пакете Statistica. Это, пожалуй, самый мощный статистический программный пакет, с достаточно хорошей графикой. В программе Excel диаграммы Парето имеются, но качество их построения заметно хуже.
II) Карты контроля качества: контрольные карты для размаха (R-карты (R-chart)) и для среднего значения ( Х − карты ( Х −chart )); карты контроля для процента брака (процентные контрольные карты). На эти карты наносятся центральная линия - центр тяжести исследуемого процесса, а также контрольные границы (верхняя и нижняя). Иногда только одна граница либо верхняя, либо нижняя. Эти границы показывают допустимые пределы вариации процесса. Выход за контрольную границу – это всегда сигнал к принятию управленческого решения, выяснению причины «ЧП». Если точки разбросаны относительно центральной линии случайным образом и лежат в пределах допустимых границ, то вмешиваться в процесс нецелесообразно. Считается, что процесс протекает нормально. Если же точки хотя и лежат в пределах допустимых границ, но в них прослеживается динамика, то есть появляется положительный или отрицательный тренд, то это причина беспокойства, следует вмешиваться и выяснять причину такой динамики. Другой причиной беспокойства может быть приближение точек процесса к контрольным границам и расположение около верхней, либо нижней контрольной границы.
Существуют контрольные карты, на которые наносится пять параллельных линей вместо трех: 1) центральная линия, идущая вдоль номеров выборок; 2) верхняя и нижняя предупреждающая граница; 3) верхняя и нижняя границы регулирования. Принцип работы здесь таков: 1) через соответствующие (обычно равные) интервалы времени производится выборка объемом n, по которой рассчитывают необходимые характеристики процесса, в частности, размах, среднее и другие; 2) Строится график (карта), на которую наносят полученные эмпирическим путем значения; 3) отслеживают поведение точек; 4) если произошел выход за границы регулирования, то процесс следует остановить и принимать
срочные меры по устранению недостатков; 5) если точки находятся между предупреждающими границами и границами регулирования, то это серьезный сигнал к принятию мер по устранению недостатков и проведению дополнительного мониторинга процесса; 6) процесс не находится под контролем, если не менее восьми точек расположены по одну сторону от центральной линии или не менее восьми последовательных точек образуют последовательное движение вверх или вниз (тенденция).
Эндрю Ф. Сигел отмечает, что использование карт контроля качества включает четыре стадии статистического анализа: 1) стадия проектирования. Здесь происходи выбор процесса и тех его параметров, которые необходимо измерять для составления карты контроля качества. 2) Стадия исследования состоит в изучении карты, чтобы определить тренды, исключительные случаи и т.д. 3) Стадия оценки включает изучение обобщающих параметров процесса. 4) Стадия проверки гипотезы заключается в принятии решения о том находится ли процесс под контролем (H0: процесс находится под контролем; H1: процесс не находится под контролем). То есть нулевая гипотеза – это предположение, что процесс находится под контролем, не нуждается в регулировке до тех пор, пока не будет получено убедительных доказательств того, что возникла проблема. Регулировка процесса, как правило, дорогостоящее предприятие, и без веских причин его не следует предпринимать. В таких случаях обычно говорят: «Не сломано – не трогай!». Уровень ложной тревоги характеризует то, как часто процесс регулируют без необходимости, что аналогично ошибке I рода при проверке гипотез (объективно всё в порядке, а субъективно нам кажется, что нужно вмешательство). При построении карт контроля, как правило, используют интервал шириной в три, а не в две, стандартные ошибки параметров, поскольку обычный для проверки статистических гипотез уровень ошибки I рода 5% недопустимо велик для большинства приложений контроля качества12.
12 Сигел Э.Ф. Практическая бизнес-статистика.: Пер с англ. – М.: Издательский дом «Вильямс», 2002. С. 915-916.
Выделяют:
I) контрольные карты количественных признаков:
А) контрольные карты средних арифметических процесса при известных параметрах нормального распределения – математическом ожидании и стандартном отклонении. Если процесс подчиняется нормальному распределению (распределению Гаусса-Лапласа) с параметрами m (математическое ожидание) и σ (среднее квадратическое отклонение), то:
1)центральная линия равняется величине математического ожидания m.
2)Верхняя предупреждающая граница: m + 2 ×nσ , где n – объем выборки.
3)Нижняя предупреждающая граница: m − 2 ×nσ .
4)Верхняя граница регулирования: m + 3×nσ .
5)Нижняя граница регулирования: m − 3×nσ .
