Ольков_С_Г_Аналитическая юриспруденция

изменение любой экзогенной переменной влияют на поведение управляемой переменной.

Важно знать, что кроме регрессионных уравнений в модель уместно включать тождества (уравнения в виде тождеств) и уравнения тенденции. Поведенческие (регрессионные) уравнения показывают связь экзогенных и эндогенных переменных, а уравнения тождества демонстрируют соотношение эндогенных переменных (1), не включают случайную компоненту (2) и структурные коэффициенты (3).

Приведенная форма выглядит так:

– коэффициенты при предопределенных переменных. Экзогенные и лаговые эндогенные переменные модели

здесь называют предопределенными переменными.

Как видно приведенная форма модели соответствует обычной системе независимых уравнений, параметры которой уместно оценить с помощью простого МНК.

Важно понимать, что коэффициенты приведенной формы модели одновременных уравнений (β) являют собой нелинейные функции от коэффициентов структурной формы модели одновременных уравнений (b).

306

Покажем это. Пусть имеем структурную модель системы одновременных уравнений с центрированными переменными (то есть исключив свободный член):

y1 −b12 b21 y1 =b11 x1 +b12 b22 x2 . Откуда находим значение переменной y1:

307

(предопределенных) переменных системы (M), не вошедших в данное уравнение, плюс единица: W+1=M.

2)Уравнение сверхидентифицируемо, если: W+1>M.

3)Уравнение неидентифицируемо, если: W+1<M.

Пример №1. Например, имеем систему:

Оба уравнения в ней идентифицируемы. В первом уравнении присутствует две эндогенных переменных: y1 и y2 (W=2), и отсутствует одна экзогенная переменная, не входящая в первое уравнение, но входящая во второе уравнение – переменная x2 (M=1). Откуда имеем равенство: W=M+1 (2=1+1). Аналогичная ситуация и со вторым уравнением, где имеется две внутренних (эндогенных) переменных: y1 и y2 (W=2), и отсутствует одна экзогенная переменная, не входящая во второе уравнение, но входящая в первое уравнение – переменная x1 (M=1).

Пример №2. Если, например, во второе уравнение добавить переменную x3, то для первого уравнения системы получим: W<M, поскольку 2<2+1. Отсюда, первое уравнение становится неидентифицируемым, а второе остается идентифицируемым. Но, поскольку система одновременных уравнений считается идентифицируемой при условии, что все, входящие в неё уравнения должны быть идентифицируемы, постольку при добавлении во второе уравнение дополнительной экзогенной переменной приведет к полной неидентифицируемости системы.

309

Пример №3. Если, например, в первое уравнение добавить эндогенную переменную y3, а второе уравнение оставить без изменений (с одной экзогенной переменной), то первое уравнение станет сверхидентифицируемым: W>M (3>2). В данном случае модель считается сверхидентифицируемой.

Чтобы перейти от приведенной системы уравнений к вторичной структурной модели необходимо, чтобы система уравнений была либо идентифицируемой, либо сверхидентифицируемой. Следовательно, в случае с нашими примерами второй и третий являют подходящие образцы, в то время как второй непригоден для работы.

Наличие идентифицируемых или (и) сверхидентифицируемых уравнений - необходимое условия идентифицируемости системы одновременных уравнений.

Кроме необходимых условий существует так называемое

достаточное условие идентифицируемости уравнения системы. Уравнение будет идентифицируемым тогда, когда по коэффициентам при отсутствующих в нём эндогенных (W) и экзогенных (M) переменныx получится матрица с определителем не равным нулю (Det≠0), и ранг матрицы (rank of matrix) будет не менее числа эндогенных переменных в системе за минусом единицы (W (системы) – 1). Например, если rank (x) – ранг матрицы икс равен трем, и число эндогенных переменных в модели равно трем, то матрица идентифицируема, поскольку 3>3-1.

Дадим немного сведений из теории матриц.

