Ольков_С_Г_Аналитическая юриспруденция

В программе Excel система линейных уравнений решается стандартно: выделяем в столбце место для матрицы ответа, ставим в первой ячейке этого столбца знак =(МУМНОЖ(МОБР(вводим матрицу А);(вводим матрицу В). Далее нажимаем комбинацию клавиш Ctrl+Shift+Enter и получаем ответ:

х =−550

y =−6846 .

4) Находим вторые частные производные от исходной функции y = f (x, y) . Их четыре, но смешанные частные производные равны, поэтому достаточно вычислить любую из них.

значения для х и y, и найти значения вторых производных. Иными словами нужно найти вторые частные производные и определить

возводим в квадрат вторую смешанную частную производную и вычитаем из неё произведение вторых частных производных по икс и по игрек: D = 52 - 60 ×0 = 25 .

7) Поскольку Δ>0, то стационарная точка является седловой. Посмотрим какое значение принимает функция

m(x, y) =1230 x +2750 y −30 x2 +5xy в седловой точке, подставив в уравнение точки покоя для икс и игрек:

m(х, y) =1230 ×(-550 ) +2750 ×(-6846 ) -30 ×(-550 )2 +. +5 ×(-550 ) ×(-6846 ) = -660000

Вышеприведенная задача относится к классу задач так называемой безусловной оптимизации, что связано с простым

44

анализом производных, поиском максимумов и минимумов функции.

Наряду с безусловной оптимизацией для функций двух и более переменных существует условная оптимизация.

Условная оптимизация.

Осуществляя управление преступностью, отдел внутренних дел, по сути, должен максимизировать функцию полезности своей деятельности по предупреждению и борьбе с преступностью в пределах, имеющихся ограниченных ресурсов (сил и средств).

Из теории кардиналистской модели полезности известно, что совокупные расходы не могут превышать наличную покупательную способность (бюджет). Для максимизации полезности нужно организовать расходы (распределение сил и

единицы каждого товара, были равны и между собой и предельной полезностью дополнительно сбереженного рубля. То есть формальные условия максимизации полезности в многотоварной среде сводятся к двум функциям:

1) TU = f ( X1, X 2 ... X n ) , где TU (total utility) – функция совокупной полезности для n товаров, которую желательно

которые можно потратить), P – цена товара, Х – количество приобретаемого товара. Сбережения (резерв) рассматривается как один из товаров.

Для того чтобы решить подобную задачу со многими неизвестными, вводится искусственное неизвестное – множитель Лагранжа и генерируется новая функция:

Z = f ( X1, X 2... X n ) +λ×(I (PX ) -P1 X1 -P2 X 2 -... -Pn X n ) .

Далее алгоритм действий таков:

45

1) Для зависимой переменной Z по каждой переменной Х и по множителю Лагранжа (λ) находим частные производные первого

порядка: ∂∂XZ = ∂∂TUX −λP и ∂∂Zλ = I (PX ) −PX .

Введем также важное понятие предельной полезности –

MU (marginal utility)= ∂¶TUX (первая производная от совокупной

полезности).

2) Приравняем частные производные к нулю:

3) Решаем данную систему уравнений и получаем ответ о том, комбинация каких товаров принесет нам максимальную полезность. Итоговые цифры будут соответствовать равенству:

Задача. Пусть управлению полиции нужно закупить технику для оперативно-розыскных и криминалистических нужд. Очевидно, что денежные средства у управления внутренних дел ограничены соответствующей бюджетной строкой (I=570 тыс.руб). Цена единицы криминалистической техники (х) составляет 20 тыс. рублей, а цена оперативно-розыскной (y) 25 тыс. рублей. Примем, что функция совокупной полезности для управления внутренних дел имеет вид: TU =15 x +20 y −0,6x2 −0,9 y2 .

РЕШЕНИЕ:

Для того чтобы решить подобную задачу со многими неизвестными, вводится искусственное неизвестное – множитель Лагранжа и генерируется новая функция:

Z = f ( X1, X 2... X n ) +λ×(I (PX ) -P1 X1 -P2 X 2 -... -Pn X n ) .

46

Для нашей задачи получим:

Z =15 x +20 y -0,6x2 -0,9 y2 +λ×(570 -20 x -25 y) .

Для зависимой переменной Z по переменным x, y и по множителю Лагранжа (λ) находим частные производные первого порядка:

∂Z = ∂TU −λPx =15 −1,2х −20λ ; ∂X ∂X

∂∂YZ = ∂∂TUY −λPy = 20 −1,8y −25λ ;

∂∂Zλ = I (PX ) − PX − PY = 570 −20 x −25 y .

