Ольков_С_Г_Аналитическая юриспруденция

курсором, и они отобразятся в формуле автоматически. Фигурные скобки отобразятся в командной строке (строке формул) после выполнения 4-го действия.

4) Встаем курсором в первую ячейку столбца Х и набираем комбинацию Ctrl+Shift+Enter (одновременно нажимаем три клавиши). Если нажать просто Enter, то появится только одно значение – величина параметра а.

Таблица. Выполнение расчетов в Excel.

Не стоит говорить, что система линейных уравнений любой размерности решается с той же степенью легкости.

Среди функций нелинейных по объясняющим переменным для юридических исследований достаточно большое значение имеют квадратическая (парабола второго порядка), кубическая и гиперболическая функции. Так, квадратическая функция используется для описания зависимости уровня свободы от уровня государственного принуждения или общественного насилия. То есть представляет двумерную модель политических режимов. При вычислении коэффициента локализации удобно проводить параметризацию кривой Лоренца с помощью квадратической функции, а дальше находить разницу между этой квадратической функцией и линейной функцией, отражающей абсолютное равенство. Экономические процессы тесно связанные с криминологическими также иногда имеют вид параболы второго порядка.

186

Кубические функции неплохо моделируют развитие эпидемиологических и демографических процессов, в определенной мере связанных с криминологическими процессами, а кроме того сами криминологические процессы могут развиваться по подобному сценарию. Например, производственная функция определенного преступного предприятия, зависимость выпуска продукции от переменного ресурса, потребляемого за период времени может развиваться по кубическому правилу: 1) выработка растет с большой скоростью, (увеличивающаяся отдача); 2) выработка растет меньшими темпами (уменьшающаяся отдача); 3) отрицательная отдача, когда выработка начинает уменьшаться с увеличением затрат. Производная от этой функции, показывающая скорость изменения кубической функции опять же будет квадратической функцией.

Гиперболические функции неплохо моделируют реальное течение юридических процессов. Например, снижение уровня какого-либо вида преступности от угнетающего его фактора даст скорее гиперболическую, чем линейную зависимость.

Модели нелинейные по оцениваемым параметрам а, b, c и т.д. (модели второго класса), как мы выяснили, делятся на два подкласса: внутренне линейные (1) и нелинейные (2). Модели первого подкласса (внутренне линейные) сводятся к линейному виду и решаются с помощью МНК. Модели же второго класса решаются итерационными способами. Например, модель, содержащая степенную функцию: y = a × xb ×u приводится к линейному виду путем логарифмирования: ln y = ln a +ln x +ln u , в то время как модель: внутренне нелинейная20, и решать её придется итерационным способом.

Корреляция для нелинейных регрессионных моделей.

20 Подробнее: Эконометрика: Учебник/Под ред. И.И.Елисеевой. – М.: Финансы и статистика, 2001. С.70.

187

Нелинейный регрессионный анализ, как и линейный всегда дополняется корреляционным анализом, проверкой надежности подобранного уравнения, коэффициента корреляции и параметров уравнения, а также находим среднюю ошибку аппроксимации, с помощью которой судим об эффективности подобранного уравнения для характеристики эмпирических данных.

В случае парной линейной регрессии, как мы знаем, используется линейный коэффициент корреляции Пирсона. Для нелинейных же моделей применяется индекс корреляции, вычисляемый по формуле:

Dост – остаточная дисперсия, Dy – общая дисперсия управляемой переменной. Обратите внимание, что во второй по порядку формуле в числителе и знаменателе стоят суммы квадратов не приведенные на число степеней свободы (то есть не дисперсии, а суммы квадратов отклонений). В числителе стоит остаточная сумма квадратов отклонений, а в знаменателе общая сумма квадратов отклонений. Напомним, что

i=1

одну степень свободы, то как раз и получится остаточная дисперсия. Число степеней свободы для остаточной дисперсии зависит от числа независимых переменных. Для случая парной регрессии число степеней свободы остаточной дисперсии равно N-

