Ольков_С_Г_Аналитическая юриспруденция

Для прогноза искомой переменной на 2011 год придется использовать трендовое уравнение, полученное по сглаженным данным. То есть вместо Y2011 мы берем его оценку Y2011 для отыскания E2011.

162

Из решения задачи видно, что конечная эмпирическая цифра и значение экспоненциально сглаженной величины отстоят друг от друга на приличном расстоянии (184-374=-290). То есть прогноз по такой модели будет плохим или вообще бессмысленным. Средняя ошибка аппроксимации по данной модели здесь составила 31% (допустимая же величина не более 8-10%).

В чем дело, и можно ли изменить ситуацию к лучшему? Да, легко. Дело в том, что из таблицы и графика следует – начиная с 2004 года, преступность данного вида неуклонно снижается, имеет место выраженный отрицательный тренд. Поэтому прогноз нужно делать по простой линейной трендовой модели. Если сделать прогноз с использованием экспоненциального сглаживания по данным с 2004 года, исключив все иные данные (за период с 1995 по 2003 годы), то результат будет хуже предыдущего, что видно из нижеследующей таблицы:

Средняя ошибка аппроксимации здесь увеличилась в 2,2 раза и составила 68%.

Нужно применить простую линейную трендовую модель для прогнозирования. Применим её.

163

Средняя ошибка аппроксимации данной линейной модели составляет всего 3,6%, что вполне укладывается в допустимые нормы. Число преступлений данного вида снижалось по данной модели от 588 преступлений в 2004 году на 59-60 преступлений ежегодно. Прогноз на 2011 год: y2011 = 588 ,5 -59,57 ×8 =112 .

§4. Прогнозирование юридических процессов с помощью экспоненциальной модели множественного регрессионного анализа с введением фиктивных переменных по квартальным

ипомесячным данным.

Сиспользованием фиктивных переменных мы уже сталкивались при изучении закономерностей различных юридических процессов. Кроме того, в Приложении к данной главе имеются примеры решения линейных задач с введением фиктивных переменных, в частности для изучения сезонности. Здесь же рассмотрим более сложный пример – прогнозирование с учетом сезонности по квартальным и месячным данным с помощью экспоненциальной модели множественного регрессионного анализа с введением фиктивных переменных.

Экспоненциальная модель множественного регрессионного анализа для квартальных данных выглядит следующим образом:

-Экспоненциальная модель для квартальных данных:

Yi = β0 × β1t × β2Q1 × β3Q2 × β4Q3 × εi ,

164

где Yi – оценка Y; t – временные интервалы по порядку (иногда называют – закодированное квартальное значение16); Q1 – первый

первого квартала по отношению к четвертому (эталонному), β3 – множитель второго квартала по отношению к четвертому (эталонному), β4 – множитель третьего квартала по отношению к четвертому (эталонному); ε – случайный член.

- Экспоненциальная модель, для квартальных данных приведенная к линейному виду путем логарифмирования:

log Yi = log( β0 × β1t × β2Q1 × β3Q2 × β4Q3 ×ε) .

Используя правила выполнения логарифмических операций, имеем:

log Yi = log β0 + log β1t + log β2Q1 + log β3Q2 + log β4Q3 + log ε) и далее

log Yi = log β0 +ti log β1 +Q1 log β2 +Q2 log β3 +Q3 log β4 +log εi

Приведение нелинейной модели к линейному виду необходимо для того, чтобы использовать обычный МНК (метод наименьших квадратов) для параметризации оптимального уравнения.

- Модель экспоненциального роста для квартальных данных:

log Yi =b0 +b1 X i +b2Q1 +b3Q2 +b4Q3 .

где b0 – оценка log β0 , например, для десятичного логарифма: 10b0 = β0 ) , для натурального логарифма – то же самое только с числом e. То есть выполняется операция потенцирования – обратная логарифмированию; b1 – оценка log β1 , (10b1 = β1) ; b2 – оценка log β2 , (10b2 = β2 ) ; b3 – оценка log β3 , (10b3 = β3 ) ; b4 – оценка log

β4, (10b4 = β4 ) .

Уравнение для первого квартала: log Yi =b0 +b1 X i +b2Q1 . Уравнение для второго квартала: log Yi =b0 +b1 X i +b3Q2 . Уравнение для третьего квартала: log Yi =b0 +b1 X i +b4Q3 . Уравнение для четвертого квартала: log Yi =b0 +b1 X i .

16 Потому, что данная переменная относится к эталонному кварталу – Q4.

165

Экспоненциальная модель множественного регрессионного анализа для месячных данных выглядит следующим образом:

Yi = β0 × β1t × β2M 1 × β3M 3 ×...× β12M 11 ×εi ,

где Yi – оценка Y; t – временные интервалы по порядку (иногда называют – закодированное месячное значение17); M1 – январь, М2 – февраль, М3 – март, М4 – апрель, М5 – май, М6 – июнь, М7 – июль, М8 – август, М9 – сентябрь, М10 – октябрь, М11 – ноябрь,

переменной Y; β1 – множитель января по отношению к декабрю (эталонному); β2 – множитель февраля по отношению к декабрю (эталонному), β3 – множитель марта по отношению к декабрю (эталонному), β4 – множитель апреля по отношению к декабрю (эталонному)… β11 – множитель ноября по отношению к декабрю (эталонному); ε – случайный член.

