4.3. Момент імпульсу. Момент сили. Основне рівняння динаміки обертального руху. Кінетична енергія обертання
Моментом імпульсу
матеріальної точки масою mi
називається векторний добуток
радіуса-вектора
на вектор імпульсу
цієї точки
=
[
].
(4.3.1)
За означенням напрям вектора моменту імпульсу визначають за правилом векторного добутку. На рис. 4.7 показано напрям вектора моменту імпульсу матеріальної точки, який збігається з напрямком поступального руху правого гвинта.
Рис.4.7
Момент імпульсу твердого тіла знаходять за допомогою додавання моментів імпульсу всіх матеріальних точок тіла:
,
(4.3.2)
або
.
(4.3.3)
Знайдемо похідну за часом від рівняння (4.3.1)
,
(4.3.4)
де
,
так як це однонапрямлені вектори;
-
сила у відповідності з другим законом
Ньютона;
- момент сили, діючий на і-ту матеріальну
точку.
З урахуванням всіх позначень рівність (4.3.4) набуває вигляду
.
(4.3.5)
Підсумувавши цю рівність для всіх матеріальних точок твердого тіла, одержимо
.
(4.3.6)
Рівність (4.3.3) для твердого тіла дає величину моменту імпульсу тіла, який дорівнює
.
(4.3.7)
Таким чином для твердого тіла виконується рівність
,
або (4.3.8)
.
Рівності (4.3.8) у
фізиці називають основним рівнянням
динаміки обертального руху. В цих
рівностях І – скалярна величина,
яка є мірою інертності тіл при обертальному
русі;
- кутове прискорення – векторна величина,
напрям якого збігається з напрямком
поступального руху правого гвинта.
Вектор моменту імпульсу
направлений за напрямком вектора
кутового прискорення.
Основне рівняння динаміки обертального руху відіграє таку ж роль у динаміці обертального руху, що і другий закон Ньютона для поступального руху. Ці закони мають також однакову форму написання.
, або
,
або
.
(4.3.9)
,
або
,
або
.
(4.3.10)
Знайдемо вираз для кінетичної енергії обертального руху матеріальної точки або твердого тіла.
Скористаємося формулою кінетичної енергії поступального руху матеріальної точки або твердого тіла:
.
(4.3.11)
де
;
- момент інерції твердого тіла відносно
осі обертання.
Якщо тіло здійснює поступальний і обертальний рухи, то його повна кінетична енергія буде дорівнювати сумі кінетичних енергій поступального й обертального рухів
,
(4.3.12)
де І – момент інерції тіла відносно вибраної осі обертання; – швид-кість руху центра мас цього тіла.
Зіставивши вирази кінетичної енергії поступального й обертального рухів, робимо висновок, що мірою інертності при обертальному русі є момент інерції тіла.
Розглянемо рух матеріальної точки або твердого тіла по коловій траєкторії у відповідності з рис. 4.8.
Рис. 4.8
За безмежно малий час матеріальна точка під дією сили F здійснює переміщення по дузі dS, довжина якої дорівнює rd. При цьому виконується механічна робота
A = FdS = Fr d = M d. (4.3.13)
Потужність у цьому випадку буде дорівнювати
,
(4.3.14)
де М – момент діючої сили; - кутова швидкість.
Потужність є скалярною величиною, тому
.
(4.3.15)