Теперь рассчитаем ранговый коэффициент Спирмена для тех же эмпирических данных.
Говоря о ранговых методах, следует знать, что такое название они получили в связи с использованием рангов и ранжированием. Ранг – это порядковый номер, присваиваемый качественной или количественной переменной в строгом порядке возрастания или убывания. Например, для качественной переменной - большой (1), средний (2), маленький (3) и т.п. Ранжирование – процедура присвоения рангов – порядковых номеров. Говоря о рангах, следует обратить внимание на понятие «связанные ранги», которое имеет значение для расчетов. Когда в вариационном ряду какой-либо переменной имеются одинаковые числа, то ранг этих чисел берется как средняя арифметическая от соответствующих ранговых мест. Например, в вариационном ряду три раза повторяется число 25 и первый ранговый номер для числа 25 соответствует трем, соответственно остальным числам 25 присваиваются номера 4 и 5. Затем складываем ранги: 3+4+5=12 и делим итоговое число (12) на три (число 25 встречается три раза): 12/3=4. Каждому числу 25 в соответствие будет поставлен четвертый ранг. Ранг следующего числа (после 25) будет не пятый, а шестой. Кроме того, исчезнет и третий ранг. Ранжирование будет таким: 1, 2, 4, 4, 4, 6, 7 и т.д., если
в исходных данных более нет связанных рангов.
Расчет рангового коэффициента корреляции Спирмена вычисляется по формуле:
|
N |
|
|
|
|
|
ρх, у = 1- |
6 × åd 2 |
, где d |
2 |
– квадрат разности рангов, N – число |
i =1 |
|
N × (N 2 -1) |
|
|
|
|
|
наблюдений. Расчет |
рангового коэффициента корреляции |
Спирмена можно вычислять и по формуле: |
N |
6 × åd 2 . |
Принимает значение от нуля до плюс или минус единицы. Кроме того, коэффициент Спирмена можно проверить с помощью t-статистики Стьюдента. Для этого рассчитывается эмпирическое значение t-критерия по формуле:
tфакт = ρx, y × |
N - 2 |
2 . Если |
tфакт >tтабл , то при заданном уровне |
1- ρx, y |
значимости α и числе степеней свободы k=N-2 коэффициент
признается значимым. Произведем расчет.
x |
Rx |
Y |
Ry |
d |
d2 |
|
|
|
|
|
|
0,218 |
1 |
15600 |
1 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
0,26 |
2 |
16200 |
2 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
0,318 |
3 |
23000 |
3 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
0,375 |
4 |
29400 |
6 |
-2 |
4 |
|
|
|
|
|
|
0,381 |
5 |
31700 |
9 |
-4 |
16 |
|
|
|
|
|
|
0,381 |
6 |
29300 |
5 |
|
|
2 |
|
|
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
0,394 |
7 |
31100 |
8 |
-1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
0,398 |
8 |
29200 |
4 |
4 |
16 |
|
|
|
|
|
|
0,398 |
9 |
29600 |
7 |
|
|
3 |
|
|
|
2 |
4 |
|
|
|
|
|
|
0,409 |
10 |
32300 |
10 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Итого: |
|
|
|
|
|
42 |
|
|
|
|
|
|
|
N |
|
|
|
|
|
|
|
|
ρx, y =1- |
6 × åd 2 |
=1- |
6 × 42 |
=1- |
252 |
= 0,745 . |
|
2 |
|
|
2 |
|
|
i=1 |
|
|
|
|
|
990 |
|
|
N × (N -1) |
|
10 × (10 |
-1) |
|
|
Как видно коэффициент Спирмена, хотя и положителен, но существенно занизил в данном случае силу связи между переменными.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
tфакт = ρx, y × |
N - 2 |
|
10 - 2 |
=3,158 |
|
|
|
= 0,745 × |
|
|
|
1- ρx, y |
2 |
1- 0,745 2 |
|
Поскольку df=N-2, по таблице находим значение tтабл. для |
8 |
степеней свободы |
и α=0,01: tтабл.=3,35. Поскольку tфакт <tтабл |
на |
уровне значимости |
α=0,01, постольку коэффициент корреляции |
Спирмена незначим на этом уровне. Однако при допущении пяти |
процентной ошибки данный коэффициент значим tтабл.=2,3. Следовательно, tфакт >tтабл .
