Ольков_С_Г_Аналитическая юриспруденция

переменными выраженная одним числом. Обычно используется для расчета (входит в формулы) стандартизованного коэффициента связи между переменными – коэффициента корреляции (r), коэффициента регрессии (b) и используется в ряде других случаев.

σx = Dx

Непосредственное измерение силы связи между переменными с помощью коэффициента ковариации мало полезно из за того, что ковариация зависит от единиц, в которых измеряются переменные икс и игрек, а также обычно представляется довольно большим числом, по сути, не поддающимся интерпретации и сравнениям. Например, что означает ковариация 3578 и 5049? В то время как коэффициент корреляции безразмерная величина, изменяющаяся в диапазоне от минус единицы до плюс единицы, поддающаяся ясной интерпретации и сравнениям.

346

Проверка надежности полученных результатов

регрессионно-корреляционного анализа

Важно заметить, что параметры оценочных уравнений (1), коэффициент корреляции (2), само уравнение в целом (3) – это не истинные значения, а значения оценочные, полученные по выборочным из генеральной совокупности данным. Отсюда возникает вопрос, насколько точны (надежны) полученные результаты. Опираясь на закон нормального распределения, учеными были разработаны специальные формулы и статистические таблицы, позволяющие делать оценки о надежности полученных результатов регрессионно-корреляционного анализа. Например, параметр а (сдвиг) регрессионного уравнения – это лишь оценка истинного параметра α, содержащегося в генеральной совокупности и неизвестного нам. Уместно предположить n-е количество выборок и полученных по ним сдвигов. Их (сдвиги) можно расположить по оси абсцисс, а далее рассчитать вероятности появления того или иного значения параметра a. Наиболее

347

0

вероятное в генеральной совокупности значение параметра а=а . В

0

свою очередь плотность вероятности для а соответствует

математическому ожиданию (вершине Гауссовой кривой).

0

Оценочное по данной выборке а не равно а или точнее лишь

случайно может совпасть с ним, находится где-то около него –

ближе или дальше в соответствии с правилом трех сигм, если

0

разброс а от математического ожидания (а ) по различным

выборкам подчиняется закону Гаусса-Лапласа (чем дальше от

математического ожидания, тем реже встречается).

оценочными коэффициентами (параметрами) регрессии напрямую

зависит от величины случайного члена в регрессионном уравнении: (α + βх) −(a +bx +ε) = у − y =ε , где ε – случайный член, α – истинное значение свободного члена в генеральной совокупности, β – истинное значение коэффициента регрессии, а – оценка α,b – оценка β, у =α +βх ; у = a +bх +ε . Точность оценки обратно пропорциональна величине случайного члена. Чем больше случайный член, тем менее точной будет оценка. В идеале ε=0 и

тогда а=α, b=β.

Учитывая тот факт, что полученные параметры уравнения (a и b) всего лишь оценки, необходимо проверить их статистическую значимость с помощью t-статистики Стьюдента. Выдвигаем нулевую гипотезу о том, что параметры уравнения (a и b), а также

348

коэффициент корреляции (rxy) равны нулю, то есть незначимы. t- табличное, с которым будет проводиться сравнение, выбирается из специальной статистической таблицы в зависимости от числа степеней свободы и желаемого уровня значимости14.

Число степеней свободы (df – degrees of freedom)15 – это число, варьирующих свободно, единиц выборки (хi). Скажем, если выборка состоит из n элементов и характеризуется средней Х , то любой элемент выборки (хi) можно получить, вычитая сумму

N

элементовåxi (не включая сюда, естественно, сам искомый

i=1

элемент), из произведения n × X . Рассмотрим пример. Пусть n=7: Х={3; 4; 6; 8; 9; 11; 14}, Х =7,857. Требуется найти пятое по счету

i=1

Следовательно, только один элемент выборки не имеет здесь свободы, выражен через другие элементы и среднее. То есть число степеней свободы для данной задачи df =n-1=7-1=6.

