Лабораторная работа № 23

ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ

1. ЦЕЛЬ РАБОТЫ

Сформировать у студентов знания, умения и навыки решения уравнений численными методами в математическом пакете MathСad.

2. ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ

1. Изучите теоретическую часть. Выполните задание, соответствующее номеру Вашего варианта, и продемонстрируйте его преподавателю.

2. Оформите отчет по лабораторной работе, который должен содержать:

• титульный лист (Рис. 2);

• исходные данные варианта;

• последовательность действий для решения задачи;

• результаты решения задачи.

3. ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

Найти корни уравнения точно можно только в сравнительно несложных случаях. Некоторые уравнения содержат коэффициенты, известные лишь приближенно, для них сама задача точного определения корней теряет смысл. Чаще всего приходится говорить лишь о приближенном нахождении корней уравнения и оценке их точности.

Приближенное нахождение изолированных корней уравнения состоит из двух этапов:

• отделение корней, т.е. установление конечных или бесконечных интервалов на области определения функции, содержащих только один корень уравнения;

• уточнение корней, т.е. доведение их до заданной точности.

4. Образец выполнения

Пример 1. Решить уравнение методом хорд с точностью

Решение.

1. Построим график функции и найдем точки пересечения его с осью Ox.

Получили два интервала [–3;–2], [1,5;2,5]. Интервал, в котором мы будем уточнять корень – [1,5;2,5].

2. Уточняем корни. Находим первую производную функции f(x)=:

3. Определяем знаки функции f(x) на отрезке [1,5;2,5].

На данном отрезке действительно существует корень нашего уравнения.

4. Строим последовательность значений с использованием рекуррентной формулы метода хорд

Начиная с n=8, значения x_n удовлетворяют критерию достижения заданной точности, значит, x₈=1,927 является решением данного уравнения.

Пример 2. Вычислить методом касательных корень уравнения на отрезке [1,5;2,5] с точностью

Решение.

1. Отделяем корни уравнения.

2. Определяем неподвижную точку. Для этого определяем знаки функции и второй производной на отделенном интервале [1,5; 2,5]. Для этого составим функцию, проверяющую условие неподвижности точки

Тогда подвижной точкой будет точка a=1,5.

3. Вычисляем значение итерационной последовательности с использованием рекуррентной формулы метода касательных

Анализируя полученные значения для достижения критерия заданной точности, можно сказать, что решением уравнения будет значение x₄=1,927 при n=4, т.к. 2,36710^-5<0,001.

4. Создаем функцию, реализующую метод касательных (аналогично методу хорд).

5. Проверяем полученные результаты.

Пример 3. Решить уравнение методом простой итерации с точностью

Решение:

1. Отделяем корни уравнения.

2. Приводим исходное уравнение к виду x=f(x). Заменим уравнение уравнением видаf(x)=x-mF(x). Здесь величина m должна быть подобрана так, чтобы для функции f(x) выполнялись условия теоремы о достаточном условии сходимости итерационного процесса. Производная на отрезке [1,5;2,5] отрицательна, следовательно, функцияF(x) на этом отрезке монотонно убывает. Ее значения представлены

3. Тогда значения функции f(x) будут равны: и.

Поскольку производная на концах интервала [1,5;2,5] положительна () и монотонно возрастает, ее модуль имеет максимум на правом конце отрезка.

Найдем производную преобразованной функции и ее значения на концах отрезка [1,5;2,5].

3. Вычисляем значения итерационной последовательности x_n=f(x_n-1). В качестве начального приближения возьмем, например, начало отрезка, точку x₀=1,5.

Критерием достижения заданной точности при решении уравнения методом простой итерации является величина A, равная

4. Строим итерационную последовательность.

Для 24 приближения получили, что |x₂₃–x₂₄|<1,39810^-5<A. Отсюда следует, что x₂₃=1,92718 является приближенным решением нашего уравнения.