Ольков_С_Г_Аналитическая юриспруденция

Рис. №6. Пример нелинейной интегральной (первообразной) функции вида у=х2 c положительным (возрастающим) ускорением. Как видно в нелинейной системе появилось ускорение (вторая

производная) равное двум: ddx2 2y = a =2, поскольку скорость данной функции dydx =ν =2x.

Рис. №7. Дифференциальная функция (первая производная) dy/dx=2x от первообразной (интегральной) функции у=х2.

Первая производная от дифференциальной функции (вторая производная от первообразной) равна двум и показывает в данном случае постоянное положительное ускорение равное двум.

В теории политических режимов я использую параболическую функцию (парабола второго порядка) для оценки типа политического режима (авторитарный, анархический или демократический типы) используя показатель – величина свободы

146

(объясняемая переменная) в зависимости от соотношения государственного принуждения и общественного насилия (объясняющая переменная).

Рис. №8. Теоретическая кривая, демонстрирующая зависимость уровня свободы от уровней государственного принуждения (знак минус – по принципу сжатия, увеличивается влево) и общественного насилия (знак плюс – по принципу растяжение, возрастает вправо). В точке равновесия (0; 20), где государственное принуждение и общественное насилие сбалансированы, достигается максимальный уровень общественной свободы (в данном случае равен 20).

3. Довольно часто при исследовании юридических процессов возникает потребность приведения нелинейных законов в линейную форму, что упрощает их интерпретацию. Покажем как это делается на примере с квадратичной функцией вида у=х2. Здесь требуется заменить значения х на значения х2. Тогда вместо квадратичной функции у=х2 представленной на рис. №6 получим линейную функцию у=х представленную на рис. №8. При этом наклон линии будет равен значению а (в данном случае - единице), сдвиг – значению b (в данном случае нулю).

147

Рис. №9.

Для функций вида у= ax +b линеаризация проводится путем

замены значений x на значения 1x . Получится линия с наклоном

равным а, и сдвигом равным b.

Для функций вида у=ax2+bx линеаризация проводится путем деления обеих частей уравнения на х. Получается уравнение вида:

значения x. Получится линия с наклоном равным а, и сдвигом равным b.

Для функций вида у=ахn нужно взять десятичный логарифм от обеих частей равенства: log y = log( ax n ) = log a + log xn , отсюда log y = n log x +log a . По оси абсцисс откладываем значения log x, а по оси ординат значения log y. Получается прямая с наклоном n и сдвигом равным log a.

Для функций вида y=abx нужно взять десятичный логарифм от обеих частей равенства: log y=log (abx). Получится

log y= log a + log bx =x log b+ log a = (log b)x + log a.

По оси ординат откладываются значения log y, а по оси абсцисс х, Получится прямая с наклоном log b и сдвигом равным log a.

148

Для функций вида y=aebx нужно взять логарифм по основанию e13 (e=2,718) от обеих частей равенства: ln y=ln (aebx)

ln y=ln (aebx)= ln a+ln ebx= ln a+bx ln e=bx+ ln a, поскольку ln e=1. То есть ln y= bx+ ln a.

По оси ординат пустим ln y, а по оси абсцисс значения х. Итогом будет прямая с наклоном b и сдвигом равным ln a.

Таблица №1. Линеаризация различных функций.

149

3. Сложные функции. Изучая криминологические процессы, мы видим, что они определенным образом связаны между собой. Так, число зарегистрированных преступлений (x), положительно связано с числом раскрытых преступлений (y), число раскрытых преступлений (y) связано положительной зависимостью с числом выявленных лиц, совершивших преступления (z), а число выявленных лиц, совершивших преступления (z) с числом осужденных (g). Возникает вопрос, а нельзя ли связать х (число зарегистрированных преступлений) с g (числом осужденных) или z (числом выявленных лиц, совершивших преступления); связать y (число раскрытых преступлений) с g (числом осужденных) или z (числом выявленных лиц, совершивших преступления)? То есть в данном случае мы имеем примеры зависимости функции от функции или сложных функций вида: z=f [φ(x)].

§3. Дифференциальные уравнения юридических процессов

Дифференциальные уравнения позволяют решать различные более или менее сложные юридические, в том числе криминологические, криминалистические, оперативно-розыскные и уголовно-процессуальные задачи. Пусть нас интересует вопрос о времени наступления смерти жертвы преступления, и мы измерили две величины – температуру трупа и температуру окружающей среды. Если еще сохраняется разность температур, решая дифференциальное уравнение, следователь может достаточно быстро до проведения судебно-медицинской экспертизы сориентироваться, установить время наступления смерти, и правильно организовать поиск подозреваемого по горячим следам. С помощью системы нелинейных дифференциальных уравнений

150

типа модели «Вольтерра-Лотки» можно изучать криминологические зависимости «преступность-наказуемость» и т.д.

Дифференциальное уравнение – уравнение, содержащее независимую переменную, неизвестную первообразную функцию и её известные производные различных порядков.

«При изучении многих процессов часто не удается найти закон, связывающий рассматриваемые величины, в то же время легко устанавливается зависимость между теми же величинами и их производными»14.

Решение простейшего дифференциального уравнения – нахождение неизвестной первообразной функции по её известной

производной: у= òF ′(x)dx . Например, возьмем производную dydx =2.

Интегрирование обеих частей уравнения по х даст функцию: у= ò2dx , откуда у=2х+с, где с - произвольная постоянная, задающая семейство прямых. Таким образом, получается общее решение дифференциального уравнения. Если имеется дополнительная информация (граничные условия) - заданы координаты точки, через которую проходит линия, позволяющая определить произвольную постоянную (с), то получается частное решение дифференциального уравнения. Пусть для нашего случая заданы координаты: x=3, у=7. Имеем: 7=2∙3+с откуда с=1. Следовательно, частное решение данного дифференциального уравнения при данных граничных условиях: у=2х+1.

