ряду;

2)максимальное значение переменной по ранжированному ряду;

3)значение первого квартиля – значение 25%-го числа от начала ранжированного ряда;

4)значение третьего квартиля – значение 75%-го числа от начала ранжированного ряда;

5)Медиана.

Распределение является симметричным, если:

1)расстояние от минимального значения ранжированного вариационного ряда исследуемой переменной величины до медианного значения переменной равно расстоянию от медианного значения до максимального значения переменной величины.

2)Расстояние от минимального значения до первого квартиля, равно расстоянию от третьего квартиля до максимального значения переменной.

3)Расстояние от первого квартиля до медианы, равно расстоянию от медианы до третьего квартиля.

Распределение является асимметричным, если:

1)имеет место положительная асимметрия, когда расстояние от минимального значения переменной по ранжированному вариационному ряду до медианы меньше расстояния от медианы до максимального значения переменной.

2)При положительной асимметрии расстояние от минимального значения переменной до первого квартиля меньше, чем расстояние от третьего квартиля до максимального значения исследуемой переменной.

3)Имеет место отрицательная асимметрия, когда расстояние от минимального значения переменной до медианы больше, чем расстояние от медианы до переменной с максимальным значением.

34

4) При отрицательной асимметрии расстояние от минимального значения переменной до первого квартиля больше, чем расстояние от третьего квартиля до максимального значения исследуемой переменной.

Удобным статистическим инструментом, позволяющим в геометрической форме представить пять базовых показателей, и диагностировать форму распределения, оценить симметрично оно или асимметрично, является блочная диаграмма (box-and-whisker diagram). Часто такие диаграммы представляются группами.

Примеры.

Дано: число зарегистрированных преступлений в Украине за 2008 и 2009 годы.

Таблица. Число зарегистрированных преступлений в Украине в 2008-2009 годах.

35

Требуется: 1) рассчитать значение медианы, первого и третьего квартилей, минимального и максимального значения

36

преступности в Украине за 2008-2009 гг.; 2) построить блочные диаграммы для преступности в Украине за 2008-2009 годы; 3) оценить форму распределения преступности в Украине за 20082009 годы; 4) сравнить формы распределения преступности в Украине в 2008 и 2009 годах.

Ответ:

Таблица с расчетными данными.

Q1 – первый квартиль (25%); Q2 – третий квартиль (75%).

B o x & W h is k e r P lo t Б л о ч н а я д и а г р а м м а

6 0 0 0 0

5 0 0 0 0

4 0 0 0 0

3 0 0 0 0

2 0 0 0 0

1 0 0 0 0

Из блочной диаграммы видно, что распределение преступности по территории Украины не является симметричным. Судя по диаграмме, в Украине, как в 2008, так и в 2009 году имела

37

место положительная асимметрия, поскольку расстояние от минимального значения до первого квартиля было меньше, чем расстояние от третьего квартиля до максимального значения. Соответственно и расстояние от минимального значения до медианного меньше, чем от медианы до максимального значения.

Кроме того, по блочной диаграмме можно сказать: 1) устойчивость вариационного ряда преступности в Украине в 2009 году снизилась, то есть временной ряд 2009 года более изменчив, чем вариационный ряд 2008 года; 2) уровень преступности по территории Украины стал выше в 2009 году по сравнению с 2008 годом. Об этом свидетельствует сдвиг вверх минимального и максимального значений преступности, первого и третьего квартиля и медианного значения.

Во многих случаях форма распределения может быть асимметричной (скошенной), что вызвано содержанием набора исследуемых данных. Иногда удается избежать проблемы асимметрии, осуществив преобразование исходных данных.

Преобразование (transformation) – замена исходных данных для упрощения вычислений, например, сдвиг запятой или логарифмирование. Логарифмирование – замена исходных данных (только положительных чисел) их логарифмами, что позволяет: 1) увеличить (растянуть) малые значения; 2) уменьшить (сжать) большие значения; 3) преобразовать скошенные распределения в симметричные, поскольку горизонтальная ось (ось абсцисс) равномерно растягивается около нуля. Например, логарифм числа 0,0004=-3,3979; log(15000)=4,176. Отсюда и частоты, откладываемые по ординате, располагаются более кучно и равномерно. В случае, если вычисляется натуральный логарифм (основание число e=2,71…), то его перевод в десятичный осуществляется путем деления полученного числа на 2,302585, например, ln(15000)=9,6158. Разделив 9,6158 на 2,302585, получим 4,176. Соответственно и наоборот, если умножить 4,176 на 2,302585, то получим 9,615.

Рассмотрим практический пример.

38

Дано: таблица исходных первичных данных (primary data) о числе зарегистрированных в 2009 году краж по различным административно-территориальным единицам Украины

39

Требуется: 1) построить гистограмму распределения краж по территории Украины; 2) построить гистограмму по логарифмированному числу краж по территории Украины.

Решение:

I. Чтобы построить гистограмму вручную:

1.Ранжируем столбец первичных данных (краж) от минимума до максимума.

2.Находим длину интервала: l= Rh , где l – длина интервала, R

–размах, h – число групп.

3.Число групп (h) можно задать по формуле Стерджесса:

h=1+3,322×logN,

где N – число исследуемых объектов (в нашем случае число субъектов РФ).

4.Составляем таблицу распределения уровней краж по субъектам Украины.

5.Строим гистограмму распределения.

II. Чтобы построить гистограмму в программе Excel нужно:

1.Выбрать в командной строке «Данные» (в ранних версиях программы – «Сервис»).

2.Выбрать «Анализ данных»3.

3.Выбрать «Гистограмма» и заполнить поля диалогового окна (достаточно заполнить входной интервал, выделив курсором исходные данные, и поставить флажок на выводе графика), после чего нажать «OK».

3 Если на панели «Анализ данных» отсутствует, то его туда нужно добавить, выбрав в меню «Надстройки».

40

4. Чтобы столбцы сливались друг с другом нужно встать курсором на какой-либо столбец гистограммы, щелкнуть правой клавишей мыши, в появившемся окне выбрать «формат ряда данных», и в «параметрах ряда» свести зазор к нулю.

Ниже приводятся гистограммы, дающие решение задачи. На гистограмме №1 показано распределение субъектов Украины по числу зарегистрированных краж, а на гистограмме №2 – распределение субъектов Украины по логарифму зарегистрированных краж с основанием 10.

41

III. В более продвинутых, чем Excel математических пакетах можно сразу получить аппроксимирующую эмпирическое распределение теоретическую кривую, что показано на нижеследующем рисунке, выполненном с помощью ППП

«Statistica».

Хотя в случае с нашей задачей ликвидировать асимметрию полностью не удалось, но она заметно уменьшилась после проведения процедуры логарифмирования. Так, для распределения числа зарегистрированных краж по территории Украины коэффициент асимметрии составил 1,986481 (положительное или правостороннее смещение), а для распределения логарифма числа зарегистрированных краж по территории Украины: А=-0,46859 (отрицательное или левостороннее смещение)4.

4 «Левосторонняя» и «правосторонняя» асимметрия – неудачные термины, поскольку способны вводить в заблуждение. Если смотреть на гистограмму, то левостороннее смещение оказывается справа от нас, а правостороннее слева.

42