Ольков_С_Г_Аналитическая юриспруденция

стационарным31. Если бы ряд был стационарным, то в нем не была бы выражена тенденция, он колебался бы вокруг среднего и имел вид: y = y +ε , где ε = yi − y – случайная компонента временного ряда.

В нашем случае из графика очевидно, что ряд не стационарный, и элементарный прогноз можно сделать с использованием показателя среднего абсолютного прироста по формуле: y p = yб + L , где yб – уровень ряда принятый за базу; – средний абсолютный прирост уровней ряда в единицу времени,

базисный прирост; L – горизонт прогнозирования или период упреждения. Прогнозирование значений временного ряда с использованием среднего абсолютного прироста основывается на нестрогом допущении о наличии в динамике вариационного ряда арифметической прогрессии.

Сделаем элементарный прогноз умышленного причинения тяжкого вреда здоровью на 2007 год с использованием двух последних значений временного ряда:

= 269 − 263 = 3 преступления; yб=263 преступления.

2

Витоге получаем: yp=263+3×1=266 преступлений.

5.Сделаем прогноз умышленного причинения тяжкого вреда здоровью в ЯНАО до 2010 года на основе экстраполяции уже полученного нами уравнения линейного тренда: у=184,29+12,5t.

у2007=184,29+12,5×8=272 (для 2008 – 284, 2009 – 296, 2010 г. – 309). Таблица 6

Прогнозные значения

31 Если ряд похож на стационарный, то его следует проверить на стационарность по специальной методике. Для прогнозирования по

стационарному ряду используется уравнение: yp = y ± tα ,N −1 ×σ × 1+ N1 .

232

Рассчитаем среднюю ошибку аппроксимации по формуле:

нашем случае расчет по этой формуле дал 4,85%.

Средняя ошибка аппроксимации для нашего линейного уравнения говорит о хорошем качестве аппроксимации и целесообразности использования данного уравнения для прогнозирования умышленного причинения тяжкого вреда здоровью в Ямало-Ненецком автономном округе.

233

7. Построим доверительные интервалы нашего прогноза по уравнению тренда, для чего выясним колеблемость уровней

где m – число параметров уравнения тренда при независимых переменных (без учета свободного члена). Для нашего уравнения

доверительного интервала также необходимо знать табличное значение t-критерия Стьюдента. Для α=0,01 и числа степеней свободы df=5 имеем tα=4,03 (для α=0,05 и числа степеней свободы df=5 имеем tα=2,57).

Отсюда доверительный интервал тренда составит: y ±tαS y . Следовательно, имеем: y ±13,44 ×2,57 = y ±34,5 =35 (при возможной 5% ошибке) или y ±13,44 ×4,03 = y ±54 при 1% вероятности ошибки. То есть трендовые оценки для 2007-2010 годов нужно скорректировать с учетом соответствующих доверительных интервалов.

234

Таблица 8

Прогнозные значения с доверительными интервалами для тренда

P.S. Обратим внимание на тот факт, что доверительный интервал тренда не следует смешивать с доверительным интервалом прогноза, который определяется с помощью ошибки прогноза по формуле: Sp=Sy×Q, где Q – поправочный коэффициент, учитывающий горизонт прогнозирования (по мере удаления доверительный интервал прогноза расширяется. В случае же с доверительным интервалом тренда, как мы заметили, этого не происходит – доверительный интервал остается постоянным).

8. Построим доверительный интервал прогноза, для чего рассчитаем Q.

учитывающий горизонт прогнозирования; N – число уровней ряда; l – период упреждения (горизонт прогноза) – для нашего случая l=4 года. Таким образом, ширина доверительного интервала зависит от N – длины временного ряда (зависимость обратная – чем длиннее временной ряд, тем ýже доверительная трубка) и периода упреждения l (зависимость прямая – чем дальше горизонт прогнозирования, тем шире доверительный интервал). Для одного года он составит

235

Q=1,427; для трех Q=1,558; для четырех лет Q=1,701.

Ошибка прогнозирования для 2007 года: Sp=Sy×Q=13,44×1,309=17,593; для 2008 года: – 19,179; для 2009 года

– 20,94; для 2010 года – 22,861.

Доверительный интервал прогноза составит: уp ±tαSp. Для a=0,01 и числа степеней свободы df=5 имеем tα=4,03 (для a=0,05 и числа степеней свободы df=5 имеем tα=2,57).

Для 2007 года при a=0,01 имеем: 4,03×17,593=71. Следовательно, прогнозное значение числа умышленного причинения тяжкого вреда здоровью в 2007 году будет находиться в пределах от 201 до 343 преступлений; в 2008 году в пределах от 207 до 361 преступления; в 2009 году – от 212 до 380; в 2010 году – от 217 до 401 преступления.

Для 2007 года при a=0,05 имеем: 2,57×17,593=45. Следовательно, прогнозное значение числа умышленного причинения тяжкого вреда здоровью в 2007 году будет находиться в пределах от 227 до 317 преступлений; в 2008 году в пределах от 235 до 333 преступлений; в 2009 году от 242 до 350; в 2010 году от 250 до 368 преступлений.