Мгновенная скорость преступности на данной территории dy пропорциональна числу, совершаемых в каждый момент времени

dt преступлений: dydt = ky . Решая данное уравнение, получаем:

ln y = kt +ln C или ln Cy = kt .

Следовательно, Cy = ekt . Далее имеем: y =Ce kt .

14 Журавлев, С.Г. Дифференциальные уравнения: Сборник задач: примеры и задачи экономики, экологии и других социальных наук: Учебное пособие для вузов/С.Г. Журавлев, В.В. Аниковский. – М.: Издательство «Экзамен», 2005. С. 5.

151

Определяем С (произвольную постоянную) из того

дифференциальное уравнение, позволяющее находить число зарегистрированных преступлений в определенное время на данной территории по формуле: y = y0 × ekt .

Коэффициент пропорциональности k выводится эмпирическим путем. Более точно его следует выводить для

каждой структурной составляющей преступности. Дифференциальным уравнением называется соотношение,

связывающее независимую переменную х, искомую функцию у = f(x), ее производные. Если искомая функция у зависит от одной независимой переменной, то дифференциальное уравнение называют обыкновенным. Порядок старшей производной, входящей в дифференциальное уравнение, называют порядком этого уравнения:

F(x,y,y′, y′′…ym) =0 (1).

Или, если это уравнение можно разрешить относительно производной: y′=f(x,y) (2).

Решить или проинтегрировать дифференциальное уравнение означает найти его функцию y=f(x), которая, будучи подставлена в уравнение (2), обращает его в тождество. Это общее решение: y =ϕ(x,c) (3).

Частные решения получаются из общего при некотором фиксированном значении произвольной постоянной С.

Примеры постановки и решения конкретных задач.

Задача №1. Динамика плотности (концентрации) социальнопатологических норм в социальных средах.

Постановка задачи. В ареал – условный населенный пункт Энск с населением 12310 человек, из которых 250 человек – ранее

152

отбывавшие наказание в местах лишения свободы, ежегодно в среднем прибывает 1530 человек и убывает 1210. Требуется установить, какое количество социопатотипов останется в г.Энске через 10 лет, исходя из предположения, что а) в г.Энск не прибывают социопатотипы из мест лишения свободы; б) эти социопатотипы равномерно распределены в популяции (социальной среде) г.Энска и могут убывать (выезжать, умирать); в) фактор влияния (распространения социопатологических норм в среде г.Энска) пока игнорируется.

Решение. Пусть х – количество социопатотипов в г.Энске в момент времени t, а

(- x) - убытие (выход) социопатотипов из социальной динамической системы г.Энск (знак минус вызван тем, что х –

демографическую скорость движения х (социопатотипов в нашей социальной динамической системе).

θ=12310+1530t-1210t=12310+320t.

Соответственно количество социопатотипов уменьшится

на

153

искомый результат – оставшееся в социальной динамической системе г.Энск количество социопатотипов, прошедших подготовку в местах лишения свободы:

Через 20 лет при прочих равных обстоятельствах соответственно останется 35 человек, а через 50 лет не более двух.

Если бы перед нами стояла задача подготовки законопроекта и разработки программы по снижению концентрации конкретного социопатотипа на некоторой географической территории, то нам без сомнения следовало бы начать с решения соответствующих дифференциальных уравнений.

Другая задача о скорости прироста социопатологической популяции. Очевидно, скорость ее прироста, а, следовательно, степень распространения соответствующей заразы, вирулентность (болезнетворность) пропорциональна количеству носителей социопатологических норм, например, представителей блатной культуры, наркоманов и т.п. Допустим, что в начальный момент времени t = 0 имеется 1000 социопатотипов, а в течение 5 лет их число утроилось. Требуется найти зависимость количества социопатотипов от времени, а также во сколько раз увеличится количество социопатотипов в течение 10 лет.

Решение. Пусть х – количество социопатотипов в данный

интегрируя части, получим: dxx = kdt ln x = kt + ln C,

потенцируем последнее выражение:х=Сеkt. Для определения С берем начальное условие: при t = 0 x = 1000 человек. Получаем: С = 1000, а, следовательно, х=1000kt. Коэффициент k находим из

154

социопатотипа за 10 лет: x=1000×310/5=9000 человек. От начального момента за 10 лет популяция социопатотипа выросла в 9 раз (9000/1000).

Решая криминалистическую и судебно-медицинскую задачу мы не будем оригинальны, приведя простой учебный пример.

В теории доказательств, уголовно-процессуальном законе в качестве важнейшего элемента предмета доказывания указывается время совершения преступления. Определение точного времени совершения преступления – залог его успешного раскрытия и расследования. По делам об убийствах – наиболее тяжких преступлениях, установление точного времени совершения убийства подчас играет решающее значение, например, в случае подтверждения или опровержения алиби. Время совершения убийства можно установить из различных источников: показаний очевидцев, по остановившимся в момент борьбы часам на руках жертвы, оставленным посмертным запискам, по температуре трупа и т.д. Температура трупа может быть полезной для установления времени убийства в определенном интервале времени, зависящем от температуры окружающей среды. Вот тут-то и становится полезным конкретное дифференциальное уравнение.

Известно, что скорость охлаждения трупа пропорциональна разности температур тела и окружающей среды: dxdt = −k(x −a) (1),

где х – температура тела в момент времени t; а – температура окружающей тело среды; k – коэффициент пропорциональности.

155