Ольков_С_Г_Аналитическая юриспруденция

Перед нами стоит задача подобрать соответствующее уравнение, которое бы обеспечивало помесячное прогнозирование числа грабежей в городе Энске с приемлемой степенью точности. Ниже на рисунке №1 представлены эмпирическая кривая - построенная по первичным статистическим данным, и теоретическая – построенная по полученному оценочному уравнению.

Рис. №1. Эмпирическая и аппроксимирующая её кривые. Легко заметить, что теоретическая кривая достаточно хорошо

согласуется с эмпирической, и прогнозирование по оценочному уравнению (ряд Фурье с включением линейной составляющей) должно обеспечивать более или менее точный помесячный прогноз грабежей в городе Энске при прочих равных обстоятельствах, что дает возможность оптимально распределить силы и средства криминальной милиции, а также решить иные задачи для успешной борьбы с грабежами в городе Энске.

Теперь покажем, как было получено соответствующее оценочное (теоретическое) уравнение: =1223,54+15,366t+65∙

t-113,199∙t.

Первое, что следует сделать – построить вспомогательную рабочую таблицу.

Таблица №1. Вспомогательная рабочая таблица исходных данных для вычисления уравнения зависимости числа грабежей от 5-ти временных переменных.

t

y,

182

Второй шаг – построение зависимости числа грабежей от 5- ти управляющих переменных, представленных в таблице. В итоге будет получено оценочное уравнение:

=1170,27+23,56t+38,2 t -19,86t +79,2∙t-121,39∙ t.

В полученном уравнении статистически незначимы коэффициенты первой гармоники21 (их t-статистика менее критического значения равного 2,3), и их уместно исключить, оставив 3 управляющих переменных.

Третий шаг – построение зависимости числа грабежей от 3-х управляющих переменных.

Таблица №2. Вспомогательная рабочая таблица исходных данных для вычисления уравнения зависимости числа грабежей от 3-х временных переменных.

21 t-статистика приведена в приложении к данному изданию.

183

которому строятся таблица и график (Рис.№1).

Таблица №3. Эмпирические и теоретические значения числа грабежей в городе Энске.

Суммы значений по эмпирическому и теоретическому рядам совпадают: 15881=15881.

Таким образом, гармонический анализ (анализ Фурье) в сочетании с другими аппроксимирующими функциями может быть весьма полезен для решения конкретных криминологических задач.

Приложение:

Итоги регрессионного анализа для зависимости числа грабежей от 5-ти управляющих переменных:

ВЫВОД ИТОГОВ

Регрессионная статистика

184

Итоги регрессионного анализа для зависимости числа грабежей от 3-х управляющих переменных:

185

§6. Прогнозирование юридических процессов с помощью авторегрессионных моделей.

Авторегрессионная модель (autorеgressive modeling) – группа специальных методов прогнозирования по временным рядам основанная на том, что конкретные значения ряда коррелированны, как с предшествующими, так и последующими.

Автокорреляция первого порядка (first-order autocorrelation) – оценивает степень зависимости между последовательными значениями временного ряда. Автокорреляция второго порядка

(second-order autocorrelation) – оценивает степень зависимости между значениями временного ряда, разделенными двумя временными интервалами. Автокорреляция p-го порядка (pth- order autocorrelation) – оценивает степень зависимости между значениями временного ряда, разделенными p временными интервалами. «Авторегрессионная модель позволяет лучше оценить предысторию и получить более точный прогноз»22.

По своей сути различные авторегрессионные модели похожи на обычные регрессионные модели. Так, авторегрессионная модель первого порядка представляет собой простую парную регрессию, в которой в качестве зависимой переменной выступает Y, а в качестве независимой Yi-1. Например, возьмем временной ряд коэффициентов виктимности преступности I степени для женщин в РФ за период с 2000 по 2009 годы.

Таблица. КВП-I (ж) с 2000 по 2009 годы в РФ.

22 Левин, Дэвид М. Статистика для менеджеров с использованием Microsoft Excel/ Левин, Дэвид М, Стефан, Дэвид, Крембиль, Тимоти С., Беренсон, Марк Л. – 4-е изд.: Пер. с англ.

– М.: Издательский дом «Вильямс», 2004. С. 1019.

186

Приняв КВП=Y, получим таблицу для авторегрессионной модели первого порядка.

Нетрудно заметить, что число пар наблюдений сократилось на одну пару, и мы можем найти оценку параметров регрессионного уравнения для данных, приведенных в таблице, приняв в качестве независимой переменной значения Yi-1: Y =a0 −bYi−1 .

Для ниже представленных исходных данных:

187

188

X 1

Начало координат в данной модели соответствует 2001 году, шаг по оси ординат равен одному году. Оценки параметров линейного регрессионного уравнения: a= - 0,053; b=1,121.