Б) Контрольные карты изменчивости процесса при известных математическом ожидании и стандартном отклонении. Сначала определяется размах выборки: R=Xmax-Xmin. Затем по специальной разработанной статистической таблице для выборки конкретного объема n находим специальные множители: dn, rw, rA.
1)Центральная линия определяется как произведение dn∙σ.
2)Верхняя предупреждающая граница: rw∙σ.
3)Верхняя граница регулирования: rА∙σ.
Нахождение нижней границы в данном случае не требуется. В) контрольные карты количественных признаков при
неизвестных математическом ожидании и стандартном отклонении. То есть здесь неизвестны параметры нормального распределения. В данном случае устанавливаются только границы регулирования:
1)производится k выборок объемом n.
2)Для каждой выборки измеряется среднее арифметическое и
размах.
1 N
3)Находим среднее средних: Х = N åi=1 Xi .
1N
4)Находим средний размах: R = N åi=1 Ri .
5)По специальной статистической таблице для выборки объемом n определяются множители: A, B, C.
6)Определяем центральную линию для средней равной Х .
7)Определяем центральную линию для размаха равной R .
8)Границы регулирования для средней: X ± AR .
9)Верхняя граница регулирования для размаха: BR .
10)Нижняя граница регулирования для размаха: CR .
Пример контрольной карты, построенной с помощью компьютерной программы Statistica (построена для примера по данным столбца №2 (район А) Таблицы №1. Время прибытия
следственно-оперативных групп на место происшествия в минутах данного параграфа.
|
|
|
|
|
X - b a r a n d R C h a r t ; v a r ia b le : V a r 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
H is t o g r a m o f M e a n s |
|
X - b a r : 2 3 ,9 6 7 ( 2 3 ,9 6 7 ) ; S ig m a : 5 ,5 1 7 5 ( 5 ,5 1 7 5 ) ; n : 5 , |
|
|
|
|
|
|
|
( Г и с т о г р а м м а с р е д н и х ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
1 |
,3 |
6 |
9 |
3 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
3 |
,9 |
6 |
7 |
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
6 |
,5 |
6 |
4 |
1 |
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
4 |
|
|
1 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
H is t o g r a m o f R a n g e s |
|
R a n g e ( Р а з м а х ) : 1 2 ,8 3 3 ( 1 2 ,8 3 3 ) ; |
|
|
|
|
|
|
|
( Г и с т о г р а м м а р а з м а х а ) |
|
S i g m a ( С и г м а ) : 4 ,7 6 7 6 ( 4 ,7 6 7 6 ) ; n : 5 , |
|
|
|
|
|
3 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
7 |
,1 |
3 |
6 |
2 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
,8 |
3 |
3 |
1 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
,0 |
0 |
0 |
0 |
- 5 |
1 |
2 |
3 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
67 |
|
|
Следует обратить внимание, что в данном случае карты построены на основе распределения частот.
Ниже построены контрольные карты, включающие все наблюдения второго столбца (район А) Таблицы №1. Время
прибытия следственно-оперативных групп на место происшествия в минутах данного параграфа. В программном пакете Statistica приводится большой инструментарий для управления качеством сконцентрированный в специальном разделе: industrial statistics & Six Sigma. Нужно войти в программу, затем в диалоговое окно Statistics и выбрать industrial statistics & Six Sigma.
|
|
|
|
|
|
|
|
X a n d M o v in g R C h a r t ; v a r ia b le : V a r 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
H is t o g r a m o f O b s e r v a t io n s |
X : 2 3 ,9 6 7 ( 2 3 ,9 6 7 ) ; S ig m a : 5 ,5 0 0 7 ( 5 ,5 0 0 7 ) ; n : 1 , |
|
|
|
|
|
|
( Г и с т о г р а м м а н а б л ю д е н и й |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
0 |
,4 |
6 |
9 |
4 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
3 |
,9 |
6 |
7 |
2 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
,4 |
6 |
4 |
5 |
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
2 |
4 |
|
6 |
|
8 |
1 0 |
5 |
1 0 |
1 |
5 |
2 0 |
2 |
5 |
3 0 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
3 |
5 |
|
|
7 |
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
H is t o g r a m o f M o v in g R a n g e s |
M o v in g R : 6 ,2 0 6 9 ( 6 ,2 0 6 9 ) ; S ig m a : 4 ,6 8 9 4 ( 4 , 6 8 9 4 ) ; n : 1 , |
|
|
|
|
|
|
( Г и с т о г р а м м а д в и ж е н и я |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
р |
а з м а х |
о |
в ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
0 |
,2 |
7 |
5 |
1 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
,2 |
0 |
6 |
9 |
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
,0 |
0 |
0 |
0 |
- 5 |
4 |
8 |
|
1 |
2 |
|
1 6 |
|
5 |
1 0 |
1 |
5 |
2 0 |
2 |
5 |
3 0 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
6 |
1 |
0 |
|
1 |
4 |
1 |
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В более доступном пакете Excel также можно строить карты |
|
|
контроля качества, но здесь процесс не автоматизирован, все |
|
|
придется делать вручную. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
II) Контрольные карты качественных признаков (attribute chart):
А) P-карты (аппроксимация нормальным распределением). Применяются для оценки доли брака в генеральной совокупности по ряду выборок из генеральной совокупности, и в том случае, когда n ³ 30 ;np >5 ;nq >5 , где n – объем частной выборки, p – доля бракованных единиц в генеральной совокупности оцененная по k выборок объемом n каждая, q – доля не бракованных единиц в генеральной совокупности оцененная по k выборок объемом n каждая.