Приравняем частные производные нулю:

∂Z =15 −1,2х −20λ = 0 ; ∂X

∂∂YZ = 20 −1,8y −25λ = 0 ; ∂∂Zλ =570 −20 x −25 y = 0 .

Построим матрицу для решения системы уравнений:

Решим систему уравнений с помощью матричного метода: выделяем столбец из трех строк и в верхней строке записываем:

=(МУМНОЖ(МОБР(вводим матрицу А);(вводим матрицу В). Далее нажимаем комбинацию клавиш Ctrl+Shift+Enter и получаем

47

юридических процессов с помощью метода линейного программирования.

Задачи так называемого линейного программирования относятся к классу оптимизационных, и применяются для отыскания эффективных управленческих решений в условиях высокой определенности (то есть исходные для модели данные мы твердо знаем, они не носят вероятностный характер). По смыслу такие задачи не отличаются от задач безусловной и условной оптимизации, где мы ищем экстремумы. Разница заключается в алгоритме и масштабах расчетов. Здесь исследуются системы линейных неравенств и уравнений с помощью симплексного метода (осуществляется последовательный перебор вершин). Метод линейного программирования, особенно реализованный в компьютерных математических пакетах, позволяет решать задачи любых размерностей. Например, можно оптимизировать экономику страны, крупного завода или мелкого предприятия.

Ктиповым задачам линейного программирования относятся:

1)задача использования ресурсов или планирования производства;

2)задача о смесях (составление рациона, подбор диеты); 3) задача о загрузке оборудования и использовании мощностей; 4) задача об обработке материала (о раскрое, распиле, комплектности и т.п.). 5) транспортная задача; 6) задача о назначениях (разновидность транспортной задачи).

Не стоит говорить о том, насколько велика роль линейного программирования для эффективной деятельности законодательных, судебных и исполнительных органов государственной власти, правоприменительной, правоохранительной и иной юридической деятельности. Начиная от принятия государственного бюджета и заканчивая составлением рациона для заключенных, правил выставления нарядов охраны,

везде будет полезно использование метода линейного

48

программирования для принятия оптимальных управленческих решений. Впрочем, им можно и не пользоваться и тогда принимать неэффективные, глупые решения.

Проиллюстрируем применение метода линейного программирования в алгебраической и геометрической форме (решение в геометрической форме возможно не более чем для трех переменных) на простой задаче. Пусть экспертное бюро совершает 2 вида экспертиз на платной основе: 1) экспертиза «Ф»; 2) Экспертиза «С». Нам необходимо с учетом ограничений по труду и расходным материалам максимизировать функцию доходов экспертного бюро.

1)Введем переменные модели: Х1 и Х2. Примем Х1 – число экспертиз типа «Ф», проводимых за день; Х2 – число экспертиз типа «С», выполняемых за день.

2)Допустим, что производство экспертизы типа «Ф» стоит 90 у.е., а экспертиз типа «С» 30 у.е.

3)Зададим целевую функцию, которую нужно будет максимизировать: G=90X1+30X2.

4)Введем ограничения по расходным материалам, предположив в данном случае, что для производства как экспертиз типа «Ф», так и экспертиз типа «С» используются сходные расходные материалы. Пусть экспертное бюро имеет 460 килограммов расходного материала в месяц. На выполнение одной экспертизы типа «Ф» идет 4 килограмма расходного материала, а на производство экспертизы типа «С» 2 кг. Отсюда получим неравенство ограничений по расходным материалам: 4Х1+2Х2≤460.

5)Введем ограничение по труду, поскольку эксперты трудятся

всоответствии с действующим трудовым законодательством, устанавливающим продолжительность рабочей недели 40 часов. Допустим, что в бюро работает 30 экспертов данного направления (30∙40=1200 часов). Трудозатраты на производство экспертизы «Ф» составляют в среднем 15 часов, а экспертизы «С» 3 часа. Отсюда получим неравенство ограничений по трудозатратам: 15Х1+3Х2≤1200.

49

6)Определим граничные условия: Х1≥0; Х2≥0, поскольку нельзя произвести отрицательное число экспертиз.

7)Построим график данной модели линейного программирования, взяв с учетом граничных условий (Х1≥0; Х2≥0) только первый квадрант декартовой системы координат, пустив по оси абсцисс переменную Х1, а по оси ординат переменную Х2 (можно и наоборот).

