|
|
|
|
O C C u r v e ( X - b a r C h a r t ) ; v a r ia b le : V a r 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
C o n t r o l L im it s : U C L = 4 0 ,5 1 9 1 9 3 L C L = 7 ,4 1 4 1 4 0 |
|
|
|
|
1 |
,0 |
|
|
|
|
|
|
Error) |
0 |
,9 |
|
|
|
|
|
|
0 |
,8 |
|
|
|
|
|
|
0 |
,7 |
|
|
|
|
|
|
(beta |
|
|
|
|
|
|
0 ,6 |
|
|
|
|
|
|
Acceptance |
0 |
,5 |
|
|
|
|
|
|
0 |
,4 |
|
|
|
|
|
|
0 |
, 3 |
|
|
|
|
|
N = 5 |
of |
0 |
,2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N = 2 |
Probability |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
,1 |
|
|
|
|
|
N = 3 |
0 |
,0 |
|
7,414140 10,172895 12,931649 15,690404 18,449158 21,207912 23,966667 26,725421 29,484175 32,242930 35,001684 37,760439 |
40,519193 |
43,277947 |
46,036702 |
N = 4 |
|
N = 6 |
|
1,896632 |
4,655386 |
|
N = 7 |
|
N = 8 |
|
N = 9 |
|
|
|
|
M e a n S h if t t o V a lu e ; S t e p S iz e = S ig m a |
|
|
|
|
В работе Статистика для менеджеров с использованием |
Microsoft Excel14 приводятся следующие способы определения |
контрольных границ: |
|
|
|
|
Контрольные границы размаха
R ± 3R × d3 . d2
Нижняя контрольная граница (НКГ):
НКГ = R - 3R × d3 . d2
Или
НКГ =D3 R.
14 Левин, Дэвид М., Стефан, Дэвид, Кребиль, Тимоти С., Беренсон, Марк Л. Статистика для менеджеров с использованием Microsoft Excel, 4-е изд.: Пер. с англ. – М.: Издательский дом «Вильямс», 2004. С. 1133, 1136.
Верхняя контрольная граница (ВКГ):
ВКГ = R + 3R × d3 . d2
Или
ВКГ = D4 R.
Средний размах:
R = 1 N R .
k åi=1 i
Алгоритм: 1) находим размах по каждой строке (из максимального значения вычитаем минимальное) и записываем его в отдельном столбце; 2) складываем значения размахов по итоговому столбцу и делим на число строк, получая средний
размах для всей совокупности наблюдений.
Среднее средних:
Х= 1 åk Хi .
k i=1
Алгоритм: 1) складываем значение по i-ым строкам. Например, если у нас шесть выборок (подгрупп) (k=6), то первоначально находим средние по каждой строке (складываем шесть значений и делим на шесть) и записываем полученное частное среднее в соответствующую i-ю строку 7-го столбца; 2) далее складываем значения по j-му столбцу ( в нашем примере по седьмому столбцу) и делим полученное число на число наблюдений (общее число строк), получая в итоге среднее средних.
86
Контрольные границы среднего значения
Х ±3× R . d2 × 
n
Нижняя контрольная граница (НКГ):
Или
НКГ = X − A2 R.
Верхняя контрольная граница (ВКГ):
Или
ВКГ = X + A2 R.
