Ольков_С_Г_Аналитическая юриспруденция

Пример. Обнаружен труп и произведено измерение его температуры х0 = 310С в момент обнаружения. Спустя час х = 290С. Допустим, что в момент смерти температура тела в данном месте х0 = 370С и температура окружающей среды была 210С.

Таким образом, преступление было совершено за 2 часа 6 минут до момента обнаружения тела.

Как видно расчеты весьма простые потому, что температура окружающей среды (а) принимается постоянной. Такое допущение иногда вполне оправдано, поскольку резкие температурные броски окружающей среды не слишком частое явление. Однако, незначительные колебания (реже – значительные) вполне возможны. Тогда закон охлаждения трупа примет более сложную

времени t. Выше приведенное уравнение носит название линейного неоднородного дифференциального уравнения первого порядка15.

§4. Параметрический корреляционный и регрессионный анализ юридических процессов или, что то же самое, изучение закономерностей юридических процессов

Термин параметр берет свое начало от греческого parametren - отмеривающий, измеряющий что-либо». Напомню, что в

математике под параметрами уравнения понимаются, входящие в него константы, определяющие конкретный вид функции из многообразия возможных функций. Так параметрами линейного уравнения являются свободный член (сдвиг) и коэффициент наклона, в регрессионном анализе называемый коэффициентом регрессии. Коэффициентом регрессии степенной

15 См. Амелькин В.В., Садовский А.П. Математические модели и дифференциальные уравнения. – Мн.: Высш.школа, 1982. С.20-25.

156

функции выступает показатель степени и т.п. Забегая вперед, важно отметить, что коэффициент регрессии в степенной функции одновременно выступает константой эластичности (в других видах функций коэффициент эластичности не является постоянной величиной). Регрессионный анализ или просто регрессия по существу означает подбор уравнения для каких-то количественных эмпирических данных. С точки зрения геометрии регрессия означает подбор линии (линейная регрессия) или кривой (нелинейная регрессия), которая наилучшим образом приближается к эмпирическим точкам. С точки зрения алгебры регрессия – это аппроксимирующее эмпирические данные линейное или нелинейное уравнение с конкретными параметрами. С точки зрения теории вероятностей и математической статистики – это аппроксимирующее эмпирические данные уравнение, содержащее случайный член (возмущение, шум), отражающий влияние: 1) неучтенных в модели факторов; 2) ошибок спецификации модели, например, неудачный подбор аппроксимирующей функции; 3) ошибок измерения. По этой причине параметры регрессионного уравнения всегда только оценки реальных параметров, надежность которых, во-первых, нужно проверять, а, во-вторых, всегда помнить о том, что связь носит вероятностно-статистический характер. Спецификация регрессионной модели – это формулирование гипотезы о связи между конкретными переменными, выбор зависимой и независимых (независимой) переменных, подбор правила (параметров линейного или нелинейного уравнения), связывающего переменные.

Регрессионный анализ обычно дополняется корреляционным, но даже коэффициент корреляции близкий к единице не гарантирует того, что одна переменная непременно детерминирует другую. То есть реально объясняет её поведение. Например, существует сильная корреляционная связь между умышленными убийствами и суицидами в нашей стране. Однако это вовсе не означает, что убийства объясняют суициды, или наоборот. Просто обе переменные характеризуют социально-патологическое поведение, которое детерминируется во многом схожим

157

причинным комплексом. Полезным из этой связи будет то, что по одной переменной можно будет прогнозировать другую, но не более того.

Параметрический корреляционный и регрессионный анализ по своей сути развивает функциональный анализ в вероятностностатистическом направлении, поскольку функциональная связь может рассматриваться как частный случай корреляционной с коэффициентом корреляции равным единице (положительная связь) или минус единице (отрицательная связь). Когда мы изучали функции, то игнорировали корреляцию, полагая её равной единице, и работали только с соответствующими линейными или нелинейными уравнениями. В параметрическом корреляционном и регрессионном анализе решаются две задачи: 1) находится коэффициент корреляции, показывающий силу связи между переменными (обычно рассчитывают так называемый линейный коэффициент корреляции Пирсона); 2) выводится регрессионное уравнение с соответствующими параметрами (константами а, b, c и т.д.), линейное или нелинейное, показывающее как объясняющая переменная (переменные) влияет на объясняемую. Кроме того, проводится работа, нацеленная на проверку качества коэффициента корреляции, параметров уравнения и всего уравнения в целом. Параметрическим регрессионный анализ называется потому, что находятся параметры уравнения, то есть здесь нужно найти неизменные константы, входящие в правую часть уравнения наряду с объясняющими (управляющими) переменными. Например, в простом линейном регрессионном уравнении вида у =а+bx, где - у оценки по переменной у, х – значения переменной икс, а (параметр) – свободный член (сдвиг, точка пересечения линии регрессионного уравнения с осью ординат), оценивающая величину игрек при икс равном нулю (иногда не интерпретируется, так как не имеет криминологического смысла), например, в случае, когда при параметре а стоит знак минус (-а). Важно заметить, что хотя в таком случае параметр а не интерпретируется, но интерпретируется знак минус. Если а<0 (очевидно, что минус а всегда меньше нуля), то изменения зависимой переменной (Δy) происходят быстрей, чем

