Ольков_С_Г_Аналитическая юриспруденция

Все остальные комбинации находятся в пределах между нулем и единицей. Чем ближе определитель матрицы парных коэффициентов корреляции к единице, тем выше мультиколлинеарность факторов.

Для выявления мультиколлинеарности факторов следует проводить проверку гипотезы о независимости переменных: H0:

значение χ2 больше табличного, то принимается альтернативная гипотеза, а нулевая отклоняется. Это значит, что Det|R|≠1. В противном случае, принимается нулевая гипотеза.

При проведении параметрического регрессионного и корреляционного анализа важно, чтобы вероятность наступления величины ε (случайный член), была одинаковой для всех наблюдений. Это условие называется гомоскедастичностью («одинаковый разброс»). При гетероскедастичности это условие не выполняется, и оценки могут быть смещенными. При нарушении

гомоскедастичности имеет место неравенство: σ 2ε x1 ¹ σ 2ε x2 ¹ σ 2ε x k . При гомоскедастичности, напротив, имеет место равенство дисперсий остатков.

276

При построении регрессионных моделей с помощью метода наименьших квадратов (МНК) важное значение имеет соблюдение определенных требований или условий относительно случайной составляющей εi = yi − yi , которая по определению всегда присутствует в регрессионных уравнениях. По существу, это разница между эмпирическими и теоретическими значениями результативного признака (зависимой переменной регрессионной модели). Она может быть установлена только после получения регрессионного уравнения и подстановки в него соответствующих значений факторной (факторных) переменной (переменных). При этом нельзя забывать, что остатки, как и параметры регрессионного уравнения – это лишь оценки того, что есть в реальности. То есть их следует рассматривать как определенные выборочные значения остатков, характеризующих генеральную совокупность остатков.

Требования, предъявляемые к случайному члену регрессионных уравнений:

1)Остатки должны носить случайный характер.

2)Средняя величина остатков должна равняться нулю.

3)Гомоскедастичность остатков (равный разброс для всех значений факторной переменной) или отсутствие гетероскедастичности (неравный разброс остатков).

4)Отсутствие автокорреляции остатков.

5)Подчинение остатков закону нормального распределения.

Соблюдение данных условий обеспечивает несмещенность, эффективность и состоятельность полученных с помощью МНК оценок.

Несмещенность говорит о том, что математическое ожидание остатков равно нулю. Эффективность о малой дисперсии остатков. Оценка является состоятельной, если с увеличением объема выборки (с ростом числа наблюдений) увеличивается точность оценки.

277

Именно поэтому недостаточно просто получить оценку параметров уравнения и проверить их с помощью соответствующих тестов. Кроме того, необходимо исследовать остатки.

Выявление гетероскедастичности при малых объемах выборки.

Для выявления гетероскедастичности при сравнительно небольшом числе наблюдений удобно использовать тест Гольдфельда-Квандта, названный так в честь его создателей Гольдфельда и Квандта. Тест выполняется по нижеследующему алгоритму:

1)По первичным объединенным данным получаем регрессионное уравнение y = a +bx .

2)Наблюдения (n) по независимой переменной (х) ранжируются от минимума к максимуму.

3)В соответствие этим наблюдениям приводятся значения зависимой переменной у и её оценки y , полученные по регрессионному уравнению: y = a +bx , а также остатки εi = yi − yi . Все это сводится в единую таблицу.

4)Вариационный ряд факторной переменной (x) разбивается на две равные части (первая - с малыми значениями фактора, а вторая - с большими). Далее из вариационного ряда исключается несколько значений, находящихся в центре данного ряда. Например, для ряда, включающего 22 наблюдения, можно удалить 4-5 наблюдений. При этом важно, чтобы соблюдалось неравенство:

количество удаленных центральных наблюдений, n – первоначальное число наблюдений.

6)Ищем остаточную сумму квадратов отклонений

S= å( yi − yi )2 , для первой (S1) и второй выборки (S1).

7)Находим G, как частное от деления остаточных сумм

квадратов: G = SS1 .

2

278

8) Проверяем гипотезу H1 о наличии гетероскедастичности (отсутствии гомоскедастичности), сравнивая полученное эмпирическое значение G c табличным значением F-критерия с

числом степеней свободы df= n − Ц − 2k .