Подобные задачи можно решать в ППП Excel:
1KДж УУ
|
|
(x) |
(y) |
Rx |
Ry |
d=Rx-Ry |
d^2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
0,218 |
15600 |
10 |
10 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
0,26 |
16200 |
9 |
9 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
0,318 |
23000 |
8 |
8 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
0,398 |
29200 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
7 |
-5 |
25 |
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
0,409 |
32300 |
1 |
1 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
0,381 |
31700 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
5 |
2 |
3 |
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
0,375 |
29400 |
7 |
5 |
2 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
0,381 |
29300 |
6 |
6 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
10 |
0,398 |
29600 |
3 |
4 |
-1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
11 |
0,394 |
31100 |
4 |
3 |
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
12 |
|
|
|
|
Сумма |
40 |
Покажем формулы1. Для этого выберем в командной строке «Формулы», а далее «Показать формулы»:
Rx |
Ry |
d=Rx-Ry |
d^2 |
|
|
|
|
=РАНГ(A2;$A$2:$A$11) |
=РАНГ(B2;$B$2:$B$11) |
=C2-D2 |
=СТЕПЕНЬ(E2;2) |
|
|
|
|
=РАНГ(A3;$A$2:$A$11) |
=РАНГ(B3;$B$2:$B$11) |
=C3-D3 |
=СТЕПЕНЬ(E3;2) |
|
|
|
|
=РАНГ(A4;$A$2:$A$11) |
=РАНГ(B4;$B$2:$B$11) |
=C4-D4 |
=СТЕПЕНЬ(E4;2) |
|
|
|
|
=РАНГ(A5;$A$2:$A$11) |
=РАНГ(B5;$B$2:$B$11) |
=C5-D5 |
=СТЕПЕНЬ(E5;2) |
|
|
|
|
=РАНГ(A6;$A$2:$A$11) |
=РАНГ(B6;$B$2:$B$11) |
=C6-D6 |
=СТЕПЕНЬ(E6;2) |
|
|
|
|
=РАНГ(A7;$A$2:$A$11) |
=РАНГ(B7;$B$2:$B$11) |
=C7-D7 |
=СТЕПЕНЬ(E7;2) |
|
|
|
|
=РАНГ(A8;$A$2:$A$11) |
=РАНГ(B8;$B$2:$B$11) |
=C8-D8 |
=СТЕПЕНЬ(E8;2) |
|
|
|
|
=РАНГ(A9;$A$2:$A$11) |
=РАНГ(B9;$B$2:$B$11) |
=C9-D9 |
=СТЕПЕНЬ(E9;2) |
|
|
|
|
=РАНГ(A10;$A$2:$A$11) |
=РАНГ(B10;$B$2:$B$11) |
=C10-D10 |
=СТЕПЕНЬ(E10;2) |
|
|
|
|
=РАНГ(A11;$A$2:$A$11) |
=РАНГ(B11;$B$2:$B$11) |
=C11-D11 |
=СТЕПЕНЬ(E11;2) |
|
|
|
|
|
|
Сумма |
=СУММ(F2:F11) |
|
|
|
|
Далее подставляем значение 40 в формулу, и решаем:
|
N |
|
|
|
|
|
|
|
|
ρx, y =1- |
6 × åd 2 |
=1- |
6 × 40 |
=1- |
240 |
= 0,75 . |
|
2 |
|
|
2 |
|
|
i=1 |
|
|
|
|
|
990 |
|
|
N × (N -1) |
|
10 ×(10 |
-1) |
|
|
В ППП Statistica коэффициент Спирмена и коэффициент Кендалла находятся автоматически. Для этого достаточно ввести исходные данные в электронную таблицу пакета Statistica, в командной строке выбрать «Statistics». Далее выбрать «Непараметрические» (Nonparametrics), выбрать коэффициент Спирмена или Кендалла, обозначить переменные, и нажать кнопку «Spearmen R» для нахождения коэффициента Спирмена. Для нашего примера получим ответ 0,75.
