Ольков_С_Г_Аналитическая юриспруденция

Требуется: 1) подобрать авторегрессионную модель; 2) сделать прогноз преступности в РФ на 2011, 2012 и 2013 годы.

Решение:

1) Построим вспомогательную таблицу:

192

Из таблицы видно, что в расчетах авторегрессии первого порядка исчезнет одна строка, в расчетах авторегрессии второго порядка – 2 строки, и в расчетах авторегрессии третьего порядка – три строки. Три нижние строки таблицы показаны исключительно в демонстрационных целях.

Таким образом, имеем таблицу исходных данных для проведения регрессионного анализа:

2) Первоначально подберем уравнение множественной регрессии для p переменных, которых в нашем случае мы выбрали три:

193

Как видно начало координат здесь соответствует 1994 году (сдвиг в три периода от 1991 года).

Для подбора уравнения в программе Excel входим в «Данные», «Анализ данных», «Регрессия», заполняем диалоговое окно (выделяем столбец зависимой переменной и столбцы независимых переменных), и получаем решение:

194

6

Получаем авторегрессионное уравнение третьего порядка:

Y =708 +1,12 ×Yi−1 -0,4527 ×Yi−2 -0,0213 ×Yi−3 .

3) Проверяем статистическую значимость параметра b3, имеющего наивысший порядок (в нашем случае третий):

b3=-0,0213, стандартная ошибка которого: Sb3 =0,250711. Число степеней свободы: df= n-2p-1 = 20-2∙3-1=13.

Для нашего примера проверим нулевую и альтернативную гипотезу, памятуя о правилах принятия и отклонения гипотез:

Н0: b3=0; Н1: b3≠0.

итоговой регрессионной статистике этот показатель уже был рассчитан, и его можно было не вычислять в ручную). Примем уровень значимости равным α=0,05, и отыщем по таблице критических значений критические величины двустороннего t- критерия при 13 степенях свободы. Получим интервал [- 2,1606; 2,1606]. Эмпирическое значение t-статистики полученное нами, попадает в данный интервал: -2,1604<-0,0849<2,1606, а, следовательно, нулевая гипотеза не отвергается. На не значимость коэффициента регрессии при третьей переменной указывало и p- значение равное 0,93358. Поскольку 0,93358>0,05 (p-значение>α).

4) Отвергаем авторегрессионное уравнение третьего порядка и строим новое регрессионное уравнение второго порядка:

195

196

Как видно начало координат здесь соответствует 1993 году (сдвиг в два периода (лага) от 1991 года).

Получаем авторегрессионное уравнение второго порядка:

Y =605 ,9 +1,06 ×Yi−1 -0,367 ×Yi−2 .

Для нашего примера проверим нулевую и альтернативную гипотезу, памятуя о правилах принятия и отклонения гипотез:

Н0: b2=0; Н1: b2≠0.

Число степеней свободы: df= n-2p-1 = 20-2∙2-1=15. Эмпирическая t-статистика: -1,68. Для 15 степеней свободы критическое значение t-статистики [-2,1315; 2,1315]. То есть имеем:

-2,1315<-1,68<2,1315, а, следовательно, нулевая гипотеза не отвергается; (p-значение (0,11)>α (0,05).

5) Отвергаем авторегрессионное уравнение второго порядка и строим новое регрессионное уравнение первого порядка:

197

Эмпирическая t-статистика: 4,5. Для 17 степеней свободы критическое значение t-статистики [-2,1098; 2,1098]. То есть имеем:

198

-2,1315<4,5>2,1315, а, следовательно, нулевая гипотеза отвергается; (p-значение (0,000315)<α (0,05).

Гипотеза Н0: b1=0 отвергается, и принимается альтернативная гипотеза Н1: b1≠0.

Таким образом, для прогнозирования коэффициентов преступности в РФ пригодна лишь авторегрессионная модель первого порядка.

7) Сделаем прогноз преступности в РФ на 2011 год. Для этого возьмем значение коэффициента преступности за последний (в нашем случае 2010) год равное 1852, и подставим его в авторегрессионное уравнение первого порядка:

Задача решена.

Ответ: 1) для прогнозирования преступности в РФ пригодна авторегрессионная модель первого порядка:

прогнозирования.

199

Очевидно, что выполнить прогноз какого-либо юридического процесса можно с использованием различных моделей25. Например, прогноз преступности в РФ, как я показал выше, уместно сделать с помощью авторегрессионной модели первого порядка. Но тот же прогноз уместно сделать по простой линейной трендовой модели, приняв в качестве независимой переменной время, можно использовать метод скользящих средних, делать прогноз с помощью уравнения квадратичного или экспоненциального тренда и т.д. Какой метод лучше?

Самый простой способ диагностики в отношении регрессионных моделей – это сравнение скорректированных R2. Кроме того, используются специальные модели выбора первого и второго порядков, а также метод относительных разностей, анализ остатков, измерение абсолютной и среднеквадратичной остаточных погрешностей, средняя ошибка аппроксимации.

Принципы выбора моделей прогнозирования26:

1)Выполнение анализа остатков (residual), то есть изучение разностей между предсказанными и наблюдаемыми значениями: ε= yi − yi . Здесь важно обращать внимание на 2 позиции: а) на величину остатков. Вообще говоря, чем больше суммарная величина остатков, тем хуже прогнозная модель; б) на динамику остатков. Если в остатках имеется тенденция, сезонные или циклические колебания, то стоит подумать над возможностью использования других моделей, где бы остатки распределялись случайным образом.

2)Когда анализ остатков не позволяет определить единственную адекватную модель, можно прибегнуть к другим методам диагностики, например, измерить абсолютную и среднеквадратичную остаточные погрешности. Основываясь на МНК (метод наименьших

25Кроме тех моделей прогнозирования, которые рассмотрены выше используются

идругие, применение которых показано мной при решении типовых задач.

26 Левин, Дэвид М. Статистика для менеджеров с использованием Microsoft Excel/ Левин, Дэвид М, Стефан, Дэвид, Крембиль, Тимоти С., Беренсон, Марк Л. – 4-е изд.: Пер. с англ.

– М.: Издательский дом «Вильямс», 2004. С.1011-1013; 1032-1037.

200

квадратов) уместно провести регрессионный анализ и вычислить стандартную ошибку оценки SXY (при анализе в

ППП Excel эта величина всегда выводится в первом окне вместе с коэффициентом корреляции). Данная величина представляет собой сумму квадратов разностей между фактическими и предсказанными значениями временного ряда. В идеале SXY = 0. Следовательно, чем меньше SXY, тем эффективнее прогнозная модель. Недостатком данного подхода является завышение ошибок при прогнозировании отдельных значений – любая большая разница между оценкой и фактом при вычислении суммы квадратов ошибок SSE возводится в квадрат. В этой связи ряд авторов считает более полезным инструментом среднее абсолютное отклонение:

MAD =ån Yi −Yi , где MAD (mean absolute deviation) – среднее

i=1 n

абсолютное отклонение.

По моему мнению, не менее эффективным инструментом будет вычисление средней ошибки аппроксимации:

аппроксимации, тем лучше модель предсказывает поведение исследуемого процесса.

3)Принцип экономии (parsimony) – из нескольких равноправных моделей следует выбирать простейшую.

РЕЗЮМЕ (основные определения)

Автокорреляция (autocorrelation) в остатках в регрессионном анализе – зависимость текущих остатков от предшествующих.

Авторегрессионная модель (autorеgressive modeling) – группа специальных методов прогнозирования по временным рядам основанная на том, что конкретные значения ряда коррелированны, как с предшествующими, так и последующими.

201