158

наименьших абсолютных отклонений; 6) метод наименьших квадратов и его модифицированные варианты (дисконтированный МНК, двух шаговый МНК, косвенный МНК и т.д.)16, а также другими методами.

Линейную связь между переменными икс и игрек можно найти с помощью разных методов, но наиболее точным считается метод наименьших квадратов. Покажем это на примере. Пусть имеем таблицу первичных статистических данных, содержащих сведения о двух процессах – икс и игрек:

Таблица №1. Первичные статистические данные об изменениях процессов икс и игрек, а также абсолютные приросты по обеим переменным

X =64,66667; Y =85,88889

Способ №1. Учитывая тот факт, что в сути производная (скорость изменения функции) отражает отношение абсолютных приростов Y/ X её приближенное значение можно найти, как частное от деления среднего абсолютного прироста по переменной

16Статистические модели в экономике/А.Ф.Гришин, С.Ф.Котов-Дарти, В.Н.Ягунов.

–Ростов н/Д: «Феникс», 2005. С. 93.

160

a=Y −bX =85,88889-0,965909∙64,66667=23,42677 Следовательно, оценочное уравнение: yˆ =23,42677+0,965909х. Проверим его качество.

161

А = 22,992 = 2,55% . Средняя ошибка аппроксимации не превышает

9

3%. В свою очередь средняя ошибка аппроксимации в пределах 5- 7% считается хорошей (8-10% - допустимой). Вообще говоря, в данном случае она не превысила бы и 2%, если нами не проводилось округление до тысячных по оценочным значениям.

Способ №2. Отличается от первого только способом нахождения среднего абсолютного прироста:

а =Y −bX =85,88889-0,992796∙64,66667=21,68808 Следовательно, оценочное уравнение: yˆ =21,68808+0,992796х. Проверим его качество.

162

Способ №3. Основной. С помощью метода наименьших квадратов.

b = Kx , y

Dx

Рис. №10.

Можно работать и с центрированными данными, заменив исходные переменные центрированными: хцi = (xi − x) и yцi = ( yi − y) .

163

x =64,66667 y =85,88889

Рис. №11.

Как видно из уравнения коэффициент наклона не изменился. Изменился свободный член (стал равен нулю). Чтобы прогнозировать по данному уравнению, нужно восстанавливать свободный член: a=Y −bX =85,88889-1,005∙64,66667=20,8.

Даже получив значения параметров уравнения с помощью метода наименьших квадратов, не следует обольщаться, ибо мы имеем дело лишь с оценками реальных параметров уравнения, характеризующими соответствующие генеральные совокупности.

164

Обычно а ¹ α и b ¹ β , где α – значение свободного члена в генеральной совокупности, а β – значение коэффициента регрессии (тангенса угла наклона линии) в генеральной совокупности. Существует необходимость проверки статистической надежности оценок.

Оценивается статистическая значимость: 1) уравнения в целом; 2) параметров уравнения; 3) коэффициента корреляции.

Для оценки параметров уравнения, коэффициента корреляции и коэффициента детерминации выполняется

следующий алгоритм:

1) выдвигается статистическая гипотеза H0 – показатели статистически незначимы, то есть незначимо отличаются от нуля;

2) рассчитывается фактический t-критерий Стьюдента:

а) для коэффициента корреляции по формуле: tr = mrr , где tr –

это эмпирическое значение t-статистики для коэффициента корреляции, которое сравнивается с табличным значением t-критерия Стьюдента, r – коэффициент корреляции, mr –

случайная ошибка коэффициента корреляции: mr = 1− r2 .

N − 2

Если число наблюдений превышает 70 (N≥70), а распределение случайных величин Х и Y близко к нормальному, то практически достоверно, что истинное значение коэффициента корреляции полученное по выборочным данным располагается в интервале между [r-3σr] и [r+3σr], где σr - стандартное отклонение

выборочных корреляций, вычисляется по формуле: σ = 1−r2

r N .

P.S. Тестирование коэффициента детерминации R2 осуществляется с помощью специальных таблиц критических значений данного коэффициента при различных уровнях значимости (0,05 (5%) – значимый; 0,01 (1%) – высоко значимый;

165