Таблица №КК1
Множители контрольных карт
Число |
|
|
|
|
|
наблюдений |
d2 |
d3 |
D3 |
D4 |
A2 |
в выборке |
2 |
1,128 |
0,853 |
0,000 |
3,267 |
1,880 |
3 |
1,693 |
0,888 |
0,000 |
2,575 |
1,023 |
4 |
2,059 |
0,880 |
0,000 |
2,282 |
0,729 |
5 |
2,326 |
0,864 |
0,000 |
2,114 |
0,577 |
6 |
2,534 |
0,848 |
0,000 |
2,004 |
0,483 |
7 |
2,704 |
0,833 |
0,076 |
1,924 |
0,419 |
8 |
2,847 |
0,820 |
0,136 |
1,864 |
0,373 |
9 |
2,970 |
0,808 |
0,184 |
1,816 |
0,337 |
10 |
3,078 |
0,797 |
0,223 |
1,777 |
0,308 |
11 |
3,173 |
0,787 |
0,256 |
1,744 |
0,285 |
12 |
3,258 |
0,778 |
0,283 |
1,717 |
0,266 |
13 |
3,336 |
0,770 |
0,307 |
1,693 |
0,249 |
14 |
3,407 |
0,763 |
0,328 |
1,672 |
0,235 |
15 |
3,472 |
0,756 |
0,347 |
1,653 |
0,223 |
16 |
3,532 |
0,750 |
0,363 |
1,637 |
0,212 |
17 |
3,588 |
0,744 |
0,378 |
1,622 |
0,203 |
18 |
3,640 |
0,739 |
0,391 |
1,609 |
0,194 |
19 |
3,689 |
0,733 |
0,404 |
1,596 |
0,187 |
20 |
3,735 |
0,729 |
0,415 |
1,585 |
0,180 |
21 |
3,778 |
0,724 |
0,425 |
1,575 |
0,173 |
22 |
3,819 |
0,720 |
0,435 |
1,565 |
0,167 |
23 |
3,858 |
0,716 |
0,443 |
1,557 |
0,162 |
24 |
3,895 |
0,712 |
0,452 |
1,548 |
0,157 |
25 |
3,931 |
0,708 |
0,459 |
1,541 |
0,153 |
Вероятность того, что процесс не выходит за пределы контрольных границ при наличии верхней и нижней контрольной границы:
|
|
æ |
|
|
|
|
|
|
|
|
ç |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Р(НКГ |
< Х <ВКГ ) =P |
ç |
НКГ -Х |
ç |
|
|
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
ç |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d2 |
|
|
è |
|
|
|
|
|
|
|
ö |
|
|
|
|
|
|
|
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
<Z < |
ВКГ -Х ÷ |
|
|
|
|
|
. |
|
|
R |
÷ |
|
|
|
|
|
|
÷ |
|
|
d2 |
|
|
ø |
Когда мощность имеет только верхнюю контрольную границу:
æ |
|
|
|
|
|
ö |
ç |
|
|
|
|
|
|
÷ |
|
|
|
|
|
|
ç |
ВКГ -Х ÷ |
Р( Х <ВКГ ) =P Z < |
|
|
|
|
|
. |
ç |
|
R |
÷ |
ç |
|
|
|
|
|
÷ |
|
d2 |
è |
|
ø |
Когда мощность имеет только нижнюю контрольную границу:
|
|
æ |
|
|
|
|
|
|
ö |
|
|
ç |
|
|
|
|
|
|
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ç |
НКГ -Х |
÷ |
Р(НКГ |
< Х ) =P |
ç |
|
|
|
|
|
|
<Z . |
|
|
|
R |
÷ |
|
|
ç |
|
|
|
|
|
|
÷ |
|
|
|
d2 |
|
|
è |
|
ø |
Показатель мощности (capability index) - Cp, вычисляется по формуле:
С |
p |
= |
ВКГ − НКГ |
|
|
æ |
|
R |
|
ö |
|
|
|
6 ×ç |
|
|
|
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ç |
|
|
|
÷ |
|
|
|
è d2 |
ø |
= размах спецификац ии . размах процесса
В числителе показано расстояние между верхней и нижней
допустимыми границами – это размах спецификации (specification
spread). Знаменатель равен шести стандартным отклонениям
данных (в специальной литературе это называется размахом 88
процесса). Чем большим является значение Cp, тем более эффективным (мощным) является процесс с точки зрения его соответствия предъявляемым требованиям, удовлетворения потребностей тех, кто в нем нуждается. Например, если Cp=1, то 99,73% наблюдений лежат в пределах контрольных границ при условии, что процесс центрирован. Если Cp>1, то потенциал процесса обеспечивает, что более 99,73% наблюдений лежат в пределах контрольных границ.
Показатель мощности CPL вычисляется по формуле:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
СPL = |
|
|
- НКГ |
. |
X |
|
|
|
æ |
|
R |
|
ö |
|
3×ç |
|
|
|
÷ |
|
|
|
|
ç |
|
|
|
÷ |
|
|
|
|
è d2 |
ø |
|
Показатель мощности CPU вычисляется по формуле:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ВКГ - |
|
. |
СPU = |
X |
|
æ |
|
R |
|
ö |
|
|
3×ç |
|
|
|
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
ç |
|
|
|
÷ |
|
|
è d2 |
ø |
|
Если любая из приведенных величин (CPU или CPL) равна единице, то это означает, что среднее значение процесса отстоит от верхней (нижней) допустимой границы на три стандартных отклонения. Если процесс имеет только одну допустимую границу (верхнюю или нижнюю), то данный показатель (CPU или CPL)
измеряет характеристики процесса. При этом, чем больше будет его
количественная величина, тем лучше.
