5.2. Наслідки перетворення координат Лоренца.

Закон складання швидкостей

Розглянемо деякий процес, який відбувається у точці А, нерухомій відносно штрихованої системи координат. Позначимо тривалість деякого процесу за годинниками не штрихованої системи й штрихованої системи відповідно через  і _о. Очевидно, що

; і  = t₂ – t_1. (5.2.1)

Для знаходження залежності _о від  скористаємось перетвореннями координат Лоренца (5.1.7)

; . (5.2.2)

Віднімемо рівності (5.2.2), одержимо ₀:

, але t₂ - t₁ = , а x₂ – x₁ = ,

тому

= . (5.2.3)

З рівності (5.2.3) знайдемо 

. (5.2.4)

Висновок.

Якщо vc, то ₀<<. Час в різних системах відліку протікає не однаково. Одна і та ж подія має різну тривалість у різних системах відліку.

Знайдемо довжину рухомого предмета в різних системах відліку. Нехай стрижень, який має довжину l₀ в штрихованій системі координат, рухається разом з цією системою координат з швидкістю  відносно не штрихованої системи координат (рис. 5.2). (Стрижень перебуває у спокої відносно штрихованої системи координат).

Як видно з рисунка, довжина стрижня у штриховій системі координат дорівнює:

. (5.2.5)

Рис. 5.2

Координати запишемо з перетворень Лоренца для моменту часу t (в один і той же час)

.

Звідки

. (5.2.6)

Висновок.

Якщо швидкість руху стрижня для спостерігача, який перебуває у стані спокою в системі координат x, y, z прямує до швидкості світла, то l0.

Лінійні розміри тіла, яке рухається з швидкістю близькою до швидкості світла, в різних системах відліку будуть різними.

Для знаходження закону складання швидкостей, запишемо перетворення координат Лоренца (5.1.7) через безмежно малі зміни координат x, x^’ і часу t і t^’, тобто

, (5.2.7)

. (5.2.8)

Поділивши (5.2.7) на (5.2.8), одержимо

. (5.2.9)

Введемо позначення ; , одержимо

. (5.2.10)

Нехай швидкість штрихованої системи координат c, швидкість матеріальної точки в штрихованій системі c, тоді швидкість цієї точки відносно спостерігача, який перебуває в стані спокою у не штрихованій системі буде дорівнювати:

. (5.2.11)

Цей висновок є гарним доказом другого постулату Ейнштейна. Формула (5.2.10) є законом складання швидкостей у напрямі осі х. Аналогічно можна одержати відповідні співвідношення для інших осей координат.