Далее используем двухсторонний t-критерий Стьюдента23:

параметра b, b – коэффициент регрессии или первая производная функции (здесь – производная оценочной функции), показывает на какую величину изменится зависимая переменная при изменении независимой на единицу измерения, Sb – стандартная ошибка параметра b. Тестовая t-статистика имеет t-распределение с n-2p-1 степенями свободы24. При заданном уровне значимости α нулевая гипотеза отклоняется, если тестовая t-статистика больше верхнего или меньше нижнего критического уровня t-распределения.

Для нашего примера проверим нулевую и альтернативную гипотезу, памятуя о правилах принятия и отклонения гипотез:

Н0: b=0; Н1: b≠0.

уровень значимости равным α=0,05, и отыщем по таблице критических значений критические величины двустороннего t- критерия. Число степеней свободы: df= n-2p-1 = 10-2∙1-1=7. Для 7 степеней свободы площадь фигуры, ограниченной правым хвостом распределения Стьюдента (α/2=0,025) равняется 2,3646. Следовательно, при уровне значимости равном 0,05 и 7 степенях свободы критические величины двустороннего t-критерия составляют: слева:-2,3646 и справа +2,3646. Поскольку эмпирическое значение t-статистики попадает в данный интервал (-

23Двусторонний t-критерий: α/2 – хвосты распределения, за пределами 2-х первых сигм, 1- α – область принятия гипотезы в пределах двух первых сигм стандартного нормального распределения. Например, для α=0,05 имеем: 0,05/2=0,025; 1-α=0,95. То есть в таблице критических значений t-статистики в данном случае для соответствующего числа степеней свободы отыскиваем значение для α=0,025, и берем его со знаком минус для левого хвоста и со знаком плюс для правого.

24Тестовая t-статистика теряет p степеней свободы при оценке наклона и одну при оценке сдвига, а также p степеней свободы теряется при сравнении значений временного ряда.

189

2,3646<-0,2047<2,3646), постольку нулевую гипотезу отклонить нельзя. Отсюда делаем вывод, что параметр первого порядка не является статистически значимым, и прогнозировать с помощью данного уравнения нецелесообразно.

Если бы уравнение авторегрессии первого порядка было статистически значимым то, прогноз КВП на 2010 и 2011 годы

значение КВП для 2010 года.

Шаг №3: зная прогнозное значение для 2010 года, подставляем его в уравнение, и находим прогнозное значение для 2011 года:

Y =-0,053 +1,121 ×0,91586 =0,97 .

Авторегрессионная модель второго, третьего и более высоких порядков приводятся к обычной модели множественного регрессионного анализа, где в качестве независимых переменных принимаются лаговые значения переменной игрек сдвинутые на один, два, три и более интервалов. Соответственно длина исходной таблицы уменьшается на две, три и более строки.

Для прогнозирования с помощью авторегрессионной модели используется уравнение, включающее статистически значимые параметры, статистически значимых авторегрессионных уравнений (парной или множественной регрессии).

Правила авторегрессионного моделирования годовых временных рядов:

1) Определяем величину временного лага р с учетом порядка расчета числа степеней свободы df= n-2p-1, памятуя, что на каждую дополнительную переменную модели должно быть не менее 6-7 наблюдений, а с увеличением числа переменных в правой части уравнения, число наблюдений сокращается.

190

2)Получим уравнение множественной регрессии для p переменных, и проверим статистическую значимость одного - последнего коэффициента регрессии, стоящего при переменной Yp.

3)Если коэффициент регрессии, стоящий при переменной Yp статистически значим, то используем данное уравнение для прогнозирования, и заканчиваем на этом процедуру подбора уравнения.

3)Если коэффициент регрессии, стоящий при переменной Yp статистически не значим, то отбрасываем данное уравнение, как непригодное для прогнозирования, и переходим к п.4.

4)Получим уравнение множественной регрессии для p-1 переменных, и проверим статистическую значимость одного - последнего коэффициента регрессии, стоящего при переменной Yp-

1.

5)Если коэффициент регрессии, стоящий при переменной Yp-1 статистически значим, то используем данное уравнение для прогнозирования, и заканчиваем на этом процедуру подбора уравнения.

5)Если коэффициент регрессии, стоящий при переменной Yp-1 статистически не значим, то отбрасываем данное уравнение, как непригодное для прогнозирования, и переходим к п.6.

6)Получим уравнение множественной регрессии для p-2 переменных, и проверим статистическую значимость одного - последнего коэффициента регрессии, стоящего при переменной Yp-

2.

7) В зависимости от итога либо продолжаем подбор подходящего уравнения вплоть до модели авторегрессии первого порядка, либо останавливаемся, если на каком то этапе получим значимый коэффициент регрессии в модели авторегрессии более высокого порядка, чем первый.

Рассмотрим конкретный пример. Дано:

Таблица первичных статистических данных о коэффициентах преступности в РФ за период с 1991 по 2010 годы:

191