8)Строим линии, отражающие ограничения. Первое ограничение имеет вид 4Х1+2Х2≤460. Приняв Х2=0, получим Х1=460/4=115. На линии абсцисс (Х1) отмерим 115 делений. Приняв Х1=0, получим Х2=460/2=230. Отмерим по оси ординат (Х2) 230 делений. Соединив полученные точки, имеем область допустимых решений для первого ограничения с границей в виде линейного уравнения: Х2=230-2Х1.

Для второго ограничения 15Х1+3Х2≤1200, приняв Х2=0, имеем Х1=80. То есть по оси абсцисс (Х1) отмерим 80 делений. Приняв Х1=0, имеем Х2=400. Соединив точки под линией границы, включая точки на самой линии, имеем область допустимых решений для второго ограничения. Линия границы описывается уравнением: Х2=400-5Х1.

9)Строим график.

Рис. №1. Построение области допустимых решений (ОДР). Границы ОДР идут от точки 80 на линии абсцисс до нуля, далее по

50

оси ординат до точки 230, далее по линии Х2=230-2Х1 до точки пересечения с линией Х2=400-5Х1 и далее вниз по линии Х2=4005Х1 до точки 80 на оси абсцисс.

Любая точка внутри ОДР дает допустимое, но не оптимальное соотношение продаж услуг типа Х1 и Х2. Оптимальное решение – это точка в правом верхнем углу ОДР, где пересекаются линии ограничений.

Чтобы принять оптимальное решение, то есть максимизировать целевую функцию G=90X1+30X2 по соотношению продаж услуг типа Х1 и Х2 найдем точку пересечения линий Х2=230-2Х1 и Х2=400-5Х1, для чего решим систему уравнений:

10) Решаем систему уравнений.

=МУМНОЖ(МОБР(A2:B3);(C2:C3))

Оптимальное решение: для получения максимального дохода при соответствующих граничных условиях и ограничениях экспертному бюро нужно проводить 56 экспертиз типа «Ф» и 116 экспертиз типа «С» в неделю. Тогда доход экспертного бюро составит:

G=90∙56,6+30∙116,6=8592 у.е. в неделю.

51

Оптимальное решение находится в точке касательной линии Х2=286,4-3Х1 к угловой точке пересечения линий ограничений, что показано на нижеследующем рисунке. Линию Х2=286,4-3Х1 получаем, решая целевое уравнение: 90∙Х1+30∙Х2=8592.

Учитывая тот факт, что модели линейного программирования обычно включают большое число переменных, графическое решение исключается и остается только алгебраическое. Для решения задач линейного программирования применяется так называемый симплексный метод (метод перебора вершин), реализованный в различных пакетах прикладных компьютерных программ, включая ППП Excel, где имеется такой инструмент, как «Поиск решения».

Здесь мы можем также получить дополнительную полезную информацию для принятия оптимальных решений, что будет продемонстрировано на соответствующем примере.

Рис. №2. Отыскание точки оптимума.

Решим задачу оптимизации целевой функции экспертного бюро с помощью ППП Excel.

Максимизировать целевую функцию: G=90X1+30X2→max Ограничения и граничные условия:

52

ì4Х1+ 2Х2 £ 4 6 0 ïí1 5Х1+ 3Х 2 £ 1 2 0.

ïî Х1³ 0; Х2 ³ 0

Решаем:

1)Оставим пустую ячейку А1 (или любую другую, какая вам понравится) для переменной Х1, а ячейку А2 для переменной Х2.

2)В ячейке В1 задаем целевую функцию: =90*А1+30*А2.

3)В ячейках В2 и В3 задаем левые части ограничений:

=4*А1+2*А2 =15*А1+3*А2

4)Последовательно выполняем команды: «Данные», «Поиск решения». Откроется диалоговое окно «Поиск решения», которое необходимо заполнить: 1) установить целевую ячейку (выделить В1); 2) в графе «равной» отметим «максимальному значению»; 3) в графе «изменяя ячейки» сначала нажмем ярлык «добавить», а потом выделим А1 и А2, чтобы отобразить переменные модели, тут же выберем знак неравенства между левой и правой частью граничного условия и введем правую часть граничного условия - нуль; аналогичным образом введем левые и правые части ограничений, после чего нажмем кнопку ОК, и в появившемся основном диалоговом окне клавишу «выполнить».

5)Получим результат:

А В

156,6666

7 8600

53