Показатель мощности Сpk принимается равным минимальному
значению CPL или CPU, то есть из них выбирается меньшее – это и
есть Сpk .
Можно использовать и другую сходную методику составления R-карт и Х −карт, представленную в работе Эндрю Ф. Сигела «Практическая бизнес-статистика»15.
Таблица №КК2
Множители для построения R-карт и Х −карт
n |
A |
A2 |
D2 |
D1 |
D2 |
D3 |
D4 |
|
2,121 |
1,880 |
1,128 |
0,000 |
3,686 |
0,000 |
3,267 |
2 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
1,732 |
1,023 |
1,693 |
0,000 |
4,358 |
0,000 |
2,574 |
3 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
1,500 |
0,729 |
2,059 |
0,000 |
4,698 |
0,000 |
2,282 |
4 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
1,342 |
0,577 |
2,326 |
0,000 |
4,918 |
0,000 |
2,114 |
5 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
1,225 |
0,483 |
2,534 |
0,000 |
5,078 |
0,000 |
2,004 |
6 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
1,134 |
0,419 |
2,704 |
0,204 |
5,204 |
0,076 |
1,924 |
7 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
1,061 |
0,373 |
2,847 |
0,388 |
5,306 |
0,136 |
1,864 |
8 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
1,000 |
0,337 |
2,970 |
0,547 |
5,393 |
0,184 |
1,816 |
9 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
0,949 |
0,308 |
3,078 |
0,687 |
5,469 |
0,223 |
1,777 |
10 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
11 |
0,905 |
0,285 |
3,173 |
0,811 |
5,535 |
0,256 |
1,744 |
15Сигел Э.Ф. Практическая бизнес-статистика.: Пер с англ. – М.: Издательский дом «Вильямс», 2002. С. 919-921.
|
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
0,866 |
0,266 |
3,258 |
0,922 |
5,594 |
0,283 |
1,717 |
12 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
0,832 |
0,249 |
3,336 |
1,025 |
5,647 |
0,307 |
1,693 |
13 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
0,802 |
0,223 |
3,407 |
1,118 |
5,696 |
0,328 |
1,672 |
14 |
0 |
5 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
0,775 |
0,223 |
3,472 |
1,203 |
5,741 |
0,347 |
1,653 |
15 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
0,750 |
0,212 |
3,532 |
1,282 |
5,782 |
0,363 |
1,637 |
16 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
0,728 |
0,203 |
3,588 |
1,356 |
5,820 |
0,378 |
1,622 |
17 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
0,707 |
0,194 |
3,640 |
1,424 |
5,856 |
0,391 |
1,608 |
18 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
0,688 |
0,187 |
3,689 |
1,487 |
5,891 |
0,403 |
1,597 |
19 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
0,671 |
0,180 |
3,735 |
1,549 |
5,921 |
0,415 |
1,585 |
20 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
0,655 |
0,173 |
3,778 |
1,605 |
5,951 |
0,425 |
1,575 |
21 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
0,640 |
0,167 |
3,819 |
1,659 |
5,979 |
0,434 |
1,566 |
22 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
0,626 |
0,162 |
3,858 |
1,710 |
6,006 |
0,443 |
1,557 |
23 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
0,612 |
0,157 |
3,895 |
1,759 |
6,031 |
0,451 |
1,548 |
24 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
0,600 |
0,153 |
3,931 |
1,806 |
6,056 |
0,459 |
1,541 |
25 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
Таблица.№S. Определение центральной линии и контрольных границ для построения R-карт и Х −карт.
|
|
|
Центральн |
Контрольные границы |
|
Х −карта |
Стандарт |
ая линия |
нижняя |
верхняя |
|
m |
m-A∙σ |
m+A∙σ |
|
|
задан |
|
|
m и σ |
|
|
|
|
|
известны |
|
|
|
|
|
Стандарт не |
Х |
Х − А2 R Х + А2 R |
|
|
|
|
|
задан |
|
|
|
|
|
|
|
|
R-карта |
Стандарт |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
задан |
d2σ |
D1σ |
D2σ |
|
дана σ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Стандарт не |
|
|
|
D3 R |
D4 R |
|
задан |
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задача. Дано таблица первичных выборочных данных о времени прибытия следственно-оперативных групп к местам происшествия по 6 районам области.