2

9) Интерпретируем полученный результат. Если G>F, то имеет место гетероскедастичность, и она тем больше, чем больше разница между G и F. Соответственно и наоборот, если G<F, то имеет место гомоскедастичность, и она тем больше, чем больше разница между G и F.

Напомним, что гомоскедастичность говорит о равенстве дисперсий остаточных величин и обеспечивает выполнение одной из предпосылок МНК (метода наименьших квадратов), что тоже самое - выполнение условия Гаусса-Маркова о том, что дисперсия случайного члена в каждом наблюдении должна быть постоянной. Имеется в виду возможное поведение случайного члена до того как сделана выборка, поскольку мы имеем дело не с самим случайным членом, а его оценками. Другими словами, вероятность того, что величина ε примет какое-то данное положительное или отрицательное значение будет одинаковой для всех наблюдений.

Рассмотрим конкретный пример. Пусть начальника следственного управления волнует вопрос о влиянии стажа следственной работы на число, совершаемых следователями уголовно-процессуальных правонарушений. Он собирает первичные статистические данные, и составляет исходную таблицу.

УПП, Стаж, штук месяцев

25 12

29 14

23 17

31 13

22 12

10 49

8 53

279

Рис. Зависимость случайных остатков от факторной переменной.

280

Кроме того, можно построить график остатков от теоретических значений зависимой переменной y .

Рис. Зависимость случайных остатков от теоретических значений зависимой переменной.

Поскольку на графиках не получено горизонтальных полос разброса случайного члена вокруг нуля, возникают сомнения в состоятельности полученных оценок по данному регрессионному уравнению.

Зная, что гетероскедастичность может привести к уменьшению эффективности оценки параметра b (возникают проблемы с использованием формулы стандартной ошибки коэффициента регрессии mb, предполагающей равную дисперсию остатков при каждом значении фактора). Принимается решение проверить модель на гетероскедастичность, для чего используется метод Гольфельда-Квандта.

1)По первичным объединенным данным получаем регрессионное уравнение y = a +bx . В нашем случае: y =25,44 −0,207 x .

2)Наблюдения (n) по независимой переменной (х) ранжируются от минимума к максимуму.

3)В соответствие этим наблюдениям приводятся значения зависимой переменной у и её оценки y , полученные по

281

4) Вариационный ряд факторной переменной (x) разбивается на две равные части (первая - с малыми значениями фактора, а вторая - с большими). Далее из вариационного ряда исключается несколько значений, находящихся в центре данного ряда. Например, для ряда, включающего 22 наблюдения, можно удалить 4-5 наблюдений. При этом важно, чтобы соблюдалось неравенство:

количество удаленных центральных наблюдений, n – первоначальное число наблюдений.

Для нашего примера: 22 −4 > 2 .

2

282

Для больших значений факторной переменной.

283

7) Находим G, как частное от деления остаточных сумм

8) Проверяем гипотезу H1 о наличии гетероскедастичности (отсутствии гомоскедастичности), сравнивая полученное эмпирическое значение G c табличным значением F-критерия с

числом степеней свободы df= n − Ц − 2k . Для нашего примера число

2

степеней свободы: df= 22 - 4 - 2×2 = 7 .

2

По таблице критических значений находим Fтаб. для 7 степеней свободы для каждой остаточной суммы квадратов. При уровне значимости 5% Fтаб.=3,79 (в данном случае берем 7 по числителю и по знаменателю βтаблицы).

9) Интерпретируем полученный результат. В нашем примере G>F . То есть имеет место гетероскедастичность, и она достаточно велика: 3,79<12,177.

Ответ: в исходной регрессионной модели, полученной начальником следственного управления, имеет место гетероскедастичность остатков, а, следовательно, модель нужно

284

совершенствовать, дабы получить более точную оценку параметра β (параметр b в регрессионном уравнении).

При построении регрессионных моделей с использованием МНК весьма важным условием является отсутствие автокорреляции остатков. То есть должна отсутствовать корреляция между остатками текущих (εi) и предыдущих значений (εi-1):

состоятельность и эффективность, полученных оценок параметров регрессионного уравнения.

Для примера со следственным управлением имеем:

r= K (εi ,εi−1 ) = 0,4 .

σεi ×σεi−1

285