6.3. Теорема Гаусса і її використання
У випадках розрахунків напруженості електричного поля не- точкових зарядів, виникають певні труднощі. В таких випадках напруженість електричного поля розраховують за допомогою методу суперпозиції. Для цього, просторово розміщені заряди ділять на точкові й методом інтегрування (принцип суперпозиції), знаходять відповідну напруженість. Покажемо це на прикладах:
Приклад 1. Визначити напруженість електричного поля біля безмежної, рівномірно зарядженої площини з поверхневою густиною зарядів (рис. 6.7).
Скористаємось формулою напруженості точкового заряду (6.2.6)
dE =
,
(6.3.1)
де dq – це заряд заштрихованої безмежно малої ділянки поверхні; x – відстань від цієї ділянки до точки А, в якій розраховується напруженість електричного поля Е.
Рис. 6.7
З рисунка видно, що x2 = z2 + r2, а dq = rd dr, й dEz = dEcos.
З урахуванням цих позначень одержуємо:
.
(6.3.2)
Але оскільки соs
=
,
тому
.
Інтегруємо цей
вираз у межах: для r від 0
до
;
для від 0 до 2,
одержимо:
З розрахунків видно, що напруженість електричного поля біля безмежної, рівномірно зарядженої площини з поверхневою густиною зарядів , визначається досить простою формулою і не залежить від відстані до самої площини
(6.3.3)
Приклад 2. Визначити напруженість електричного поля на відстані а від тонкої, досить довгої, рівномірно зарядженої, із лінійною густиною зарядів нитки або циліндра (рис 6.8).
Рис. 6.8
Скористаємось формулою (6.2.6)
dE =
.
З рисунка видно, що: dq = dl і dS = rd, а також dS = dl·cos.
З урахуванням цих залежностей одержуємо величину точкового заряду:
dq =
. (6.3.4)
Тоді напруженість електричного поля у напрямі осі у Ey – буде дорівнювати
dEy
= dEcos
=
=
.
Величину радіуса-вектора r виразимо через відстань а і кут :
r
=
.
З урахуванням останнього одержимо:
dEy
=
. (6.3.5)
Інтегруємо останній
вираз у межах зміни
від 0 до
,
помноживши весь вираз на 2 (враховується
друга, симетрична частина нитки).
.
Таким чином одержано досить просту залежність напруженості електричного поля біля довгої, рівномірно зарядженої нитки або циліндра:
Е =
. (6.3.6)
Паралельна складова напруженості Еx, завдяки симетричності нитки, буде дорівнювати нулю.
Знайдемо потік вектора напруженості електричного поля крізь замкнену поверхню ( рис. 6.9)
Рис. 6.9
,
(6.3.7)
де
- величина площі заштрихованої поверхні,
- нормаль до поверхні (одиничний вектор).
З рисунка видно, що
де
- тілесний кут.
Площа поверхні
кулі
(тут
є тілесним кутом).
Таким чином одержуємо:
.
(6.3.8)
Інтегруємо цей вираз у межах замкнутої поверхні і повного тілесного кута для цієї поверхні, тобто
.
Одержаний вираз носить назву теореми Гаусса
.
(6.3.9)
Якщо замкнута поверхня охоплює систему зарядів, теорема Гаусса набуде вигляду
.
(6.3.10)
Потік вектора напруженості електричного поля крізь довільну замкнуту поверхню дорівнює алгебраїчній сумі всіх зарядів у середині цієї поверхні, поділених на 0.
Покажемо на прикладах, як використовується теорема Гаусса у найпростіших випадках.
Приклад 1. Електричне поле біля безмежної, рівномірно зарядженої, із поверхневою густиною зарядів σ, площини ( рис. 6.10).
Рис. 6.10
На рисунку заряджена площина спроектована перпендикулярно до площини листка. Замкнена поверхня є циліндром із площею торців S. Потік вектора напруженості в даному випадку слід розрахувати лише крізь торці. Лінії напруженості електричного поля паралельні до бокової поверхні, а тому потоку не створюють, тобто
.
(6.3.11)
За теоремою Гаусса
.
(6.3.12)
Прирівнявши праві сторони (6.3.11) і (6.3.12) одержимо:
.
Цей висновок збігається з формулою (6.3.3).
Приклад 2. Електричне поле на відстані a від довгої, рівномірно зарядженої з лінійною густиною зарядів τ, нитки (рис. 6.11).
Рис. 6.11
На рисунку замкнуту поверхню вибрано у вигляді циліндра радіусом а і довжиною h. Потік силових ліній слід розглядати лише крізь бокову поверхню, так як торці перпендикулярні до нитки й паралельні до напрямку силових ліній електричного поля. (Потік крізь торці в цьому випадку дорівнює нулю).
.
(6.3.13)