Когда присутствует несколько ограничений свободы (два и более), число степеней свободы вычисляется по формуле: df=n-k, где k - число ограничений свободы вариации. В общем, для таблицы данных число степеней свободы определяют по формуле: df=(с-1)∙(n-1), где с – число столбцов, а n – число строк, соответствующих, в частности, числу испытуемых.

Вычисляем: 1) стандартную ошибку регрессии16; 2) стандартную ошибку для свободного члена; 3) стандартную ошибку для коэффициента регрессии; 4) стандартную ошибку для коэффициента корреляции.

Стандартная ошибка регрессии:

14 Таблица называется: «Критические значения t-критерия Стьюдента при различных уровнях значимости р. Табличное значение t зависит от числа степеней свободы.

15Обозначают и другими символами, например: ν.

16Стандартные ошибки также называют случайными ошибками.

349

Откуда стандартная ошибка параметра а:

стандартная ошибка параметра b:

стандартная ошибка коэффициента корреляции r:

Стандартные ошибки для коэффициента регрессии и свободного члена вычисляются, чтобы: 1) оценить их статистическую значимость по t-критерию; 2) построить соответствующие доверительные интервалы для параметров уравнения.

Доверительный интервал для коэффициента регрессии показывает, в каких пределах может находиться данный коэффициент в генеральной совокупности: от b-tmb до b+tmb. Доверительный интервал для свободного члена показывает, в каких пределах может находиться данный коэффициент в генеральной совокупности: от а-tmа до а+tmа. t-статистика для коэффициента регрессии рассчитывается по формуле: tb=b/mb, значение которой сравнивается с табличным критерием; t-статистика для свободного члена рассчитывается по формуле: ta=а/mа, значение которой сравнивается с табличным критерием; t-статистика для коэффициента корреляции рассчитывается по формуле: tr=r/mr, значение которой сравнивается с табличным. На основании t- статистик делается вывод о том, значимо ли отличаются от нуля полученные коэффициенты.

Зная факторную и остаточную дисперсии на одну степень

свободы, находим F-критерий Фишера: F= σ22факторная .

σ остаточная

350

σ2остаточная= åj=1 ( y − y)2 .

N −m −1

Это эмпирическое значение F-критерия Фишера сравнивается с табличным17. При нахождении табличного значения нужно использовать число степеней свободы (df) для факторной дисперсии (по горизонтали таблицы) и число степеней свободы (df) для остаточной дисперсии (по вертикали таблицы). Число степеней свободы для факторной дисперсии невелико, поскольку равно числу объясняющих переменных модели m. Обозначим его, как df1. Для парной регрессии m=1, для параболы второго порядка – двум, для кубической функции – трем, для полинома пятой степени – пяти и т.д. Число степеней свободы для остаточной дисперсии равно n-m-1, где n или N – число наблюдений. Обозначим его как df2. Например, если у нас было 20 наблюдений (20 уровней ряда по переменным икс и игрек) при одной независимой переменной, то df2 =20-1-1=18, а df1=1.

РЕЗЮМЕ (основные определения и формулы)

Аксиома (фундаментальный закон) всеобщего детерминизма (general determinism axiom) утверждает – у всякого следствия есть причина: все многообразие управляющих факторов уместно свести к действию трех групп сил: Y = f (Fa , Fb , Fc ) , где Y – вектор поведения конкретного индивида, социальной

группы или человечества; Fa = {Fa1 , Fa2 ...Fan } – группа сил космотеллурической среды, в частности, солнечная радиация, температура, атмосферное давление, влажность и прочее; Fb ={Fb1 , Fb2 ...Fbm } – совокупность безусловных биологических сил (дыхание, питание, размножение и т.п.), Fc ={Fc1 , Fc2 ...Fck } –

17 Таблица называется: «Критические значения F-критерия Фишера для уровней статистической значимости р≤0,05, р≤0,01 и т.д., с числом степеней свободы df1 – горизонталь или числитель и df2 – вертикаль или знаменатель». Статистическую значимость в литературе обозначают по-разному, иногда как р иногда как α.