Алгоритм построения P-карты (аппроксимация нормальным распределением):
1)производим k выборок объемом n единиц.
2)Выбираем бракованные единицы si в каждой выборке и считаем их.
3) Находим долю бракованных единиц во всех выборках
N
р = åi=1 si , где N – общее число обследованных единиц во всех
N
выборках n.
4)Находим долю качественных единиц во всех выборках по формуле: q =1− p .
5)Высота центральной линии равна p.
6)Верхняя предупреждающая граница: p + 2 × 
pn× q .
7)Нижняя предупреждающая граница: p - 2 × 
pn× q .
8)Верхняя граница регулирования: p + 3× 
pn× q .
9)Нижняя граница регулирования: p -3× 
pn× q .
Б) Р-карты (аппроксимация распределением Пуассона). Применяются вместо аппроксимации нормальным
распределением для оценки доли брака в генеральной совокупности по ряду выборок из генеральной совокупности в том случае, когда при использовании нормального распределения нижняя граница регулирования приняла отрицательное значение или n ³ 30 ;λ = np <5 ; p <0,1 , где n – объем частной выборки, p – доля
69
бракованных единиц в генеральной совокупности оцененная по k выборок объемом n каждая, λ – параметр распределения Пуассона
равен np. Вероятность того, что в выборке k дефектов p(k) = λk k×!eλ ,
где p(k) – вероятность k-го числа дефектов, λ – параметр распределения Пуассона, k – число дефектов, e – основание натуральных логарифмов, константа, приблизительно равная 2,7183. В математике появилось в результате исследования естественных законов роста и убывания, анализа экспоненциальных функций, содержащих ех, ! – знак факториала (от англ. factorial, лат. factor – делающий, производящий) произведение натуральных чисел от единицы до произвольного n- го числа: 1∙2∙3…∙n. При больших значениях n, факториал задается формулой Стирлинга. Факториал нуля 0!=1. Факториал единицы также равен единице.
В программном пакете Excel p(k) рассчитывается с помощью мастера функций =ПУАССОН(k;λ;0), а факториал вычисляется =ПЕРЕСТ(k;k).
При определении контрольных границ нас будет интересовать кумулятивная вероятность, которую с помощью программы Excel можно рассчитать =ПУАССОН(k;λ;1).
Алгоритм построения P-карты (аппроксимация распределением Пуассона):
1)производим k выборок объемом n единиц.
2)Выбираем бракованные единицы si в каждой выборке и считаем их.
3) Находим долю бракованных единиц во всех выборках
N
р = åi=1 si , где N – общее число обследованных единиц во всех
N
выборках n.
4)Находим долю качественных изделий во всех выборках по формуле: q =1− p .
5)Высота центральной линии равна p.
6)Верхняя предупреждающая граница: p + 2 × 
pn× q .
7)Нижняя предупреждающая граница: p - 2 × 
pn× q .
8)Верхняя граница регулирования: p + 3× 
pn× q .
9)Нижняя граница регулирования: p -3× 
pn× q .
Задача. Дано: p=0,039, n=150. Требуется: построить Р-карту (аппроксимация распределением Пуассона).