- Экспоненциальная модель, для месячных данных приведенная к линейному виду путем логарифмирования:

log Yi = log( β0 × β1t × β2M 1 × β3M 2 ×... × β11M 11 ×εi ) .

Используя правила выполнения логарифмических операций, имеем:

log Yi = log β0 +ti log β1 + M1 log β2 + M 2 log β3 +... + M11 log β12 +log εi

Приведение нелинейной модели к линейному виду необходимо для того, чтобы использовать обычный МНК (метод наименьших квадратов) для параметризации оптимального уравнения.

- Модель экспоненциального роста для месячных данных:

log Yi =b0 +b1 X i +b2 M1 +b3M 2 +... +b12 M11 .

где b0 – оценка log β0 , например, для десятичного логарифма: 10b0 = β0 ) , для натурального логарифма – то же самое только с числом e. То есть выполняется операция потенцирования – обратная логарифмированию; b1 – оценка log β1 , (10b1 = β1) ; b2 – оценка log β2 , (10b2 = β2 ) ; b3 – оценка log β3 , (10b3 = β3 ) ; b4 – оценка log

β4, (10b4 = β4 ) .

Уравнение для января: log Yi =b0 +b1 X i +b2 M1 . Уравнение для февраля: log Yi =b0 +b1 X i +b3 M 2 . Уравнение для марта: log Yi =b0 +b1 X i +b4 M 3 .

17 Потому, что данная переменная относится к эталонному месяцу – M12.

166

………

Уравнение для декабря: log Yi =b0 +b1 X i .

Нетрудно заметить, что модель для квартального временного ряда содержит 3 фиктивные переменные (1 квартал эталонный), а модель для помесячного временного ряда 11 фиктивных переменных (1 месяц эталонный).

Решим конкретную задачу с целью продемонстрировать прогнозирование с помощью экспоненциальной модели множественного регрессионного анализа с введением фиктивных переменных.

Дано: таблица первичных статистических данных о зарегистрированных в РФ грабежах за период с 2005 по 2010 годы18.

18 http://www.gks.ru/dbscripts/Cbsd/DBInet.cgi

167

Требуется: 1) составить таблицу первичных статистических данных о грабежах в РФ за период с 2005 по 2010 годы с раскладкой по кварталам (I, II, III, IV); 2) с использованием экспоненциальной модели множественного регрессионного анализа с введением фиктивных переменных измерить сезонность грабежей в РФ по кварталам; 3) составить таблицу первичных статистических данных о грабежах в РФ за период с 2005 по 2010 годы с раскладкой по месяцам; 4) с использованием метода множественного регрессионного анализа с введением фиктивных переменных измерить сезонность грабежей в РФ по месяцам.

РЕШЕНИЕ:

1)Построим рабочие таблицы. Учитывая, что в официальных статистических данных цифры растут кумулятивным образом, просто найдем абсолютные приросты. То есть для января число, естественно остается, а далее из каждого последующего вычитается предыдущее. После чего, для анализа квартальных данных, складывает соответствующие значения по месяцам.

168

2) Составим таблицу для решения в программе Excel:

169

3)Дальнейший порядок таков: «Данные», «Анализ данных», «Регрессия». В диалоговом окне «Регрессия» в поле для переменной «Y» вводим значения log 10 (Y) – просто выделяем нужный столбец с исходными данными. В поле для переменной «Х» вводим значения всех независимых переменных - выделяем столбцы t, Q1, Q2, Q3. Нажимаем клавишу «ОК», и получаем решение.

170

Судя по коэффициенту смешанной корреляции (0,936) нормированному коэффициенту смешанной корреляции (Нормированный R-квадрат) равному 0,85, модель неплохо аппроксимирует эмпирические данные, хотя коэффициенты при Q3 и Q1 статистически незначимы на 5% уровне, а коэффициент Q3 незначим и на 10% уровне (р-значение=0,128>0,1). F-статистика также не внушает оптимизма (ниже критического табличного уровня). Можно сделать вывод, что экспоненциальная модель в данном случае мало полезна для прогнозирования грабежей в РФ. Однако в демонстрационных целях продолжим работу с моделью.

Запишем полученное уравнение:

нескорректированного тренда грабежей в первом квартале 2005 года.

β =0,961546 – полезен для оценки темпа роста грабежей по

1

кварталам: ( β -1)∙100%=(0,961546-1)∙100%=-3,8454%.

1

β =0,882592 – сезонный множитель для 1-го квартала

2

относительно 4-го (эталонного) квартала. Он означает, что в первом квартале грабежей в среднем совершается меньше, чем в 4-м квартале на 11,7%.

β =0,861628 – сезонный множитель для второго квартала

3

относительно четвертого. Здесь в среднем грабежей меньше на 13,8%, чем в четвертом квартале.

171