310

Понятие матрица, детерминант, ранг матрицы имеют значение для решения различных задач, в частности, систем линейных уравнений, определения идентифицируемости систем одновременных уравнений. Числа в матрице – массив, а конкретные значения - элементы массива или коэффициенты. Строки обычно обозначают буквой m, а столбцы буквой n.

Пусть имеется система уравнений:

5x −7 у =7

8x +2 y =12 .

5-7

Представим её матрицей 2 на 2: 8 2.

Матрицы невозможно выразить в виде одного числа, однако их можно упростить или скомбинировать, чтобы отыскать неизвестные элементы.

Операции над матрицами:

1)Сложение.

2)Вычитание.

3)Умножение.

Единичная матрица (I) - это матрица, элементы главной диагонали которой равны единице, а все другие составляющие матрицу элементы равны нулю.

Детерминант матрицы выражается одним числом. Способ вычисления детерминанта зависит от размера матрицы.

a b

Детерминант матрицы 2 на 2 c d равен (ad-bc).

311

Найти детерминант матрицы 3 х 3 сложней, ибо здесь вводится понятие минор элемента матрицы – это значение детерминанта матрицы 2х2, полученное при вычеркивании строки и столбца матрицы 3х3, включающих этот элемент. Например, если нам нужно найти минор элемента «9»,

2

вычеркнуть строку (7 9 1) и столбец 9 . Останется матрица 2

4

35

х2: 6 1 . Детерминант этой матрицы: (3∙12)-(6∙5)=6. Поскольку

число 9 находится в центре матрицы, его знак положителен, и

312

значение минора составит 6. Это и будет алгебраическим дополнением элемента 9.

Каждый минор имеет свой знак, и взятый вместе со знаком образует так называемое алгебраическое дополнение элемента.

Для отыскания детерминанта матрицы 3х3 не нужно искать алгебраические дополнения всех элементов. Достаточно ограничиться одной строкой (любой) или одним столбцом (любым), поскольку детерминант матрицы 3х3 – это сумма произведений элементов на их алгебраические дополнения для любой строки или любого столбца соответствующей матрицы 3х3.

313

(-2)×761613+9×15+(-4)×=37512.

В ППП Mathcad есть специальный оператор, позволяющий быстро вычислить определитель (детерминант) любой матрицы. Достаточно на панели «Матрицы» выбрать определитель, обозначенный |X| и прицепить его к введенной матрице любого

ввели матрицу, затем прицепили к ней определитель, и нажали клавишу «равно» (=), получив сразу ответ. С такой же легкостью здесь можно совершать любые операции с матрицами: умножать их, складывать, вычитать, транспонировать (то есть менять местами столбцы и строки), что весьма полезно для решения систем уравнений, а также отыскивать ранг матрицы, что необходимо при определении идентификации систем одновременных уравнений.

Ранг матрицы (rank of matrix) – это наивысший из порядков отличных от нуля миноров этой матрицы. Вручную вычислять ранг матрицы довольно трудоемко. В ППП Mathcad это делается просто:

314

rank(x) = 3

Естественно, что таким образом можно вычислить ранг матрицы любой размерности.

•Решение систем одновременных уравнений в ППП Excel и

ПППMathcad.

В ППП Excel отсутствует прямой алгоритм двухшагового МНК, но можно использовать последовательное применение: 1) функции ЛИНЕЙН или 2) матричные функции. Покажем это на примере.

Пусть детективное агентство изучает эффективность работы детективов (показателем служит удовлетворение интересов заказчика, например, розыск имущества, слежка за конкретным объектом и т.д) в зависимости от стажа работы и оплаты их труда, а также величину оплаты труда детективов в зависимости от . Система совместных уравнений выглядит следующим образом:

(% в месяц), y2 – величина оплаты труда (руб./мес.), х1 – совместительство (ставка/чел.), х2 – стаж работы по специальности (лет).

Таблица эмпирических данных к задаче:

9 ДА – детективное агентство.

315