N

2, поскольку имеется одна независимая переменная); å( yi - yi )2 -

i=1

общая сумма квадратов отклонений (число степеней свободы для нее N-1), которая складывается из факторной суммы квадратов или суммы квадратов, объясненных регрессионным уравнением:

N 2 (число степеней свободы для факторной (объясненной)

å( yi - yi )

i=1

188

суммы квадратов определяется по числу независимых переменных

– для парной регрессии df=1) и остаточной суммы квадратов отклонений:

Индекс корреляции изменяется в пределах от нуля до единицы. Чем ближе индекс корреляции к единице, тем более точно кривая аппроксимирует эмпирические значения. Надежность индекса корреляции проверяется способом аналогичным с проверкой надежности линейного коэффициента корреляции: 1) сначала находим ошибку индекса корреляции по формуле:

фактическое значение t-критерия Стьюдента с табличным.

Кроме индекса корреляции для нелинейных регрессионных моделей используется индекс детерминации R2 и F-критерий

объясненной суммы квадратов); (N-m-1) – число степеней свободы для остаточной суммы квадратов.

На практике часто возникает вопрос о выборе между линейной и нелинейной моделью регрессии. Ответить на него помогает индекс детерминации, который сравнивается с

189

значение t-критерия Стьюдента превышает табличное, то различия между индексом корреляции и коэффициентом корреляции существенны, и необходимо использовать нелинейную модель. Напротив, если фактическое значение t-критерия Стьюдента меньше табличного, то не стоит «ломать копий» и пользоваться нелинейной моделью. В данном случае нужно остановиться на линейной модели. На практике, если tфакт<2, то следует выбрать линейную модель. Кроме того, если разница между индексом корреляции и коэффициентом корреляции не превышает 0,1 (Rxy 2 −rxy 2 ) < 0,1 , то можно сразу отдать предпочтение линейной модели.

Для оценки качества модели нелинейной регрессии, как и для линейной, наряду с другими показателями используется средняя ошибка аппроксимации:

Проведем параметризацию некоторых нелинейных функций, оцениваемых по параметрам.

Степенная функция вида y = a × xb ×u приводится к следующей системе нормальных уравнений:

Коэффициент регрессии (b) и оценку свободного члена (а) находим, решив систему нормальных уравнений и выполнив операцию потенцирования. Важно отметить, что логарифм уместно

190

брать по любому основанию (это будет отражаться только на процедуре потенцирования, но не на результате).

Дано: таблица первичных выборочных данных, где Х – число пробелов в нормативно-правовых актах, регламентирующих данную деятельность, за фиксированный период времени на 7 объектах, Y – число нарушений данных нормативно-правовых актов на указанных объектах, связанных с выявленными пробелами.

191

192

Для того, чтобы заполнить столбец с оценками игрек, необходимо решить систему нормальных уравнений:

Составим матрицы:

Находим матрицу Х с параметрами уравнения:

Получилось оценочное линейное уравнение регрессии:

193

Y =1,3165 +0,887 × X .

Выполнив потенцирование, получим окончательное оценочное уравнение по степенной функции:

Подставляя значения независимой переменной (х) в полученное уравнение степенной функции, заполним столбец с

статистическую значимость с помощью t-критерия Стьюдента: 1) сначала найдем индекс детерминации – возведем в квадрат индекс корреляции: R2=0,92.

mR = 0,126 .

3) Определяем фактическое значение t-критерия Стьюдента по

194

3) сравниваем фактическое значение t-критерия Стьюдента с табличным при числе степеней свободы в остаточной дисперсии (в данном случае парной регрессии N-2=7-2=5):

Как видно эмпирическое значение t-критерия составило 7,61, что выше критического при любом уровне значимости.

Проверим целесообразно ли заменять линейную регрессионную модель моделью степенной. Ответить на данный вопрос помогает индекс детерминации, который сравнивается с коэффициентом детерминации. Вычисляется оценка существенности различия с помощью t-критерия Стьюдента:

коэффициент детерминации, полученный из линейного коэффициента корреляции Пирсона составит 0,931 (r2=0,931).

Видно, что эмпирическое t меньше двух (всего -0,139). Следовательно, не имеет смысла строить степенную функцию.

195