При наличии связанных рангов коэффициент ранговой корреляции Спирмена вычисляется по формуле:
1 Обратим внимание, что ранги можно брать, как от минимума к максимуму, так и наоборот. Решая задачу в ручную, я ранжировал от минимума к максимуму. В программе Excel ранжирование шло в обратном порядке, то есть минимальному значению присваивался максимальный ранг, а максимальному значению минимальный.
|
|
|
|
|
|
|
1 × (N3 - N) - ådi2 - Tx - Ty |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N |
|
|
|
|
|
|
|
ρх, у |
= |
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
i=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
é |
1 |
× (N |
3 |
|
|
|
ù |
é1 |
× (N |
3 |
|
ù |
, |
|
|
|
|
|
ê |
6 |
|
- N) - 2Txú |
× ê |
6 |
|
- N) - 2Tyú |
|
|
|
|
|
ë |
|
|
|
|
|
û |
ë |
|
|
|
û |
|
|
|
|
1 |
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Tx = |
|
× |
å(t j |
3 - t j ) |
, |
t |
j |
– |
|
число |
одинаковых рангов в данном |
12 |
|
|
|
|
|
i=1 |
|
|
|
|
вариационном ряду. Аналогично рассчитывается Ty. При этом если
|
|
|
é1 |
|
3 |
ù |
, |
значения Ty и Tх незначительно отличаются от величины ëê6 |
× (N |
|
- N )ûú |
то используют упрощенную формулу: |
|
|
|
|
|
|
N |
|
|
|
|
|
|
ρx, y = 1- |
|
åd 2 |
|
|
|
|
|
|
|
i=1 |
|
. |
|
|
|
|
|
1 |
× (N 3 - N) - (T + T |
) |
|
|
|
|
|
6 |
x y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
«опыт показывает, что результаты расчетов по скорректированной формуле для связанных рангов мало отличаются от результатов полученных по формуле для неповторяющихся рангов. Поэтому на практике формула
|
N |
|
ρх, у = 1- |
6 × åd 2 |
успешно применяется как для неповторяющихся, |
i =1 |
N × (N 2 -1) |
|
так и для повторяющихся рангов»2.
Ранговый коэффициент корреляции Кендалла рассчитаем для качественных данных, предварительно присвоив им ранги. Пусть криминолог, опрашивая экспертов – представителей вневедомственной охраны и частых охранных служб, пытается выяснить вопрос об условиях надежности охраны объектов. По итогам опроса составляет таблицу с исходными данными.
2 Громыко Г.Л. Теория статистики: практикум / Г.Л. Громыко. – 3-е изд., доп. и перераб. – М.: ИНФРА-М, 2006. С. 232.
Теперь заполним следующую таблицу по алгоритму:
1)ранжируем какой либо столбец (второй или третий), приняв его за эталонный - ранжированный в порядке от минимума к максимуму или, наоборот – от максимума к минимуму. В нашем случае возьмем второй столбец (эксперты вневедомственной охраны) и ранжируем его от минимума к максимуму.
2)Приведем в соответствие со значениями второго ряда первый столбец.
3)Заполним значения третьего столбца (эксперты частных охранных служб) так, чтобы ранговые номера соответствовали своим значениям, указанным в первом столбце.
4)Заполним 4-й столбец названный – «Совпадения». Порядок такой: берем верхнее число в третьем столбце (в нашем случае – это число «2») и считаем, сколько чисел в столбце ниже числа «2» больше двух. Таких чисел пять: 3; 4; 5; 6; 7. Соответственно в строке напротив числа два в четвертом столбце записываем цифру
5.Далее берем число 4 и считаем, сколько чисел ниже него по столбцу большего значения. Таких чисел три: 5; 6; 7, и так далее. Ниже числа 7 в третьем столбце нет чисел, поэтому в четвертом столбце напротив данного числа ставим ноль.