Таблица №1. Время прибытия следственно-оперативных групп на место происшествия в минутах
|
|
|
|
|
|
|
Средне |
|
Дежурны |
Район |
Район |
Район |
Район |
Район |
Район |
е |
Размах |
е сутки |
A |
B |
C |
D |
E |
F |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
15 |
23 |
22 |
17 |
24 |
32 |
22,2 |
17 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
17 |
22 |
25 |
23 |
21 |
21 |
21,5 |
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
14 |
18 |
29 |
15 |
25 |
17 |
19,7 |
15 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
24 |
31 |
20 |
24 |
27 |
30 |
26,0 |
11 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
18 |
24 |
17 |
29 |
29 |
16 |
22,2 |
13 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
30 |
26 |
24 |
32 |
22 |
19 |
25,5 |
13 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
26 |
19 |
31 |
24 |
19 |
31 |
25,0 |
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
19 |
21 |
30 |
25 |
26 |
23 |
24,0 |
11 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
22 |
35 |
25 |
19 |
31 |
20 |
25,3 |
16 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10 |
34 |
33 |
21 |
16 |
34 |
17 |
25,8 |
17 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11 |
29 |
16 |
22 |
31 |
27 |
15 |
23,3 |
16 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12 |
25 |
23 |
32 |
30 |
23 |
18 |
25,2 |
14 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
13 |
18 |
21 |
19 |
28 |
24 |
24 |
22,3 |
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
14 |
26 |
16 |
18 |
23 |
21 |
22 |
21,0 |
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
15 |
25 |
23 |
23 |
16 |
23 |
33 |
23,8 |
17 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
16 |
19 |
25 |
25 |
25 |
25 |
23 |
23,7 |
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
17 |
23 |
28 |
34 |
31 |
26 |
21 |
27,2 |
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
18 |
28 |
27 |
25 |
23 |
22 |
27 |
25,3 |
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
19 |
18 |
15 |
28 |
24 |
21 |
16 |
20,3 |
13 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
20 |
15 |
24 |
31 |
27 |
19 |
23 |
23,2 |
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
21 |
29 |
22 |
23 |
21 |
16 |
26 |
22,8 |
13 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
22 |
41 |
30 |
27 |
22 |
27 |
30 |
29,5 |
19 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
23 |
39 |
20 |
18 |
23 |
32 |
29 |
26,8 |
21 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
24 |
25 |
17 |
29 |
25 |
23 |
17 |
22,7 |
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
25 |
23 |
26 |
32 |
21 |
21 |
28 |
25,2 |
11 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
26 |
22 |
29 |
18 |
27 |
24 |
25 |
24,2 |
11 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
27 |
27 |
30 |
24 |
32 |
23 |
16 |
25,3 |
16 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
28 |
26 |
32 |
25 |
31 |
20 |
15 |
24,8 |
17 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
29 |
17 |
25 |
17 |
24 |
18 |
19 |
20,0 |
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
30 |
25 |
29 |
26 |
27 |
23 |
18 |
24,7 |
11 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Средне |
|
|
|
|
|
|
|
|
е |
24,0 |
12,87 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Требуется: 1) на основе имеющихся данных построить контрольные карты для размаха и среднего значения; 2) измерить вероятность своевременного прибытия следственно-оперативных групп на места происшествий и вероятность несвоевременного прибытия следственно-оперативных групп на места происшествий, если руководством установлено требование прибытия на место происшествия не позднее 30 минут; 3) исследовать мощность
процесса.
Решение для Х − карты:
1)Поскольку стандарты не заданы, строим контрольные карты
всоответствии с таблицей №S при отсутствии стандартов.
2)Для выборки размером n=16 табличные значения
множителя таковы: А2=0,483.
3)Центральная линия Х − карты: Х =24 .
4)Нижняя граница Х − карты:
Х- А2 R = 24 -0,483 ×12,87 =17,78 .
5)Верхняя граница Х − карты:
Х+ А2 R = 24 +0,483 ×12,87 =30,22 .