Таблица 9

Прогнозные значения с доверительными интервала прогноза

236

Задача №5 Дано: временной ряд грабежей в городе Сургуте с января 1998

года по декабрь 2004 года.

Таблица 10

Временной ряд грабежей в городе Сургуте с января 1998 года по декабрь 2004 года

Требуется: 1) построить график временного ряда грабежей в городе Сургуте с января 1998 года по декабрь 2004 года; 2) с использованием сезонных фиктивных (искусственных) переменных исследовать временной ряд грабежей в городе Сургуте с целью выявления сезонных (в данном случае поквартальных) особенностей данного социально-правового явления (получить общее и частные поквартальные уравнения, построить их графики и оценить сезонные колебания в каждом квартале)32.

32 Требуется проверить гипотезу H1 (альтернативная или исследовательская гипотеза) о том, что во временном поквартальном ряду грабежей, совершенных в городе Сургуте в период с января 1998 по декабрь 2004 года,

237

1.Строим график временного ряда грабежей в городе Сургуте

сянваря 1998 года по декабрь 2004 года для того, чтобы визуально оценить его структуру.

С использованием сезонных фиктивных (искусственных) переменных исследуем временной ряд грабежей в городе Сургуте с целью выявления сезонных (в данном случае поквартальных) особенностей данного социально-правового явления (получаем общее и частные поквартальные уравнения, строим их графики и оцениваем сезонные колебания в каждом квартале).

2. Строим исходную таблицу, приняв за эталонный 2-й квартал.

Таблица 2

Данные для множественного регрессионного анализа

присутствует элемент сезонности. Гипотеза H0, принимаемая без доказательств, указывает на то, что элемент сезонности в данном временном ряду отсутствует.

238

3. Проводим множественный регрессионный анализ данных, представленных в таблице, и получаем общее уравнение:

у =94,3+4,88t+60К1+11,7К3+101,5К4. Отсюда имеем 4 уравнения для кварталов:

I квартал: у1 =154,3+4,88t II квартал: у2 =94,3+4,88t

III квартал: у3 =106+4,88t

IV квартал: у4 =195,8+4,88t.

239

Из графика и соответствующих уравнений регрессии видно, что максимальное число грабежей происходит в городе Сургуте в осенний и зимний период (четвертый и первый кварталы года). К весне и лету число грабежей здесь снижается. Данный факт, вероятно, можно объяснить спецификой северного города, в том числе и тем обстоятельством, что весной и летом начинается период отпусков северян – часть потенциальных грабителей и их жертв выезжают за пределы города.

5. Находим средний сдвиг по свободным членам (средний свободный член):

(154,3+94,3+106+195,8)/4=137,6.

7. Разница между линией регрессии для каждого квартала и средней линией регрессии выраженная разницей свободных членов представляет оценку сезонных отклонений:

I квартал: 154,3-137,6=16,7

II квартал: =94,3-137,6=-43,3

III квартал: =106-137,6=-31,6

IV квартал: =195,8-137,6=58,2.

240

Очевидно, что сумма сезонных отклонений должна равняться нулю, что и имеет место в нашем случае: 16,7-43,3-31,6+58,2=0.

6. Оценим значимость полученного нами общего уравнения регрессии:

у =94,3 + 4,88t + 60К1 + 11,7К3 + 101,5К4. Ст. ош.33 (40,5) (1,9) (43,1) (43) (43,2)

Сначала проверим значимость отличия параметров уравнения от нуля путем деления каждого коэффициента на его стандартную (среднюю) ошибку для получения t-статистики и сравнения её с табличной:

для свободного члена: 94,3/40,3=2,33; для коэффициента при t: 2,56;

для коэффициента при К1: 1,39; для коэффициента при К3: 0,27; для коэффициента К4: 2,349.

Коэффициент регрессии считается значимым при заданном уровне значимости α и числе степеней свободы N-k-1 (в нашем случае он равен: 28-4-1=23), если t табличное < t расчетного. При α=0,05 и 23 степенях свободы t табличное составляет 2,0687. Таким образом, на 5% уровне значимости (вероятность ошибки составляет 5%) значимыми являются свободный член, коэффициент при t (кварталы) и коэффициент при К4, поскольку расчетные значения t- статистики Стьюдента больше табличного. В то же время коэффициенты регрессии при К3 и К1 не являются статистически значимыми. Отсюда можно утверждать, что К3 и К1 незначимо отличаются от К2.

Табличный F-критерий Фишера, используемый для оценки значимости уравнения в целом, находится по специальным таблицам при заданном уровне значимости α и числе степеней свободы v1=k, v2=N-k-1, где k – число независимых (факторных) переменных в модели (в нашем случае их 4), N – число наблюдений (в нашем случае их 28). Он представляет собой соотношение факторной и случайной дисперсий, рассчитанных на

33 Стандартные ошибки.

241