Сначала найдем значение параметра распределения Пуассона λ=np=150∙0,039=4,5. Далее в ручную, с помощью калькулятора или имеющегося программного обеспечения заполним таблицу (в данном случае, таблица заполнена с использованием программного пакета Excel):
|
|
|
|
Число |
|
p(k) |
Кумулятивная |
дефектов (k), |
Доля брака (k/n). |
=ПУАССОН(k;λ;0 |
вероятность, |
шт. |
n=150 |
) |
=ПУАССОН(k;λ;1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Нижняя граница |
|
|
|
регулирования |
|
|
|
(меньше нуля) |
|
|
|
|
|
|
0 |
0,000 |
0,0111 |
0,01111 |
|
|
|
|
|
0,007 |
|
|
1 |
Нижняя |
|
|
|
предупреждающая |
|
|
|
граница (0,0073) |
0,0500 |
0,06110 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
0,013 |
0,1125 |
0,17358 |
|
|
|
|
3 |
0,020 |
0,1687 |
0,34230 |
|
|
|
|
4 |
0,027 |
0,1898 |
0,53210 |
|
|
|
|
5 |
0,033 |
0,1708 |
0,70293 |
|
|
|
|
|
Центральная |
|
|
6 |
линия (0,039) |
|
|
|
0,040 |
0,1281 |
0,83105 |
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
0,047 |
0,0824 |
0,91341 |
|
|
|
|
8 |
0,053 |
0,0463 |
0,95974 |
|
|
|
|
9 |
0,060 |
0,0232 |
0,98291 |
|
|
|
|
10 |
0,067 |
0,0104 |
0,99333 |
|
|
|
|
11 |
Верхняя |
0,0043 |
0,99760 |
|
предупреждающая |
|
|
|
|
|
|
|
граница (0,071) |
|
|
|
0,073 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12 |
0,080 |
0,0016 |
0,99919 |
|
|
|
|
|
Верхняя граница |
|
|
|
регулирования |
|
|
|
(0,086) |
|
|
13 |
0,087 |
0,0006 |
0,99975 |
|
|
|
|
|
|
|
|
14 |
0,093 |
0,0002 |
0,99993 |
|
|
|
|
15 |
0,100 |
0,0001 |
0,99998 |
|
|
|
|
16 |
0,107 |
0,0000 |
0,99999 |
|
|
|
|
Нижняя предупреждающая граница: p - 2 × 
pn× q .
0,039 -2 × |
0,039 ×0,961 |
= 0,0073 ; |
|
150 |
|
нижняя граница регулирования:
0,039 -3× 0,039 ×0,961 = -0,0084 ;
150
верхняя граница регулирования:
0,039 +3× |
0,039 ×0,961 |
= 0,086 ; |
|
150 |
|
верхняя предупреждающая граница:
0,039 + 2 × |
0,039 ×0,961 |
= 0,071 . |
|
150 |
|
Описание аналогичных карт контроля у Э.Ф.Сигела. Процентная карта показывает процент дефектных единиц
выборки, центральную линию и контрольные границы, что позволяет наблюдать за уровнем брака. В отличие от вышеизложенного в данном случае из поля зрения выпадают предупреждающие границы и остаются только границы регулирования. Предлагается эмпирическое правило для определения размера выборки (n). При этом ожидаемое количество дефектных единиц выборки должно быть не менее пяти. Это говорит о том, что для процентной карты необходим больший размер выборки, чем для X -карт и R-карт. Так, если ожидается 10% брака, то n=5/0,10=50. То есть выборка должна содержать не
менее 50 единиц. Если ожидается 0,3% брака, то нужно повышать чувствительность и n=5/0,003=1666 единиц.
Для определения контрольных границ в данном случае нет надобности в специальных статистических таблицах.
Таблица для вычисления центральной линии и контрольных границ для процентных карт
Наличие |
Центральная |
Верхняя |
Нижняя |
стандарта |
линия |
контрольная |
контрольная |
|
|
граница |
граница |
Стандарт |
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
p + 3× |
p × q |
|
p -3× |
p × q |
|
n |
n |
|
задан |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Стандарт |
p + 3× p × q |
|
p -3× p × q |
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
не задан |
|
n |
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
Где р – доля дефектных единиц в одной выборке; p - средняя доля дефектных единиц вычисленная по всем доступным выборкам.
Решим задачу. Пусть руководитель следственного управления проверяет качество расследования по 15 следственным подразделениям региона, полагая, что процент брака на предварительном следствии (число уголовно-процессуальных правонарушений) составляет не более 2% от общего числа расследованных дел. Соответственно, 2/100=0,02 и n=5/0,02=250. То есть он должен проверить, по меньшей мере, 250 уголовных дел или по 16-17 уголовных дел в каждом подразделении (250/15=16,6=17). По итогам проверки им составлена таблица:
№ |
Количество |
Число |
Доля (pi) |