5)Заполняем 5-й столбец названный – «Инверсии». Здесь порядок обратный: берем верхнее число в третьем столбце (в нашем случае – это число «2») и считаем, сколько чисел в столбце ниже числа «2» меньше двух. Такое число – единица. Далее опускаемся на одну строку к числу 4 и считаем, сколько чисел
меньших, чем четыре расположено ниже по столбцу. Таких чисел два: 1; 3. Меньше единицы чисел нет, поэтому напротив неё в строке инверсий ставим ноль. Меньше трех, пяти, шести и семи также нет чисел под ними, поэтому напротив этих чисел в столбце инверсий также ставим нули.
6) Подсчитываем суммы по столбцам «совпадения» и «инверсии».
Таблица №.
УНОО |
Эксперты |
Эксперт |
Совпаден |
Инверси |
|
вневедомственн |
ы |
ия |
и |
|
ой охраны |
частных |
|
|
|
|
охранны |
|
|
|
|
х служб |
|
|
Охрана |
1 |
2 |
5 |
1 |
объектов |
|
|
|
|
вневедомственн |
|
|
|
|
ой охраной |
|
|
|
|
Использование |
2 |
4 |
3 |
2 |
видеонаблюден |
|
|
|
|
ия |
|
|
|
|
Охрана |
3 |
1 |
4 |
0 |
объектов |
|
|
|
|
частными |
|
|
|
|
охранными |
|
|
|
|
службами |
|
|
|
|
Использование |
4 |
3 |
3 |
0 |
охранной |
|
|
|
|
сигнализации |
|
|
|
|
Использование |
5 |
5 |
2 |
0 |
сторожевых |
|
|
|
|
собак |
|
|
|
|
Установка |
6 |
6 |
1 |
0 |
усиленных |
|
|
|
|
запорных |
|
|
|
|
устройств |
|
|
|
|
Установка |
7 |
7 |
0 |
0 |
обычных |
|
|
|
|
(простых) |
|
|
|
|
запорных |
|
|
|
|
устройств |
|
|
|
|
Сумма |
|
|
18 |
3 |
7) Следующий шаг проверка правильности подсчета числа совпадений и инверсий по формуле:
P + Q = |
|
(N -1) × N |
, где P – число совпадений, Q – число инверсий, |
|
|
2 |
|
N – число ранжированных признаков. Для нашего примера: |
P + Q = |
(N -1) × N |
=18 + 3 = |
(7 -1) × 7 |
; 21=21. Из чего следует – расчет |
2 |
|
|
|
|
2 |
произведен правильно.
8) Рассчитываем ранговый коэффициент корреляции Кендалла по одной из равнозначных формул:
2
τx, y =1 - 4 ×Q
N ×(N -1)
τx, y = 4 × P -1
N ×(N -1)
τx, y = ×(2S -1) , где S=P-Q.
N N
При наличии связанных рангов расчет рангового
коэффициента корреляции Кендалла осуществляется по формуле:
τx, y = |
|
|
|
S |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
é N × (N -1) |
ù |
|
|
é N × (N -1) |
ù |
|
|
х |
ê |
|
ú |
|
× ê |
|
ú |
|
2 -Vx |
|
2 -Vy |
|
|
ê |
ú |
, где |
V – это корректирующий |
ë |
|
û |
|
ë |
|
û |
коэффициент рассчитываемый по формуле:
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Vx = 0,5 × åg j |
× (g j -1) |
, |
где g |
j |
|
– одинаковые ранги |
в |
ряду |
|
i =1 |
|
|
|
|
переменной х, L – число связанных рангов по столбцу. |
|
|
|
L |
|
|
|
|
j |
|
|
|
|
Vy = 0,5 × åvj × (vj -1) |
|
|
|
|
|
|
, где |
v – одинаковые ранги |
в |
ряду |
|
i =1 |
|
|
переменной y, L – число связанных рангов по столбцу.
Расчет для нашего примера:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
τ =1 - |
|
|
|
4 ×Q |
|
=1 - |
4 ×3 |
= 0,714 . |
|
|
N × (N -1) |
7 × (7 -1) |
|
|
9) Проверим статистическую значимость полученного |
коэффициента ранговой корреляции Кендалла по формуле: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
факт |
= |
|
τ |
x, y |
|
× |
N - 2 |
|
= 0,714 × |
7 - 2 |
=2,28 |
|
|
|
|
1-τx, y |
2 |
|
|
1- 0,714 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