351

совокупность социальных факторов, включая влияние конкретной культуры, моральных и правовых норм, идеалов и иных ценностей, эффект совести – прежней дрессировки, государственного принуждения и общественного насилия; f – правило (закон – для функциональной связи или закономерность – для корреляционной), устанавливающее связь между левой и правой частями уравнения, если так-то меняются управляющие переменные, то так-то меняется управляемая переменная.

Бисериальный (biserial) коэффициент корреляции

вычисляется по формуле:

переменной Y, которым соответствуют значения единицы (признак единица) по переменной X, Y0 - среднее по элементам переменной Y, которым соответствуют значения нуль (признак нуль) по переменной X, n1 – количество единиц по переменной X, n0 – количество нулей по переменной X, N= n0+ n1 – число наблюдений по переменной X, sy – стандартное отклонение по переменной Y:

Гомоскедастичность (homoscedasticity) и гетероскедастичность (heteroscedasticity) – при проведении параметрического регрессионного и корреляционного анализа важно, чтобы вероятность наступления величины ε (случайный член), была одинаковой для всех наблюдений. Это условие называется гомоскедастичностью («одинаковый разброс»). При гетероскедастичности это условие не выполняется, и оценки могут быть смещенными. При нарушении гомоскедастичности имеет

место неравенство: σ 2ε x1 ¹ σ 2ε x2 ¹ σ 2ε x k . При гомоскедастичности,

напротив, имеет место равенство дисперсий остатков.

Детерминации коэффициент (R2) (coefficient of determination) в парной регрессии (двумерные данные) – линейный коэффициент корреляции, возведенный в квадрат. Один из показателей объяснительной силы модели. Показывает, какой

352

процент вариации зависимой переменной вероятно вызван вариацией независимой переменной.

Детерминации коэффициент (R2) (coefficient of determination) в множественной регрессии – показатель вариации зависимой переменной от совместной вариации факторных переменных, отвечает на вопрос, какой процент вариации Y вероятно можно объяснить влиянием независимых переменных.

Дифференциальное уравнение (differential equation) – уравнение, содержащее независимую переменную, неизвестную первообразную функцию и её известные производные различных порядков.

Корреляция (correlation) – статистико-вероятностный показатель силы и направления связи между двумя и более переменными.

Корреляционное отношение Пирсона (Pearson’s correlation ratio) вычисляется по одной из равнозначных формул:

таблицы.

353

пропорциональности (k) в любой линейной зависимости всегда

y y − y

константа (постоянная величина): k=const, k= x = x1 − x0

1 0

(соотносятся абсолютные приросты по икс и по игрек), тангенс угла наклона, он определяет крутизну наклона линии – чем больше коэффициент пропорциональности, тем круче наклон линии, выше скорость изменения функции.

Линейная вероятностная модель двоичного выбора состоит в том, что зависимая переменная являет собой вероятность, линейно зависящую от объясняющей переменной. То есть в данном случае зависимая переменная напоминает фиктивную переменную.

Метод наименьших квадратов (МНК) (ordinary least squares) (OLS) – при соблюдении определенных условий дает несмещенные и эффективные оценки параметров регрессионного уравнения, реализован во многих ППП.

Множественный коэффициент ранговой корреляции (МКРК) или коэффициент конкордации (coefficient of concordance), обычно обозначаемый английской буквой W, применяется для измерения силы связи между произвольным числом переменных модели, вычисляется по формуле:

W = 12G

m2 ×(N 3 - N ) , где m – число переменных модели, N – число

наблюдений (строк), G – отклонение суммы квадратов рангов от

средней квадрата рангов:

значения по переменной икс; аналогично и по переменным Y, Z и

т.д., в зависимости от числа переменных включенных в модель.

355